Lineær uavhengighet

I lineær algebra , gitt en familie av vektorer med samme vektorrom , er vektorene i familien lineært uavhengige , eller danner en fri familie , hvis den eneste lineære kombinasjonen av disse vektorene som er lik nullvektoren er den som alle koeffisientene er null. Dette tilsvarer å si at ingen av vektorene i familien er en lineær kombinasjon av de andre.

I tilfelle hvor vektorer ikke er lineært uavhengige, sier vi at de er lineært avhengige , eller at de danner en sammenkoblet familie .

Definisjoner

La E være et vektorrom og K dets felt av skalarer .

En familie (endelig eller uendelig) av vektorer av E sies å være gratis, eller igjen, familien består av "lineært uavhengige" vektorer , hvis den eneste lineære kombinasjonen av vektorene lik nullvektoren 0 E er den som alle koeffisientene er null (med andre ord: hvis en lineær kombinasjon av koeffisientene er ikke alle null forskjellig fra nullvektoren). (vJeg)Jeg∈Jeg{\ displaystyle (v_ {i}) _ {i \ i I}}vJeg{\ displaystyle v_ {i}}vJeg{\ displaystyle v_ {i}}

• Når det handler om en endelig familie , skrives denne tilstanden:(vJeg)1≤Jeg≤ikke{\ displaystyle (v_ {i}) _ {1 \ leq i \ leq n}}∀(på1,...,påikke)∈Kikke,(på1v1+⋯+påikkevikke=0E⇒på1=på2=⋯=påikke=0K).{\ displaystyle \ forall (a_ {1}, \ ldots, a_ {n}) \ i K ^ {n}, \ quad \ left (a_ {1} v_ {1} + \ cdots + a_ {n} v_ { n} = 0_ {E} \ Rightarrow a_ {1} = a_ {2} = \ cdots = a_ {n} = 0_ {K} \ right).}
• Når familien er vilkårlig (endelig eller ikke), skrives betingelsen:(vJeg)Jeg∈Jeg{\ displaystyle (v_ {i}) _ {i \ i I}}∀(påJeg)∈K(Jeg),(∑påJegvJeg=0E⇒∀Jeg∈Jeg, påJeg=0),{\ displaystyle \ forall (a_ {i}) \ i K ^ {(I)}, \ quad \ left (\ sum a_ {i} v_ {i} = 0_ {E} \ Rightarrow \ forall i \ i I, ~ a_ {i} = 0 \ høyre),}der et element av K ( I ) er en familie, indeksert av I , av skalarer, alle null unntatt et endelig tall.

Ellers sies det at vektorene er lineært avhengige, eller at familien sies å være knyttet. Således er en sammenkoblet familie av vektorer hvis det eksisterer en familie av elementer av K, helt null bortsett fra et ikke-null endelig tall , slik at (vJeg)Jeg∈Jeg{\ displaystyle (v_ {i}) _ {i \ i I}}(påj)j∈Jeg{\ displaystyle (a_ {j}) _ {j \ i I}}

∑Jeg∈JegpåJegvJeg=0E.{\ displaystyle \ sum _ {i \ in I} a_ {i} v_ {i} = 0_ {E}.}

Basert på begrepene fri eller knyttet familie, defineres de delvis gratis eller bundet: en del A av E kalles fri hvis familien (resp. Bundet.) Er. (på)på∈PÅ{\ displaystyle (a) _ {a \ i A}}

Eksempler

Eksempel 0

I vektorområdet ℝ 3 danner de tre vektorene (2, –1, 1), (1, 0, 1) og (3, –1, 2) en beslektet familie fordi (2, –1, 1) + ( 1, 0, 1) - (3, –1, 2) = (0, 0, 0).

Eksempel 1

I vektorområdet ℝ 4 er de tre vektorene (4, 2, 1, 3), (2, 0, 3, 0) og (6, 2, 4, –3) lineært uavhengige fordi deres koordinater, arrangert i sidestill kolonner, danner en matrise

(42620213430-3){\ displaystyle {\ begin {pmatrix} 4 & 2 & 6 \\ 2 & 0 & 2 \\ 1 & 3 & 4 \\ 3 & 0 & -3 \ end {pmatrix}}}

hvis rang er lik antall vektorer. Faktisk 3-moll

|20213430-3|=-36{\ displaystyle {\ begin {vmatrix} 2 & 0 & 2 \\ 1 & 3 & 4 \\ 3 & 0 & -3 \ end {vmatrix}} = - 36}

er ikke-null, så matrisen er 3.

Eksempel 2

Enhver basis er (ved definisjon) en fri-familien, spesielt den kanoniske basis av K- vektorrommet K n .

Eksempel 3

I den virkelige vektorrommet av funksjoner i ℝ ℝ , den uendelig sett ikke tellbare funksjoner for ekte er fri. fλ:t↦eλt{\ displaystyle f _ {\ lambda}: t \ mapsto {\ rm {e}} ^ {\ lambda t}}λ{\ displaystyle \ lambda}

Demonstrasjon

Enten slik det (påλ)λ∈R∈R(IKKE){\ displaystyle (a _ {\ lambda}) _ {\ lambda \ in \ mathbb {R}} \ in \ mathbb {R} ^ {(\ mathbb {N})}}

∑påλfλ=0.{\ displaystyle \ sum a _ {\ lambda} f _ {\ lambda} = 0.}

Hvis antallet n av realene som ikke er null, ved å merke dem og ved å merke de tilknyttede koeffisientene, blir ligningen omskrevet: λ{\ displaystyle \ lambda}påλ≠0{\ displaystyle a _ {\ lambda} \ neq 0}λ1,...,λikke{\ displaystyle \ lambda _ {1}, \ ldots, \ lambda _ {n}}på1,...,påikke{\ displaystyle a_ {1}, \ ldots, a_ {n}}

∑k=1ikkepåkfλk=0.{\ displaystyle \ sum _ {k = 1} ^ {n} a_ {k} f _ {\ lambda _ {k}} = 0.}

Ved å sette og evaluere den ovennevnte ligningen i realene 0, 1, 2, ..., n - 1, oppnår vi at Vandermonde-matrisenxk=eλk{\ displaystyle x_ {k} = {\ rm {e}} ^ {\ lambda _ {k}}}

(1x1x12...x1ikke-11x2x22...x2ikke-11x3x32...x3ikke-1⋯⋯⋯⋯⋯1xikkexikke2...xikkeikke-1){\ displaystyle {\ begin {pmatrix} 1 & x_ {1} & x_ {1} ^ {2} & \ prikker & x_ {1} ^ {n-1} \\ 1 & x_ {2} & x_ {2 } ^ {2} & \ prikker & x_ {2} ^ {n-1} \\ 1 & x_ {3} & x_ {3} ^ {2} & \ prikker & x_ {3} ^ {n-1} \\\ cdots & \ cdots & \ cdots & \ cdots & \ cdots \\ 1 & x_ {n} & x_ {n} ^ {2} & \ dots & x_ {n} ^ {n-1} \ end { pmatrix}}}

assosiert med n -tupelen har linjene knyttet til koeffisienter . Ettersom dens determinant er ikke-null, er dette absurd, så n = 0, dvs. alle er null. (x1,...,xikke){\ displaystyle (x_ {1}, \ prikker, x_ {n})}påk{\ displaystyle a_ {k}}påλ{\ displaystyle a _ {\ lambda}}

Vi beviser også at mer generelt, i det komplekse vektorområdet til funksjoner fra ℝ til ℂ, er funksjonssettet for kompleks gratis. fλ:t↦eλt{\ displaystyle f _ {\ lambda}: t \ mapsto {\ rm {e}} ^ {\ lambda t}}λ{\ displaystyle \ lambda}

Eiendommer

• Familien ( v ) og delen { v } er gratis hvis og bare hvis vektoren v ikke er null.
• Familien ( v 1 , v 2 ) er i slekt hvis og bare hvis v 1 og v 2 er kollinære (spesielt er familien ( v , v ) alltid relatert, enten v er null eller ikke).
• Hvis en av underfamiliene til en familie er i slekt (spesielt hvis to av dens vektorer er kollinære eller hvis en av dem er null), er denne familien i slekt. Med andre ord , hvis en familie er fri, så er alle underfamiliene gratis.
• En familie er knyttet sammen hvis og bare hvis et av elementene er en lineær kombinasjon av de andre.
• Ettersom en lineær kombinasjon er relatert til et endelig antall termer, er en uendelig familie gratis hvis og bare hvis alle dens endelige underfamilier er gratis.
• Den tomme familien og den tomme delen er gratis.
• Hvis K er det felt av fraksjonene av en integral ring A (for eksempel hvis K = ℚ og A = ℤ ), en familie av vektorene E er K -fri hvis og bare hvis det er A -fri (i E ses som A- modul ).

Projektivt rom med lineære avhengigheter

En lineær avhengighetsrelasjon av vektorer kan representeres av a - tuple av skalarer, ikke alle null, slik at ikke{\ displaystyle n}v1,...,vikke{\ displaystyle v_ {1}, \ ldots, v_ {n}}ikke{\ displaystyle n} (på1,...,påikke){\ displaystyle (a_ {1}, \ ldots, a_ {n})}ikke{\ displaystyle n}

på1v1+⋯+påikkevikke=0E.{\ displaystyle a_ {1} v_ {1} + \ cdots + a_ {n} v_ {n} = 0_ {E}.}

Hvis det eksisterer et slikt lineært avhengighetsforhold, er vektorene lineært avhengige. Det er da mulig å identifisere to lineære avhengighetsforhold hvis en er et ikke-null-multiplum av det andre forholdet, fordi i dette tilfellet begge tilsvarer den samme lineære avhengigheten av vektorene mellom dem. Under denne identifikasjonen er settet med -upler som beskriver de lineære avhengighetene til vektorene , et prosjektivt rom . ikke{\ displaystyle n}ikke{\ displaystyle n}v1,...,vikke{\ displaystyle v_ {1}, \ ldots, v_ {n}}

Merknader og referanser

1. (en) Serge Lang , Algebra ,1965[ detalj av utgaver ], 1965, s. 81.
2. N. Bourbaki , Algebra , s. A-II-26, proposisjon 18.
3. (in) Michael Artin , Algebra [ publiseringsdetaljer ], 3,14, s. 92.

Se også

Relaterte artikler

• Algebraisk uavhengighet
• Avgrens uavhengighet
• Steinitz lemma
• Matroid (avsnitt generalisering av konseptet)
• Orthogonality

Ekstern lenke

Christine Graffigne og Avner Bar-Hen, “  Cours L1, S1, Notion de famille libre  ” , ved Universitetet i Paris 5