Determinant of Dieudonné

I lineær algebra er Dieudonne-determinanten en generalisering av determinanten til venstre felt og mer generelt til lokale ringer som ikke nødvendigvis er kommutative .

Definisjon

La $R være$ en lokal ring (ikke nødvendigvis kommutative) og $( R x ) ab være$ den abelianized av gruppen $R x$ av dens inverterbare elementer (det er den kvotient gruppe av $R x$ ved sin avledet gruppe $[ R x , R x ]$ ) . Betegn med θ den kanoniske morfismen til $R \times$ on $( R \times ) ab$ . For ethvert heltall $n \geq 1$ eksisterer det et unikt kart $det: GL n ( R ) \to ( R \times ) ab$ , kalt determinant, slik at:

determinanten er uforanderlig ved enhver elementær operasjon på linjene som består i å legge til en linje et multiplum til venstre for en annen linje;
determinanten for identitetsmatrisen er det nøytrale elementet $1$ ;
Hvis en rad blir multiplisert til venstre med et inverterbart element a, multipliseres determinanten til venstre med bildet av a i $( R \times ) ab$ .

Eksempler

Enten . Deretter inneholder hver rad og hver kolonne minst ett inverterbart element. Anta for eksempel at . Så, ${\ displaystyle A = {\ begin {pmatrix} a & b \\ c & d \ end {pmatrix}} \ i \ operatorname {GL} _ {n} (R)}$ ${\ displaystyle a \ in R ^ {\ times}}$

{\ displaystyle {\ begin {align} \ det A & = {\ overline {a}} \ det {\ begin {pmatrix} 1 & a ^ {- 1} b \\ c & d \ end {pmatrix}} = {\ overline {a}} \ det {\ begin {pmatrix} 1 & a ^ {- 1} b \\ cc \ times 1 & dc \ times a ^ {- 1} b \ end {pmatrix}} = {\ overline {a}} {\ overline {\ left (d-ca ^ {- 1} b \ right)}} \ det {\ begin {pmatrix} 1 og a ^ {- 1} b \\ 0 & 1 \ end {pmatrix}} \\ & = {\ overline {a \ left (d-ca ^ {- 1} b \ right)}} \ det {\ begin {pmatrix} 1-a ^ {- 1} b \ times 0 & a ^ {- 1} ba ^ {- 1} b \ times 1 \\ 0 & 1 \ end {pmatrix}} = {\ overline {a \ left (d-ca ^ {- 1} b \ right)} } \ det \ mathrm {I} _ {2} \\ & = {\ overlinje {a \ venstre (d-ca ^ {- 1} b \ høyre)}}. \ slutt {justert}}}

Likeledes, hvis da ${\ displaystyle c \ in R ^ {\ times}}$

{\ displaystyle \ det A = {\ overline {c \ left (ac ^ {- 1} db \ right)}}

Mer konkret, la $R = ℍ være$ feltet for quaternions . $(ℍ \times ) ab = ℝ + *$ . Til

{\ displaystyle A = {\ begin {pmatrix} 1 & \ mathrm {i} \\\ mathrm {j} & \ mathrm {k} \ end {pmatrix}} \ quad {\ text {and}} \ quad A ^ {\ mathrm {t}} = {\ begin {pmatrix} 1 & \ mathrm {j} \\\ mathrm {i} & \ mathrm {k} \ end {pmatrix}}}

de to formlene ovenfor gjelder, selvfølgelig, og gir samme resultat:

{\ displaystyle \ det A = \ | 1 \ left (\ mathrm {k} - \ mathrm {j} \ mathrm {i} \ right) \ | = \ | \ mathrm {j} \ left (- \ mathrm {j } \ mathrm {k} - \ mathrm {i} \ right) \ | = \ | 2 \ mathrm {k} \ | = 2}

{\ displaystyle \ det A ^ {\ mathrm {t}} = \ | 1 \ left (\ mathrm {k} - \ mathrm {i} \ mathrm {j} \ right) \ | = \ | \ mathrm {i} \ left (- \ mathrm {i} \ mathrm {k} - \ mathrm {j} \ right) \ | = \ | 0 \ | = 0}

Eiendommer

Denne applikasjonen er en morfisme av grupper .
Når vi inverterer to linjer, multipliseres determinanten med $- 1$ .
Hvis $R$ er kommutativ, er determinanten invariant ved transponering .

Referanser

Jean Dieudonné , " The determinants on a non-commutative field ", Bulletin de la SMF , vol. 71,1943, s. 27-45 ( DOI 10.24033 / bsmf.1345 ).
(in) Jonathan Rosenberg (in) , Algebraic K-theory and Its Applications , Springer , al. " GTM " ( n o 147)1994( ISBN 978-0-387-94248-3 , Matematikkanmeldelser 1282290 , zbMATH 0801.19001 , les online ) , s. 64. Errata .
For et mot-eksempel i den ikke-kommutativ tilfelle, se rettelser av Rosenberg i 1994 , eller (i) DA Suprunenko , "determinant" I Michiel Hazewinkel , Encyclopedia of Mathematics , Springer ,2002( ISBN 978-1556080104 , lest online ), eller enklere, eksemplet ovenfor .

Relatert artikkel

Whitehead Lemma