Invariant

I matematikk har ordet invariant forskjellige betydninger (ikke ekvivalente) avhengig av konteksten. Den brukes i geometri og topologi så vel som i analyse og algebra .

Invariant av en transformasjon

Hvis g : E → E er et kart , er en invariant av g et fast punkt , dvs. et element x av E som er dets eget bilde av g :

g (x) = x ~.

For et slikt kart g blir en del P av E sagt:

punkt for punkt invariant hvis alle elementene er faste punkter;
globalt uforanderlig med g , eller stabil ved g , hvis det vil si: (denne egenskapen er mindre sterk enn den forrige). ${\ displaystyle g (P) \ delmengde P}$ ${\ displaystyle \ forall x \ i P: g (x) \ i P}$

Disse forestillingene brukes ofte i dynamiske systemer , for geometriske transformasjoner og for gruppeaksjoner . Faktisk kan invarianter i en applikasjon gi informasjon om den.

I euklidisk geometri vil det unike invariante punktet i en direkte likhet (som ikke er en oversettelse) av det euklidiske planet være dens sentrum.
I reduksjon av endomorfismer , sies et vektorunderrom F for E å være invariant av et lineært kart g når det er globalt invariant av g .
For en handling (til venstre) av en gruppe G på et sett X , sies et punkt x å være uforanderlig når vi for ethvert element g av G har: g . x = x .

Invariant eiendom

En eiendom sies å være uforanderlig når en prosess ikke endrer den. En eiendom er relatert til et gitt objekt eller sett med objekter. Forskjellige konstruksjoner kan utføres for å konstruere gjenstander av lignende art: del, komplementær, sum, produkter, kvotient, gjenfeste, utvidelse ...

Uforanderligheten til en eiendom karakteriserer dens stabilitet under disse konstruksjonene.

Innenfor betydningen av kategoriteori

For en gitt kategori er en invariant en mengde eller et objekt assosiert med hvert objekt i kategorien, og som bare avhenger av isomorfismeklassen til objektet, muligens opp til isomorfisme.

Invarianternes språk er spesielt egnet for algebraisk topologi .

I grafteori

Vi sier at et tall assosiert med en graf er en uforanderlig (av grafen), hvis den ikke er modifisert av en isomorfisme av grafer . For eksempel er det kromatiske tallet en graf invariant.

Bibliografi

(no) Eric W. Weisstein , “ Invariant ” , på MathWorld
(en) “Invariant” , i Michiel Hazewinkel , Encyclopædia of Mathematics , Springer ,2002( ISBN 978-1556080104 , lest online )

Relaterte artikler