Avstand fra et punkt til en linje

I euklidisk geometri er avstanden fra et punkt til en linje den korteste avstanden mellom dette punktet og et nåværende punkt på linjen. Den pytagoreiske læresetning tillater oss å bekrefte at avstanden fra punkt A til linjen ( d  ) svarer til den avstand som skiller A fra dens ortogonale projeksjon A h på linjen ( d  ). Vi kan altså skrive:

d(PÅ,(d))=d(PÅ,PÅh){\ displaystyle d (\ mathrm {A}, (d)) = d (\ mathrm {A}, \ mathrm {A} _ {h})}

I planen

Hvis planet har et ortonormalt koordinatsystem, hvis linjen ( d ) har ligningen ax + med + c = 0, og hvis punktet A har koordinater ( x A  ; y A ), så er avstanden mellom A og ( d  ) er gitt av formelen

d(PÅ,(d))=PÅPÅh=|påxPÅ+byPÅ+vs.|på2+b2{\ displaystyle d (\ mathrm {A}, (d)) = \ mathrm {AA} _ {h} = {\ frac {| ax_ {A} + by_ {A} + c |} {\ sqrt {a ^ {2} + b ^ {2}}}}}

Faktisk, hvis M ( x , y  ) er noe punkt på linjen ( d  ), og hvis vi betegner den normale vektoren til linjen ( d  ) av komponentene ( a  ; b  ), så er den absolutte verdien av det skalære produktet til vektorene og er gitt av de to uttrykkene: ikke→{\ displaystyle {\ vec {n}}}PÅM→{\ displaystyle {\ overrightarrow {\ mathrm {AM}}}}ikke→{\ displaystyle {\ vec {n}}}

|PÅM→⋅ikke→|=|på(x-xPÅ)+b(y-yPÅ)|=|påxPÅ+byPÅ+vs.|{\ displaystyle | {\ overrightarrow {\ mathrm {AM}}} \ cdot {\ vec {n}} | = | a (x-x _ {\ mathrm {A}}) + b (y-y _ {\ mathrm {A} }) | = | ax _ {\ mathrm {A}} + av _ {\ mathrm {A}} + c |}( ax + by = - c fordi M er et punkt på (d)) |PÅM→⋅ikke→|=PÅPÅh×||ikke→||=PÅPÅh×på2+b2{\ displaystyle | {\ overrightarrow {\ mathrm {AM}}} \ cdot {\ vec {n}} | = \ mathrm {AA} _ {h} \ times || {\ vec {n}} || = \ mathrm {AA} _ {h} \ times {\ sqrt {a ^ {2} + b ^ {2}}}}.

Spesielt :

• hvis linjen har ligningen y = mx + p da  ;d(PÅ,(d))=|yPÅ-mxPÅ-s|1+m2{\ displaystyle d (\ mathrm {A}, (d)) = {\ frac {| y _ {\ mathrm {A}} -mx _ {\ mathrm {A}} -p |} {\ sqrt {1 + m ^ {2}}}}}
• hvis linjen har ligningen x = a dad(PÅ,(d))=|xPÅ-på|{\ displaystyle d (\ mathrm {A}, (d)) = | x _ {\ mathrm {A}} -a |}
• hvis linjen er gitt av sin normale ligning : da (hvor, selvfølgelig og ). Avstanden fra et punkt til en linje er ganske enkelt den absolutte verdien av dette polynomet for koordinatene til punkt A. For å si at et punkt tilhører en linje (d) i forhold til koordinatene verifiserer ligningen, tilsvarer dette å hevde at avstanden til (d) er null.xcos⁡θ+ysynd⁡θ-s=0{\ displaystyle x \ cos \ theta + y \ sin \ theta -p = 0}d(PÅ,(d))=|xPÅcos⁡θ+yPÅsynd⁡θ-s|{\ displaystyle d (\ mathrm {A}, (d)) = \ left \ vert x_ {A} \ cos \ theta + y_ {A} \ sin \ theta -p \ right \ vert}cos⁡θ=påpå2+b2{\ displaystyle \ cos \ theta = {\ frac {a} {\ sqrt {a ^ {2} + b ^ {2}}}}}synd⁡θ=bpå2+b2{\ displaystyle \ sin \ theta = {\ frac {b} {\ sqrt {a ^ {2} + b ^ {2}}}}}

Merk: Hvis vi tar i betraktning den algebraiske avstanden (id. Hvis den telles med tegnet), kan polynomet (med ) ta positive, negative eller nullverdier avhengig av om punktet er utenfor, under eller til høyre. Tegnet på denne algebraiske avstanden deler planet i tre domener, to halvplan og en linje, litt som kraften til et punkt i forhold til en sirkel som deler sirkelen i tre soner (det indre av sirkelen, sirkelen og utsiden av sirkelen). P(x;y)=cos⁡θx+synd⁡θy-s{\ displaystyle P (x; y) = \ cos \ theta \, x + \ sin \ theta \, yp}s>0{\ displaystyle p> 0}

I rommet

Hvis rommet har et ortonormalt koordinatsystem, hvis linjen ( d  ) passerer gjennom punkt B og har for å lede vektoren , blir avstanden mellom punkt A og linje ( d ) gitt av formelen u→{\ displaystyle {\ vec {u}}}

d(PÅ,(d))=‖BPÅ→∧u→‖‖u→‖{\ displaystyle d (\ mathrm {A}, (d)) = {\ frac {\ left \ | {\ overrightarrow {\ mathrm {BA}}} \ wedge {\ vec {u}} \ right \ |} { \ | {\ vec {u}} \ |}}}

hvor er kryssproduktet til vektorene og og hvor er normen for vektoren . BPÅ→∧u→{\ displaystyle {\ overrightarrow {\ mathrm {BA}}} \ wedge {\ vec {u}}}BPÅ→{\ displaystyle {\ overrightarrow {\ mathrm {BA}}}}u→{\ displaystyle {\ vec {u}}}‖u→‖{\ displaystyle \ | {\ vec {u}} \ |}u→{\ displaystyle {\ vec {u}}}

Faktisk, hvis vi betegner med C punktet ( d  ) slik at området til trekanten ABC er gitt av de to uttrykkene BVS→=u→{\ displaystyle {\ overrightarrow {\ mathrm {BC}}} = {\ vec {u}}}

PÅPÅBVS=12‖BPÅ→∧BVS→‖{\ displaystyle \ mathrm {A} _ {\ mathrm {ABC}} = {\ frac {1} {2}} \ left \ | {\ overrightarrow {\ mathrm {BA}}} \ wedge {\ overrightarrow {\ mathrm {BC}}} \ høyre \ |} PÅPÅBVS=12BVS×PÅPÅh{\ displaystyle \ mathrm {A} _ {\ mathrm {ABC}} = {\ frac {1} {2}} \ mathrm {BC} \ times \ mathrm {AA} _ {h}}.

Denne avstanden er større enn eller lik en avstand som skiller punkt A fra et plan som inneholder linje ( d  ). Hvis linjen ( d  ) er definert som skjæringspunktet mellom to vinkelrette plan, og hvis vi betegner med d₁ og d₂ avstandene fra punkt A til disse to planene, har vi:

d(PÅ,(d))=d12+d22{\ displaystyle d (\ mathrm {A}, (d)) = {\ sqrt {{d_ {1}} ^ {2} + {d_ {2}} ^ {2}}}}.

I dimensjon n

Dersom plassen har en ortonormal koordinatsystem, hvis linjen ( d ) går gjennom punkt B og har i retning vektor . Ethvert poeng kan skrives slik u→{\ displaystyle {\ vec {u}}}M∈(d){\ displaystyle M \ in (d)}

M=B+tu→{\ displaystyle M = B + t {\ vec {u}}}

Avstanden mellom punktet A og den linje ( d ) er ved å beregne avstanden AM med M punktet ( D ) som ligger nærmest A . Dette tilsvarer å finne t

t=BPÅ→.u→‖u→‖2{\ displaystyle t = {\ frac {{\ overrightarrow {BA}}. {\ vec {u}}} {\ | {\ vec {u}} \ | ^ {2}}}}

hvor er prikkproduktet til vektorene og . Så det har vi gjort BPÅ→.u→{\ displaystyle {\ overrightarrow {BA}}. {\ vec {u}}}BPÅ→{\ displaystyle {\ overrightarrow {BA}}}u→{\ displaystyle {\ vec {u}}}

d(PÅ,(d))=‖PÅ-B-tu→‖=‖BPÅ→-BPÅ→.u→‖u→‖2u→‖{\ displaystyle d (A, (d)) = \ | ABt {\ vec {u}} \ | = \ left \ | {\ overrightarrow {BA}} - {\ frac {{\ overrightarrow {BA}}. { \ vec {u}}} {\ | {\ vec {u}} \ | ^ {2}}} {\ vec {u}} \ right \ |}

Demonstrasjon:

Det kommer ned på å finne hvem som minimerer . Minimering er den samme (kvadratfunksjonen øker strengt på den positive siden). M{\ displaystyle M}PÅM{\ displaystyle AM}PÅM2{\ displaystyle AM ​​^ {2}}

PÅM2=(PÅB→+tu→).(PÅB→+tu→){\ displaystyle AM ​​^ {2} = ({\ overrightarrow {AB}} + t {\ vec {u}}). ({\ overrightarrow {AB}} + t {\ vec {u}})}

Vi ønsker å finne dette minimumet. dPÅM2dt=0{\ displaystyle {\ frac {dAM ^ {2}} {dt}} = 0}

dPÅM2dt=2u→.(PÅB→+tu→)=0{\ displaystyle {\ frac {dAM ^ {2}} {dt}} = 2 {\ vec {u}}. ({\ overrightarrow {AB}} + t {\ vec {u}}) = 0} 2u→.PÅB→+2tu→.u→=2u→.PÅB→+2t‖u→‖2=0{\ displaystyle 2 {\ vec {u}}. {\ overrightarrow {AB}} + 2t {\ vec {u}}. {\ vec {u}} = 2 {\ vec {u}}. {\ overrightarrow { AB}} + 2t \ | {\ vec {u}} \ | ^ {2} = 0} t=BPÅ→.u→‖u→‖2{\ displaystyle t = {\ frac {{\ overrightarrow {BA}}. {\ vec {u}}} {\ | {\ vec {u}} \ | ^ {2}}}}

Se også

• Avstand
• Avstand fra et punkt til et fly
• Metriske egenskaper til linjer og plan

Merknader og referanser

1. Merk: poenget sies å være "utenfor" linjen hvis det ikke er i samme halvplan som opprinnelsen i forhold til denne linjen.

<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">