Tønnsett

I funksjonell analyse og i felt nær matematikk er et fat sett eller et fat i et topologisk vektorrom et sett som er konveks , absorberende , lukket og balansert (mnemonic, det er et fat kaffe).

Definisjon

Et sett E av et K -topologisk vektorrom X (hvor K er et ikke-diskret verdifelt felt som er en -algebra) er tønnet hvis det er: $\ mathbb {R}$

konveks : ${\ displaystyle \ forall t \ in [0,1], tE + (1-t) E \ subset E}$
balansert : ${\ displaystyle \ forall \ lambda \ in K, | \ lambda | \ leq 1 \ Rightarrow \ lambda E \ subset E}$
absorberende : ${\ displaystyle \ forall x \ i X, \ eksisterer \ alpha \ i \ mathbb {R} _ {+} ^ {*}, \ forall \ lambda \ i K: | \ lambda | \ leq \ alpha \ Rightarrow \ lambda x \ i E}$
lukket

Merknader .

Bare den siste eiendommen (lukket) er topologisk.
For at en konveks E skal være balansert (vi sier også "sirklet"), er det nok ${\ displaystyle \ forall \ lambda \ in K, | \ lambda | = 1 \ Rightarrow \ lambda E \ subset E.}$
En del E er en balansert konveks hvis og bare hvis den er helt konveks (in) : ${\ displaystyle \ forall \ lambda, \ mu \ in K, | \ lambda | + | \ mu | \ leq 1 \ Rightarrow \ lambda E + \ mu E \ subset E.}$
For at en balansert del E skal være absorberende, er det tilstrekkelig at en hvilken som helst vektor av X er homotetikken til en vektor av E : ${\ displaystyle KE = X.}$

Eiendommer

Tønnene har interessante egenskaper, hovedsakelig i det lokalt konvekse tilfellet. Faktisk, la E en lokalt konveks plass (innen fast eller kompleks), sin doble og T en del av E . Følgende forhold er ekvivalente: ${\ displaystyle E ^ {\ prime}}$

(a) T er et fat;(b) T er polar av en konveks, balansert og sterkt avgrenset mengde M i ;

{\ displaystyle E ^ {\ prime}}

x \ i E.

{\ displaystyle p (x) \ leq 1}

Disse ekvivalensene er en konsekvens av det bipolare teoremet (derfor av Hahn-Banach-teoremet ).

Eksempler

I en semi-normert vektorrommet , den enheten ballen er tønneformet.
Ethvert lokalt konvekst rom innrømmer et grunnlag av nabolag på 0 fat.

Referanser

(fr) Denne artikkelen er delvis eller helt hentet fra den engelske Wikipedia- artikkelen med tittelen " Barreled set " ( se listen over forfattere ) .
(no) " Barrel " , på PlanetMath

Se også

Sperret plass, et eget topologisk vektorrom hvor et sperret sett er et nabolag på 0.