Lokalt konveks plass

I matematikk er et lokalt konveks rom et topologisk vektorrom der topologien kan defineres ved hjelp av en familie av semi-normer . Det er en generalisering av forestillingen om normert rom .

Definisjon

Et topologisk vektorrom E sies å være lokalt konveks hvis det tilfredsstiller en av følgende to ekvivalente egenskaper:

1. det er en familie av semi-standarder slik at topologien til E er innledende for applikasjonssettet  ;P{\ displaystyle {\ mathcal {P}}}{x↦s(x-y)∣y∈E,s∈P}{\ displaystyle \ {x \ mapsto p (xy) \ mid y \ i E, p \ i {\ mathcal {P}} \}}
2. nullvektoren har en base av nabolag dannet av konvekse .

I dette tilfellet kan familien av semi-standarder alltid velges filtrering .

Demonstrasjon av ekvivalensen av de to definisjonene

• (1) ⇒ (2)
  faktisk ethvert semi-norm p på E er en konveks funksjon og derfor for en hvilken som helst R > 0, settet av x i E som tilfredsstiller p ( x ) < R er konveks .
• (2) ⇒ (1)
  Let T topologi E , antas å bli kontrollert (2), og T ' som, grovere, definert av familien av alle seminorms på E kontinuerlig for T .
  Det er et spørsmål om å bevise det omvendt, T ⊂ T ' . Det er tilstrekkelig for dette å vise at ethvert T- nabolag V på 0 inneholder et T ' -nære område på 0.
  Nå for en slik V , ved kontinuitet av kartet (λ, v ) ↦ λ v , eksisterer det en reell α> 0 og et T- nabolag W på 0, som kan antas å være konveks fra (2), slik at|λ|<α{\ displaystyle | \ lambda | <\ alpha} og v∈W⇒λv∈V.{\ displaystyle v \ i W \; \ Rightarrow \ lambda v \ i V.}V inneholder deretter settet Ω definert avΩ=⋃|λ|<αλW.{\ displaystyle \ Omega = \ bigcup _ {| \ lambda | <\ alpha} \ lambda W.}Videre er Ω nabolaget til 0 (derfor absorberende ), konveks og balansert . dens måleren er således et semi-standard kontinuerlig E , ballen fra sentrum 0 og radius Anmeldelse for 1. / 2- er således et T ' -voisinage 0. Or denne ballen er inkludert i Ω, så i V .

Eksempler

• Ethvert normalisert vektorrom er lokalt konveks (topologi definert av en enkelt semi-norm: normen).
• Den svake topologien til et topologisk vektorrom er lokalt konveks. Kontinuerlige lineære modulformer brukes som en familie av semi-normer.
• På sin topologiske dualitet er de sterke og svake- * topologiene også definert av en familie av semi-normer.

Moteksempler

• For 0 < p <1 er ikke de metriske områdene av sekvenser ℓ p og de metriske rommene for funksjonene L p lokalt konvekse mellomrom.

Separasjonskriterium

Teorem  -  For at et lokalt konvekst rom definert av en familie av semi-normer skal skilles , er det nødvendig og tilstrekkelig at det for enhver ikke-null vektor eksisterer en semi-norm slik at . E{\ displaystyle E}(sJeg)Jeg∈Jeg{\ displaystyle (p_ {i}) _ {i \ i I}}v∈E{\ displaystyle v \ i E}sJeg{\ displaystyle p_ {i}}sJeg(v)≠0{\ displaystyle p_ {i} (v) \ neq 0}

Faktisk blir et topologisk vektorrom skilt ut hvis og bare hvis skjæringspunktet mellom nabolagene på 0 er redusert til singleton {0}, med andre ord hvis og bare hvis det for en ikke-null vektor v eksisterer et nabolag på 0 inneholder v .

Kontinuitet av en funksjon

La være to lokalt konvekse mellomrom, hvis topologier henholdsvis er definert av familier av semi-normer (visstnok filtrering) og (hvilken som helst), og f en anvendelse av det første rommet i det andre. Følgende proposisjon er resultatet av definisjonene. (E,P),(F,Q){\ displaystyle (E, {\ mathcal {P}}), (F, {\ mathcal {Q}})}P{\ displaystyle {\ mathcal {P}}}Q{\ displaystyle {\ mathcal {Q}}}

Forslag  - 

• f er kontinuerlig ved et punkt v av E hvis og bare hvis

∀q∈Q∀ϵ>0∃s∈P∃α>0∀w∈Es(w-v)<α⇒q(f(w)-f(v))<ϵ {\ displaystyle \ forall q \ i {\ mathcal {Q}} \ quad \ forall \ epsilon> 0 \ quad \ eksisterer p \ i {\ mathcal {P}} \ quad \ eksisterer \ alpha> 0 \ quad \ forall w \ i E \ quad p (wv) <\ alpha \ quad \ Rightarrow \ quad q (f (w) -f (v)) <\ epsilon \}.

• f er jevnt kontinuerlig over E hvis og bare hvis

∀q∈Q∀ϵ>0∃s∈P∃α>0∀v∈E∀w∈Es(w-v)<α⇒q(f(w)-f(v))<ϵ {\ displaystyle \ forall q \ i {\ mathcal {Q}} \ quad \ forall \ epsilon> 0 \ quad \ eksisterer p \ i {\ mathcal {P}} \ quad \ eksisterer \ alpha> 0 \ quad \ forall v \ i E \ quad \ forall w \ i E \ quad p (wv) <\ alpha \ quad \ Rightarrow \ quad q (f (w) -f (v)) <\ epsilon \}.

For eksempel (ved å ta og ) er alle semi-normene som hører til jevnt sammenhengende på E (fordi 1- Lipschitzian ). En semi-norm q over E er faktisk jevn kontinuerlig hvis og bare hvis den er kontinuerlig ved 0, som tilsvarer eksistensen av en semi-norm p ∈ og en konstant C > 0 slik at q ≤ Cp . Vi utleder en analog for lineære applikasjoner: F=R{\ displaystyle F = \ mathbb {R}}Q=(| |){\ displaystyle {\ mathcal {Q}} = (| \ |)}P{\ displaystyle {\ mathcal {P}}}P{\ displaystyle {\ mathcal {P}}}

Bevegelses  -  En lineær kartlegging er uniformt kontinuerlig hvis og bare hvis det er kontinuerlig på 0, noe som resulterer i: . T:E→F{\ displaystyle T: E \ til F}
∀q∈Q∃s∈P∃VS>0∀v∈Eq(T(v))≤VS s(v) {\ displaystyle \ forall q \ i {\ mathcal {Q}} \ quad \ eksisterer p \ i {\ mathcal {P}} \ quad \ eksisterer C> 0 \ quad \ forall v \ i E \ quad q (T ( v)) \ leq C \ p (v) \}

Metrisability

Teorem  -  La E være et eget lokalt konvekst rom , hvis topologi er definert av en familie av semi-normer. Følgende forhold er ekvivalente: P{\ displaystyle {\ mathcal {P}}}

1. E er metriserbar .
2. Hvert punkt i E har en tellbar base av nabolag.
3. Topologien til E kan defineres av en tellbar underfamilie av semi-normer.D⊂P{\ displaystyle {\ mathcal {D}} \ subset {\ mathcal {P}}}
4. Topologien til E kan defineres av en tellbar filtreringsfamilie av semi-normer.
5. Topologien til E kan defineres av en avstands- invariant ved oversettelse.

Demonstrasjon

Ekvivalensen mellom 1, 2 og 5 er et spesielt tilfelle av Birkhoff-Kakutani-teoremet om topologiske grupper . La oss vise at 3 og 4 også tilsvarer 2.

• 2 ⇒ 3: det vil si et grunnlag for nabolag på 0. Hver inneholder en kule av formen , hvor og for en viss endelig del . Topologien definert av den tellbare underfamilien er åpenbart mindre fin enn E , men også finere, ved konstruksjon.(Vikke)ikke∈IKKE{\ displaystyle (V_ {n}) _ {n \ in \ mathbb {N}}}Vikke{\ displaystyle V_ {n}}Bqikke(0,rikke){\ displaystyle B_ {q_ {n}} (0, r_ {n})}rikke>0{\ displaystyle r_ {n}> 0}qikke=makss∈Dikkes{\ displaystyle q_ {n} = \ max _ {p \ i {\ mathcal {D}} _ {n}} p}Dikke⊂P{\ displaystyle {\ mathcal {D}} _ {n} \ subset {\ mathcal {P}}}D=∪ikke∈IKKEDikke{\ displaystyle {\ mathcal {D}} = \ cup _ {n \ in \ mathbb {N}} D_ {n}}
• 3 ⇒ 4: er en rekke av semi-standarder definerer topologien til E . Ved å stille oppnår vi en filtreringssekvens av semi-normer som definerer den samme topologien.(sikke)ikke∈IKKE{\ displaystyle (p_ {n}) _ {n \ in \ mathbb {N}}}qikke=maksk≤ikkesk{\ displaystyle q_ {n} = \ max _ {k \ leq n} p_ {k}}
• 4 ⇒ 2: la være en filtreringssekvens av semi-normer som definerer topologien til E , så har hvert punkt x et tellbart grunnlag for nabolag, av formen .(qikke)ikke∈IKKE{\ displaystyle (q_ {n}) _ {n \ in \ mathbb {N}}} V(x,ikke)={y∈E∣qikke(y-x)<2-ikke}{\ displaystyle V (x, n) = \ {y \ i E \ mid q_ {n} (yx) <2 ^ {- n} \}}

Analogene for p <1 av mellomrommene Lp med p ≥ 1 kan måles med en invariant avstand, men er ikke lokalt konvekse.

For en hvilken som helst åpen ikketom løpet av funksjonene C ∞ med kompakt støtte av i er naturligvis forsynt med en lokalt konveks struktur som ikke kan metrized. Ω⊂Rikke{\ displaystyle \ Omega \ subset \ mathbb {R} ^ {n}}D(Ω){\ displaystyle {\ mathcal {D}} (\ Omega)}Ω{\ displaystyle \ Omega}R{\ displaystyle \ mathbb {R}}

Merk at ethvert normerbart topologisk vektorrom er lokalt konveks og metrisk. Imidlertid er det motsatte ikke er sant: for eksempel Schwartz plass er Fréchet , spesielt lokalt konveks og metrizable, men nukleær og av uendelig dimensjon, og derfor ikke-normable. Et annet eksempel på en lokalt konveks metrizable men ikke normable plass er R N .

Kolmogorovs normabilitetskriterium (1934)  - 

• Et lokalt konvekst rom er semi-normerbart hvis og bare hvis det er lokalt avgrenset, dvs. hvis 0 har et avgrenset nabolag .
• Et topologisk vektorrom er derfor normerbart hvis og bare hvis det er separat, lokalt konveks og lokalt avgrenset.

Fréchet plass

Et Fréchet-rom er et lokalt konvekst rom som både er metrisk og komplett i betydningen ensartede rom , eller enklere: et lokalt konvekst rom som er fullstendig metrisk (dvs. hvis topologi er indusert av en fullstendig avstand).

Merknader og referanser

1. For bevis som ikke bruker Birkhoff-Kakutani-teoremet , se for eksempel Claude Wagschal , Topologi og funksjonell analyse , Hermann, koll.  "Metoder",1995.
2. (en) Eric Schechter  (en) , Analysehåndbok og dens grunnlag , Academic Press ,1997( les online ) , s.  724.

Relaterte artikler

• Banach plass
• Bornologisk rom  (av)
• DF Space  (de)
• LF-plass  (de)
• Montel plass
• Quasinormable space  (of)
• Retikulert plass  (av)
• Suite plass ℓp
• Sperret plass
• Kompakt-åpen topologi

<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">