Symmetrisk rom

I matematikk , og mer spesifikt i differensialgeometri , betegner et (lokalt) symmetrisk rom vanligvis et Riemann-manifold som Riemann-tensoren har et nullkovariantderivat for . Denne tilstanden generaliserer " rom med konstant krumning (in) " og bør ikke forveksles med den (siden for sistnevnte er det snittkurven som er konstant). Symmetriske rom ble introdusert og klassifisert av Élie Cartan på 1920-tallet. De har flere tilsvarende karakteristikker, særlig det faktum at anvendelse av symmetri langs geodesikken på hvert punkt utgjør en (lokal) isometri . Den globale strukturen til komplette symmetriske rom er også kjent, de er homogene rom , kvotienter av Lie-grupper .

De symmetriske rommene utgjør et naturlig rammeverk for å generalisere den klassiske harmoniske analysen på kulene .

I en bredere forstand er et symmetrisk rom en differensialmanifold utstyrt, på hvert punkt, med en involusjon som dette punktet er et isolert fast punkt , og som tilfredsstiller visse betingelser. Når det ikke er risiko for forvirring, kalles symmetriske riemanniske rom ganske enkelt symmetriske rom.

Rom med konstant krumning, de fleste av de vanlige homogene rom med differensialgeometri er enten symmetriske rom (Riemannian eller ikke) eller det vi kaller generaliserte varianter av flagg (generalisering av prosjektive rom, Grassmannians, projiserende kvadrater).

Symmetriske riemanniske rom

Lokalt symmetrisk karakter

I Riemannian-geometri har en Riemannian-manifold $(M, g)$ en kanonisk forbindelse: Levi-Civita-forbindelsen , som gjør det mulig å utlede tensorer av alle ordrer. I nærheten av hvert punkt $x$ kan vi vurdere anvendelsen av geodesisk symmetri som gjør at to punkter med motsatte koordinater samsvarer i det eksponentielle kartet . A priori er den bare definert lokalt (så lenge geodesikken eksisterer på begge sider). $\ sigma_x$

Sorten sies å være lokalt symmetrisk når en av følgende to ekvivalente egenskaper er verifisert:

den krumning tensor er parallelle, det vil si fra null covariant derivat . ${\ displaystyle \ nabla R = 0}$
eller igjen, for hvert punkt $x$ , er en lokal isometri $\ sigma_x$

Vi kan gi en skjematisk begrunnelse av ekvivalens. På den ene siden, hvis den geodesiske symmetrien er en isometri, endres den til det motsatte siden den er en tensor på rang 5, og på den annen side holder den den siden den er en Riemannian-invariant. Det er derfor null. Omvendt, hvis dette derivatet er null, kan vi utlede det av evolusjonsligningen til Jacobi-feltene langs geodesikken: de har en konstant norm, og vi utleder den isometriske karakteren til . ${\ displaystyle \ nabla R}$ $\ sigma_x$

Symmetrisk karakter

Når manifolden er fullført, av Hopf-Rinow-teoremet , defineres hvert eksponentielt kart, og derfor hver geodesiske symmetri, globalt. Vi kaller symmetrisk rom for et lokalt symmetrisk, komplett Riemann-manifold slik at de geodesiske symmetriene er isometrier (denne gangen i global forstand).

Tilsvarende sies en Riemannian manifold $(M, g)$ å være symmetrisk når det for et hvilket som helst punkt x av M eksisterer en isometri som bekrefter: ${\ displaystyle \ sigma _ {x}: M \ til M}$

${\ displaystyle \ sigma _ {x} (x) = x}$ ;
${\ displaystyle d \ sigma _ {x} (x) = - Id}$ .

Denne isometrien kalles involusjonen i x . Det er da en og bare en passende symmetri i x : vi finner den geodesiske symmetrien. $\ sigma_x$

En lokalt symmetrisk, komplett og enkelt tilkoblet manifold er symmetrisk. Imidlertid er det lokalt symmetriske rom som ikke er inkludert i et symmetrisk rom (selv med hypotesen om enkel tilkobling): dette er et fenomen som vi allerede observerer når det gjelder rom med konstant krumning, for eksempel ved å ta den universelle tildekkingen av en kule der to antipodale punkter er fjernet.

Eksempler på symmetriske rom

Euklidiske rom er symmetriske romanniske rom.
Sfærer, elliptiske mellomrom (ekte, komplekse og kvaternioniske) er symmetriske rom, av rang 1.
Riemannianske manifolder med konstant snittkurvatur er lokalt symmetriske rom.
Hyperbolske mellomrom (ekte, komplekse og kvaternioniske) er symmetriske rom av rang 1.
Heisenberg-rom er symmetriske rom.

Klassifisering av symmetriske riemanniske rom

Irredusible symmetriske Riemannian-rom ganske enkelt koblet til av kompakt type

Her er de enkelt tilkoblede symmetriske irredusible Riemannian-områdene av kompakt type hvis gruppe er klassisk

SU ( n ) / SO ( n )
SU (2 n ) / Sp ( n )
SU ( p + q ) / S ( U ( p ) × U ( q ))
SO ( p + q ) / ( SO ( p ) × SO ( q ))
Sp ( p + q ) / ( Sp ( p ) × Sp ( q ))
Sp ( n ) / U ( n )
SO (2 n ) / U ( n )
SU ( n )
Sp ( n )
Spinn ( n )

Irredusible symmetriske Riemannian-rom ganske enkelt koblet sammen av ikke-kompakt type

Her er de enkelt tilkoblede irredusible symmetriske Riemannian-rom av ikke-kompakt type hvis gruppe er klassisk

SL ( n , R ) / SO ( n )
SL ( n , H ) / Sp ( n )
SU ( p , q ) / S ( U ( p ) × U ( q ))
SO ( p , q ) / ( SO ( p ) × SO ( q ))
Sp ( p , q ) / ( Sp ( p ) × Sp ( q ))
Sp (2 n , R ) / U ( n )
O ( n , H ) / U ( n )
SL ( n , C ) / SU ( n )
Sp (2 n , C ) / Sp ( n )
SO ( n , C ) / SO ( n )

Symmetriske Hermitian-rom

Symmetriske r-mellomrom

Klassifisering

Her er klassifiseringen av symmetriske R-mellomrom for klassiske Lie-grupper. De innrømmer alle en enkel geometrisk tolkning. Av Lagrangian Grassmannian må vi her forstå mangfoldet av vektordelområder av dimensjon n som er totalt isotrope, det vil si formene blir annullert identisk på.

Ekte, komplekse og kvaternionianske gressmannere av indekser p :
- U ( p + q ) / S ( U ( p ) × U ( q ));
- SO ( p + q ) / S ( O ( p ) × O ( q ));
- Sp ( p + q ) / ( Sp ( p ) × Sp ( q )).
Lagrangian Grassmannians av ekte kvadratiske, komplekse Hermitian og Quaternionian former med signatur ( n , n ) (en av de to tilkoblede komponentene i virkeligheten):
- ( SO ( n ) × SO ( n )) / SO ( n );
- ( U ( n ) × U ( n )) / U ( n );
- ( Sp ( n ) × Sp ( n )) / Sp ( n ).
Lagrangian Grassmannians av alternerende reelle og komplekse bilineære former i dimensjon 2 n :
- U ( n ) / O ( n );
- Sp ( n ) / U ( n ).
Grassmannian Lagrangian komplekse kvadratiske former (en av de to tilkoblede komponentene faktisk) og kvaternioniske antihermitian former i dimensjon 2 n :
- SO (2 n ) / U ( n );
- U (2 n ) / Sp ( n ).
Ekte og komplekse prosjektive kvadrikk:
- ( O ( p ) × O ( q )) / ( O ( 1 ) × O ( p - 1 ) × O ( q - 1 )).
- SO ( n ) / ( SO (2) × SO ( n - 2)).

Disse tolkningene er ikke iboende: de avhenger av det valgte koordinatsystemet. For eksempel er Grassmannian av indeks p av et reelt vektorrom ikke iboende et symmetrisk rom, men blir slik hvis vektorområdet er utstyrt med et euklidisk skalarprodukt.

Generelle symmetriske rom

Klassifisering av enkle symmetriske mellomrom

Det er (lokalt) 54 familier med enkle symmetriske rom med enkle klassiske Lie-grupper. Det er først ti familier med enkle komplekse symmetriske rom (av formen G / H , hvor G og H er komplekse løgngrupper), og de virkelige versjonene av disse komplekse symmetriske rommene. Hver av de ti tabellene tilsvarer en familie av komplekse symmetriske mellomrom, og den første raden er den for det tilsvarende komplekse symmetriske rommet. Når det er to kolonner i en tabell, er den første den for enkle symmetriske mellomrom, og den andre er den for “reduktive” symmetriske mellomrom knyttet til de i den første kolonnen: de har en noen ganger enklere geometrisk tolkning. Merk at det symmetriske rommet til den andre kolonnen kan være kanonisk isomorf til den første kolonnen.

SL ( n , C )	GL ( n , C )
SL ( n , R )	GL ( n , R )
SL ( n , H )	GL ( n , H )
SU ( p , q )	U ( p , q )
SL ( n , C ) / SL ( n , R )	GL ( n , C ) / GL ( n , R )
SL (2 n , C ) / SL ( n , H )	GL (2 n , C ) / GL ( n , H )
SL ( p + q , C ) / SU ( p , q )	GL ( p + q , C ) / U ( p , q )

SL ( n , C ) / SO ( n , C )	GL ( n , C ) / O ( n , C )
SU ( p , q ) / SO ( p , q )	U ( p , q ) / O ( p , q )
SL ( p + q , R ) / SO ( p , q )	GL ( p + q , R ) / O ( p , q )
SL ( n , H ) / O ( n , H )	GL ( n , H ) / O ( n , H )
U ( n , n ) / O ( n , H )	-

SL (2 n , C ) / Sp (2 n , C )	GL (2 n , C ) / Sp (2 n , C )
SL (2 n , R ) / Sp (2 n , R )	GL (2 n , C ) / Sp (2 n , R )
SL ( p + q , H ) / Sp ( p , q )	GL ( p + q , H ) / Sp ( p , q )
SU ( n , n ) / Sp (2 n , R )	U ( n , n ) / Sp (2 n , R )
SU (2 p , 2 q ) / Sp ( p , q )	U (2 p , 2 q ) / Sp ( p , q )

SL ( p + q , C ) / S ( GL ( p , C ) × GL ( q , C ))	GL ( p + q , C ) / ( GL ( p , C ) × GL ( q , C ))
SL ( p + q , R ) / S ( GL ( p , R ) × GL ( q , R ))	GL ( p + q , R ) / ( GL ( p , R ) × GL ( q , R ))
SL ( p + q , H ) / S ( GL ( p , H ) × GL ( q , H ))	GL ( p + q , H ) / ( GL ( p , H ) × GL ( q , H ))
SU ( n , n ) / GL ± ( n , C )	U ( n , n ) / GL ( n , C )
SU ( p + q , r + s ) / S ( U ( p , r ) × U ( q , s ))	U ( p + q , r + s ) / ( U ( p , r ) × U ( q , s ))
SL (2 n , R ) / SL * ( n , C )	GL (2 n , R ) / GL ( n , C )
SL ( n , H ) / SL * ( n , C )	GL ( n , H ) / GL ( n , C )

SO ( n , C )	O ( n , C )
SO 0 ( p , q )	O ( p , q )
O ( n , H )	-
SO ( p + q , C ) / SO ( p , q )	O ( p + q , C ) / O ( p , q )
SO (2 n , C ) / O ( n , H )	O (2 n , C ) / O ( n , H )

SO ( p + q , C ) / S ( O ( p , C ) × O ( q , C ))	O ( p + q , C ) / ( O ( p , C ) × O ( q , C ))
SO ( p + q , r + s ) / S ( O ( p , r ) × O ( q , s ))	O ( p + q , r + s ) / ( O ( p , r ) × O ( q , s ))
O ( p + q , H ) / ( O ( p , H ) × O ( q , H ))	-
SO 0 ( n , n ) / O ( n , C )	O ( n , n ) / O ( n , C )
O ( n , H ) / O ( n , C )	-

SO (2 n , C ) / GL ( n , C )	O (2 n , C ) / GL ( n , C )
SO 0 ( n , n ) / GL + ( n , R )	O 0 ( n , n ) / GL ( n , R )
O (2 n , H ) / GL ( n , H )	-
SO 0 (2 p , 2 q ) / U ( p , q )	O (2 p , 2 q ) / U ( p , q )
O ( p + q , H ) / U ( p , q )	-

Sp (2 n , C )

Sp (2 n , R )

Sp ( p , q )

Sp (2 n , C ) / Sp (2 n , R )

Sp (2 p + 2 q , C )) / Sp ( p , q )

Sp (2 p + 2 q , C ) / ( Sp (2 p , C ) × Sp (2 q , C )

Sp (2 p + 2 q , R ) / ( Sp (2 p , R ) × Sp (2 q , R )

Sp ( p + q , r + s ) / ( Sp ( p , r ) × Sp ( q , s ))

Sp (4 n ) / Sp (2 n , C )

Sp ( n , n ) / Sp (2 n , C )

Sp (2 n , C ) / GL ( n , C )

Sp (2 n , R ) / GL ( n , R )

Sp ( n , n ) / GL ( n , H )

Sp (2 p + 2 q , R ) / U ( p , q )

Sp ( p + q ) / U ( p , q )

Historisk

Teorien og klassifiseringen av symmetriske Riemannian-rom er verk av Élie Cartan . Klassifiseringen av ikke-kompakte semi-enkle symmetriske rom skyldes Marcel Berger .

Bibliografi

Artikler

M. Berger , On Holonomic Groups of Unsymmetrical Riemannian Varieties , 1953.
M. Berger, Struktur og klassifisering av symmetriske homogene rom med en semi-enkel isometrisk gruppe , 1955.
M. Berger, ikke-kompakte symmetriske rom , 1957.
M. Berger, Om noen kompakte Einstein-varianter , 1962.

Bøker

( fr ) Arthur Besse , Einstein manifolds , koll. "Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete",1987( ISBN 0-387-15279-2 ), særlig kapittel 10, avsnitt G.
(no) S. Helgason (de) , Differensiell geometri, Løgngrupper og symmetriske mellomrom , Academic Press, 1978 ( ISBN 0-8218-2848-7 ) . Den oppslagsverk på symmetriske områder.

Se også

Besse 1987 , s. 295 og 297
(no) Marcel Berger , A Panoramic View of Riemannian Geometry ,2003[ detalj av utgaven ], s. 190
(in) Jürgen Jost , Riemannian Geometry and Geometric Analysis ,2002[ detalj av utgaver ], s. 238 og 241
Berger 2003 , s. 191