Viviani-vinduet

Den Viviani vindu er et algebraisk kurve til venstre , og en lukket kurve , definert som skjæringspunktet for en sfære og en sirkulær sylinder halve radien av sfæren og som går gjennom midten av kulen.

Vincenzo Viviani foreslo i 1692 følgende arkitektoniske problem: det var et spørsmål om å bore en halvkuleformet kuppel med fire vinduer på en slik måte at den gjenværende overflaten av kuppelen er firkantbar . John Wallis , Gottfried Wilhelm Leibniz og Jean Bernoulli studerte naturlig nok det enkle tilfellet med sirkulære vinduer, og måtte studere krysskurven til sylinderen og halvkule, og ga denne kurven navnet "Viviani-vinduet".

Arkitekten Paul Andreu designet kuppelen til Osaka Maritime Museum , ordnet rammene i henhold til et nettverk av parallelle Viviani-kurver.

Viviani vindusligninger

Vi har følgende representasjoner (for en sfære med radius R ):

System av kartesiske ligninger: og , den sistnevnte uttrykk fra den til en sylinder sentrum , radius og akse parallell med aksen  : .x2+y2+z2=R2{\ displaystyle x ^ {2} + y ^ {2} + z ^ {2} = R ^ {2}}x2+y2=Rx{\ displaystyle x ^ {2} + y ^ {2} = Rx}(x,y)=(R2,0){\ displaystyle (x, y) = \ left ({\ frac {R} {2}}, 0 \ right)}R2{\ displaystyle {\ frac {R} {2}}}z{\ displaystyle z}(x-R2)2+y2=(R2)2{\ displaystyle \ left (x - {\ frac {R} {2}} \ right) ^ {2} + y ^ {2} = \ left ({\ frac {R} {2}} \ right) ^ { 2}} Kartesisk parametrisering:

Sfæren kan parametriseres etter hvor {x=Rcos⁡θcos⁡φy=Rsynd⁡θcos⁡φz=Rsynd⁡φ{\ displaystyle \ left \ {{\ begin {array} {rcl} x & = & R \ cos \ theta \ cos \ varphi \\ y & = & R \ sin \ theta \ cos \ varphi \\ z & = & R \ sin \ varphi \ end {array}} \ right.}-π<θ<π,-π2<φ<π2.{\ displaystyle - \ pi <\ theta <\ pi, - {\ frac {\ pi} {2}} <\ varphi <{\ frac {\ pi} {2}}.}

Ved å overføre i ligningen til sylinderen, oppnår man: x2+y2-Rx=R2cos⁡φ(cos⁡φ-cos⁡θ)=0.{\ displaystyle x ^ {2} + y ^ {2} -Rx = R ^ {2} \ cos \ varphi (\ cos \ varphi - \ cos \ theta) = 0.}

Så og konfigurasjonen av Viviani-kurven: cos⁡φ=cos⁡θ{\ displaystyle \ cos \ varphi = \ cos \ theta}

{x=Rcos2⁡θy=Rsynd⁡θcos⁡θz=Rsynd⁡θ{\ displaystyle \ left \ {{\ begin {array} {rcl} x & = & R \ cos ^ {2} \ theta \\ y & = & R \ sin \ theta \ cos \ theta \\ z & = & R \ sin \ theta \ end {array}} \ right.} med -π<θ≤π{\ displaystyle - \ pi <\ theta \ leq \ pi}

Merknader og referanser

Referanser

1. Den fulle uttalelsen om problemet er gitt i artikkelen av D. Lanier, jfr. infra .
2. Jf. Chasles, s. 141.
3. Viviani's Window, på Mathcurve.com

• Michel Chasles , Historisk oversikt over opprinnelse og utvikling av metoder i geometri (1837), impr. Hayez, Brussel
• Michel Serres , Leibnitzs system og dets matematiske modeller (1968, siv. 2007) red. PUF, koll. Epimetheus ( ISBN  2130433898 )
• (fr) Denis Lanier, “  Leibniz, den nye analysen og geometrien eller undersøkelsen på vinduet til Viviani  ” , på NUMDAM , Cahiers du seminaire d'histoire des mathematiques, vol. 8,1987(åpnet 28. oktober 2007 ) ,s.  203-227