Overføringsfunksjon

I signalbehandling er en overføringsfunksjon en matematisk modell av forholdet mellom inngangen og utgangen til et lineært system , ofte invariant . Den brukes spesielt i kommunikasjonsteori, i automatisering og i alle ingeniørvitenskapene som påkaller denne disiplinen ( elektronikk , mekanikk , mekatronikk , etc. ). Ovennevnte inngangs- og utgangssignaler kan ha flere komponenter, i hvilket tilfelle blir det ofte spesifisert (uten at det er en forpliktelse) at overføringsfunksjonen er en overføringsmatrise . På den annen side kan disse signalene bare avhenge av tid (dette er det mest klassiske tilfellet), eller romvariabler, eller begge deler: dette er tilfellet med flerdimensjonale systemer ); noen forfattere modellerer på denne måten systemene som er definert av delvise differensiallikninger. Innen bildebehandling er inngangs- og utgangssignalene funksjoner til romvariablene som ofte blir betraktet som diskrete variabler, og blir deretter indeksert familier (eller sekvenser). Overføringsfunksjonen til et system gjør det mulig å utføre frekvensanalyse , for eksempel for deretter å utforme en regulator i det som ofte kalles frekvensdomene (se artikkelen automatisk ). Oppføringen av et lineært system er ikke nødvendigvis en kommandovariabel, og utgangen er ikke alltid en variabel hvis oppførsel man ønsker å administrere; for eksempel kan en farget støy modelleres som utgangen fra et lineært system som har for inngang av en hvit støy og hvis overføringsfunksjon bestemmes av metoden for direkte og invers kausal spektral faktorisering.

Begrepet overføringsfunksjon

Forholdet nevnt ovenfor mellom inngangen $u$ og utgangen $y$ til et system er en konvolusjonsoperatør hvis kjerne er impulsresponsen til systemet. Med unntak av et stabilt eller marginalt stabilt system, er dette ikke en herdet fordeling (når det gjelder kontinuerlige variabler) eller en langsomt voksende sekvens (når det gjelder diskrete variabler), og innrømmer derfor ingen Fourier-transformasjon. Det er derfor nødvendig å vurdere Laplace- transformasjonen eller Z-transformasjonen , avhengig av om variablene er kontinuerlige eller diskrete. Det er denne transformasjonen som kalles overføringsfunksjonen til systemet. Dette representerer bare delvis systemet, siden det ikke tar hensyn til de innledende (eller grense) forholdene. Mer nøyaktig oppnås det ved å anta at disse utgangsbetingelsene (eller ved grensene) er null. Dette resulterer i tap av informasjon, noe som betyr at overføringsfunksjonen kun representerer den kontrollerbare og observerbare delen av systemet. Likevel er det veldig viktig for analysen av egenskapene til dette systemet, og historisk er det denne representasjonen som dukket opp først (se History of automatics ). Det er viktig å forstå mulighetene som formalismen til overføringsfunksjoner gir, samt grensene.

Begrepet overføringsfunksjon har lenge bare blitt definert for uforanderlige lineære systemer . Spørsmålet oppstod naturlig nok om denne forestillingen kunne utvides til å omfatte lineære systemer med variable koeffisienter. Det er først nylig, ved en algebraisk metode, at denne utvidelsen er oppnådd med konkrete praktiske konsekvenser.

Overføringsfunksjon til et monovariabelt system

Tilfelle av kontinuerlige tidssystemer

Definisjon

Tenk på et ligningssystem:

D \ venstre (\ delvis \ høyre) y = N \ venstre (\ delvis \ høyre) u

hvor $u$ og $y$ er henholdsvis inngang og utgang, og hvor $D (\partial)$ og $N (\partial)$ er polynomer med reelle koeffisienter ved $\partial = d / d t$ av henholdsvis grad $n$ og $m$ . Settet til disse polynomene er en euklidisk , og derfor prinsipiell , ring betegnet . ${\ displaystyle \ mathbb {R} [\ partial]}$

Polynomet $D (\partial)$ antas å være ikke-null. Anta at $u$ og $y$ er "generaliserte funksjoner med positiv støtte" som innrømmer Laplace-transformasjoner betegnet henholdsvis og . ${\ displaystyle {\ hat {u}} (p)}$ ${\ displaystyle {\ hat {y}} (p)}$

Anta at startbetingelsene $y (0 - )\dots, y n -1 (0 - ), u (0 - )\dots, u m -1 (0 - )$ er null . Selv om ovenstående differensialligningen medfører, den Laplace trans , . ${\ displaystyle D (p) {\ hat {y}} (p) = N (p) {\ hat {u}} (p)}$

Derfor : ${\ displaystyle {\ hat {y}} (p) = G (p) {\ hat {u}} (p)}$

hvor $G ( p )$ er den rasjonelle brøkdelen $N ( p ) / D ( p )$ . Denne rasjonelle fraksjonen kalles overføringsfunksjonen til systemet.

Ikke-kontrollerbare stolper

Resonnementet som involverer denne rasjonelle brøkdelen, må gjøres på grunn av den irredusible representasjonen $N ' ( p ) / D ' ( p )$ hvor $N ' ( p ) = N ( p ) / P ( p )$ , $D ' ( p ) = D ( p ) / P ( p )$ , $P ( p )$ betegner en gcd av $N ( p )$ og $D ( p )$ .

Det vurderte systemet er alltid observerbart, og det er kontrollerbart (resp. Stabiliserbart) hvis, og bare hvis $P ( p )$ er en enhet av ringen , det vil si en ikke-null-reell (hhv. Et polynom av Hurwitz ). Røttene i det komplekse planet til polynomet $P$ $($ $p$ $)$ er ikke-kontrollerbare poler i systemet ${\ displaystyle \ mathbb {R} [p]}$

Grad av en overføringsfunksjon

Graden av en rasjonell brøk $G = IKKE / D$ er definert av: $d ° ( G ) = d ° ( N ) - d ° ( D )$ . La oss gjøre den euklidiske delingen av $N (\partial)$ etter $D (\partial)$ . Det kommer $N (\partial) = D (\partial) Q (\partial) + R (\partial)$ hvor $Q (\partial)$ er kvotienten og $R (\partial)$ resten, slik at $d ° ( R ) < d ° ( D )$ . Ved å sette $z = y - Q (\partial) u$ , la igjen

{\ displaystyle y = z + Q (\ partial) u}

vi oppnår

{\ displaystyle D (\ partial) z = R (\ partial) u}

Anta at $u$ er en kontinuerlig funksjon som viser en diskontinuitet ved opprinnelsen. Da er $z$ en kontinuerlig funksjon. For $y$ er tre tilfeller mulige:

$Q (\partial) = 0$ , som tilsvarer $d ° ( G ) <0$ . Den rasjonelle fraksjonen $G$ sies å være strengt riktig . I dette tilfellet er $R (\partial) = N (\partial)$ . Da er $y = z$ .
$d ° ( Q ) = 0$ , som tilsvarer $d ° ( G ) = 0$ . Den rasjonelle fraksjonen $G$ sies å være bipropre . Da er $y$ en funksjon som presenterer de samme diskontinuitetene som $u$ . En strengt ren eller bi-ren overføringsfunksjon sies å være ren .
$d ° ( Q )> 0$ , som tilsvarer $d ° ( G )> 0$ . Den rasjonelle fraksjonen $G$ sies å være upassende . I dette tilfellet, $y$ er, ved den matematiske nivå, etentall fordeling (dvs. en fordeling som ikke er en funksjon, fordi den er uttrykt som en funksjon av Dirac-fordeling og eventuelt av dets derivater).

Sak (3) forekommer aldri i praksis, da en diskontinuerlig oppføring ville ødelegge systemet. Tilfelle (2) er eksepsjonelt: det tilsvarer et system “uten treghet”. En regulator kan likevel ha en bi-spesifikk overføringsfunksjon (det enkleste tilfellet er en proporsjonal regulator).

Vi antar i det følgende at vi er i tilfelle (1) eller (2).

Overføringsstolper og nuller - Stabilitet

Den poler (resp. Nuller ) for overføring av systemet er kalt polene (resp. De nuller) for overføringsfunksjonen $G ( s )$ , nemlig røttene av $D ' ( p )$ (resp. $N' ( p )$ ).

Systemet er EBSB-stabilt hvis, og bare hvis overføringspolene tilhører det venstre halvplanet (som den imaginære aksen etter konvensjon er ekskludert fra). Den er eksponentielt stabil hvis, og bare hvis polynomet $D (\partial)$ er Hurwitz . Fra ovenstående er systemet eksponentielt stabilt hvis og bare hvis det er EBSB-stabilt og stabiliserbart. (Det kan ikke understrekes nok at dette bare er sant fordi det vurderte systemet er observerbart, og dets eneste mulige skjulte modus er derfor ikke-kontrollerbare poler.)

Systemet sies å ha faseminimum hvis polene og overføringsnullene tilhører venstre halvplan.

Frekvensrespons

Systemets frekvensrespons er funksjonen . Det er definert på komplementet av i hvor er settet (eventuelt tom) av kraftoverføringsstolper plassert på den imaginære akse. Prinsippet for den analytiske utvidelsen viser at frekvensresponsen helt bestemmer overføringsfunksjonen. ${\ displaystyle \ omega \ mapsto G ({\ rm {i}} \ omega)}$ $\ mathcal {P}$ $\ mathbb {R}$ $\ mathcal {P}$

Tolkningen av frekvensresponsen er som følger: antar at inngangen til systemet er sinusformet, av pulsasjon $ω$ (denne pulsasjonen hører ikke til settet ovenfor). Det er praktisk, i den matematiske flyet, skriver dette inngangssignalet $u$ i kompleks form , . Så viser vi umiddelbart at utgangen er (i kompleks form) $y$ $($ $t$ $) =$ $G$ $(i$ $ω$ $)$ $u$ $($ $t$ $)$ . Konkret er den faktiske inn- og utgangen (i enhver forstand av ordet) selvfølgelig den virkelige delen av den komplekse inn- og utgangen ovenfor. $\ mathcal {P}$ ${\ displaystyle t \ mapsto A {\ rm {e}} ^ {{\ rm {i}} \ omega t}}$ $t \ i {\ mathbb {R}}$

Hvis den imaginære aksen tilhører konvergensbåndet til overføringsfunksjonen (som en bilateral Laplace-transformasjon av impulsresponsen), er frekvensresponsen ingen ringere enn Fourier-transformasjonen av impulsresponsen. Dette er grunnen til at overføringsfunksjonen er definert som denne Fourier-transformasjonen i visse ingeniørvitenskap der systemene som vurderes alltid er stabile. Dette er et språkbruk som ikke er uten forvirring.

Tilfelle av diskrete tidssystemer

Definisjon

Når det gjelder diskrete tidssystemer, er formalismen veldig lik den som er utviklet ovenfor, med noen forskjeller

I $systemligningen$ erstattes den avledede operatøren by av forhåndsoperatøren . Signaler er nå oppfølgere. ${\ displaystyle q: x (k) \ mapsto x (k + 1)}$
Ved å skrive at $D ( q ) = q n + a 1 q n - 1 + ... + a n$ og $N ( q ) = b 0 q m + b 1 q m - 1 + ... + b m$ , l Ligningen til systemet kan derfor forklares som følger:

{\ displaystyle y (k + n) + a_ {1} y (k + n-1) + ... + a_ {n} y (k) = b_ {0} u (k + m) + b_ {1 } u (k + m-1) + ... + b_ {m} u (k)}

(3) Utgangsbetingelsene er nå $y (0), ..., y ( n - 1), u (0), ..., u ( m - 1)$ . Forutsatt at de er null, og ved å symbolisere ved $U ( z )$ og $Y ( z )$ de monolaterale transformasjonene i Z av sekvensene henholdsvis $u$ og $y$ , får vi (se Egenskaper for transformasjonen i Z )

{\ displaystyle Y (z) = G (z) U (z)}

hvor $G ( z )$ er overføringsfunksjonen $N ( z ) / D ( z )$ .

Kausalitet

Systemet er strengt kausalt hvis, og bare hvis overføringsfunksjonen er en strengt riktig rasjonell brøk (dvs. $d ° ( G ) <0$ ). Dette betyr at utgangen ved et gitt øyeblikk $k$ (betraktet som det nåværende øyeblikket) verken påvirkes av fremtiden for oppføringen, eller til og med av verdien av sistnevnte i øyeblikket $k$ .

Systemet er årsakssammenheng, hvis bare overføringsfunksjonen er riktig. Dette betyr at utgangen til enhver tid ikke påvirkes av fremtiden for oppføringen.

Endelig er systemet ikke årsakssammenhengende hvis og bare hvis dets overføringsfunksjon er upassende. Utgangen på et gitt tidspunkt påvirkes da av fremtiden for oppføringen. Dette er selvfølgelig umulig når fortid, nåtid, fremtid har de vanlige betydningene. Likevel er det mulig å oppnå for eksempel signalbehandling med forsinket tid ved å bruke ikke-kausale digitale filtre .

Stabilitet

Et diskret tidssystem for overføringsfunksjonen $G ( z )$ er EBSB-stabilt hvis, og bare hvis overføringsstolper, dvs. polene til $G ( z )$ , alle er plassert inne i sirkelenheten.

Vi vet at forholdet mellom Laplace-variabelen $p$ og variabelen $z$ for transformasjonen i Z er (se Laplace-transformasjon ) $z = e pT$ der $T$ er prøvetakingsperioden. Så vi har $| z | <1$ (resp. $| Z | = 1$ ) hvis, og bare hvis (resp. ). Stabilitetsbetingelsen, oppgitt her for diskrete tidssystemer, bør derfor ikke være overraskende når man vet det som er angitt ovenfor for kontinuerlige tidssystemer. ${\ displaystyle \ Re (p) <0}$ ${\ displaystyle \ Re (p) = 0}$

Frekvensrespons

Ved å sette $p = i ω$ i forholdet mellom Laplace-variabelen $p$ og variabelen $z$ , får vi $z = e i ωT = e i θ$ med $θ = ωT$ . Dette forklarer hvorfor frekvensresponsen til et diskret tidssystem, med en overføringsfunksjon $G ( z )$ , er funksjonen . Denne funksjonen defineres for alle $θ$ slik at $e$ $jeg$ $θ$ er ikke en pol av $G$ $($ $z$ $)$ , er periodisk med periode $2π$ , og som er variasjonene av $θ$ kan være begrenset til intervallet $[0, π [$ . Variabelen kalles normalisert hjerterytme . Hvis inngangen til systemet er sinusformet, av normalisert puls $θ$ (der $e$ $i$ $θ$ ikke er en pol på $G$ $($ $z$ $)$ ), nemlig (i kompleks form) $u$ $($ $k$ $) =$ $A$ $e$ $i$ $kθ$ , så er utgangen ( i kompleks form) $y$ $($ $k$ $) = G (e$ $i$ $θ$ $)$ $u$ $($ $k$ $)$ . ${\ displaystyle \ theta \ mapsto G ({\ rm {e}} ^ {{\ rm {i}} \ theta})}$ ${\ displaystyle {\ rm {e}} ^ {- i \ theta} = {\ overline {{\ rm {e}} ^ {{\ rm {i}} \ theta}}}}$ $\ theta$

Overføringsfunksjon til et diskretisert system

I automatisk modus , i de aller fleste tilfeller vil imidlertid en diskret tidssystem $S d$ resultater fra diskretiseringen, ved en samplingsperiode $T$ , av en kontinuerlig tids system $S c$ med en overføringsfunksjon $G ( s )$ . Utgangssignalet $y$ av systemet $S c$ er samplet med periode $T$ , og dette resulterer i det samplede signalet $y * = y π T$ hvor $π T$ er " Dirac kam ".

{\ displaystyle \ varpi _ {T} (t) = \ sum _ {k = - \ infty} ^ {+ \ infty} \ delta (t-kT)}

Dette signalet $y *$ , som bare er en matematisk fremstilling, inneholder faktisk kun informasjonen verdiene til $y$ ved prøvetakingsøyeblikkene, siden

{\ displaystyle y ^ {\ ast} \ left (t \ right) = \ sum _ {k = - \ infty} ^ {+ \ infty} y (kT) \ delta (t-kT)}

Ved å sette $y d ( k ) = y ( kT )$ , den diskrete signal $y d$ (som er en sekvens) er utgangen fra systemet $S d$ at man søker å karakterisere. Denne diskrete informasjonen blir behandlet av en datamaskin, for eksempel for å frembringe et diskret kontrollsignal $u d$ . Dette signalet $u d$ må gjennomgå en interpolasjon for å bli omdannet til et kontinuerlig tidssignal som kan virke på systemet $S c$ . For å oppnå et sløyfesystem som fungerer i sanntid, må denne interpolasjonen være kausal , i motsetning til Shannon-interpolasjonen (av Shannon-Nyquist-teoremet ). Vi fortsetter derfor ved blokkering av diskret signal $u d$ i løpet av hver prøveperiode. Den enkleste blokkeringen er nullordren. Samplet-blokkert signal (med nullordens-blokkering) er definert av

{\ displaystyle u_ {b0} (t) = u_ {d} (k), t \ i [kT, (k + 1) T [}

Det er derfor dette signal $u b 0$ (som faktisk er kontinuerlig tid, men som på den annen side er en ikke-kontinuerlig funksjon av tiden, siden det er avtrappet) som kommer inn i systemet $S c$ .

Forholdet mellom $u d$ og $y d$ er lineært og stasjonært. Denne slipper derfor en overføringsfunksjon i $z$ , betegnet $G d ( z )$ , som tar hensyn til den nulte orden blokkering. Vi viser lett at det er gitt av

{\ displaystyle G_ {d} (z) = (1-z ^ {- 1}) {\ mathcal {Z}} \ left [{\ mathcal {L}} ^ {- 1} \ left \ {{\ frac {G (p)} {p}} \ høyre \} \ høyre]}

hvor og betegner henholdsvis Laplace- transformasjonen og Z-transformasjonen . $\ mathcal {L}$ ${\ mathcal {Z}}$

Overfør matrise

Definisjon

Utviklingen som følger utføres for kontinuerlige tidssystemer. De er tydeligvis transponert til diskrete tidssystemer. Tenk på et kontinuerlig system med flere varianter, som har $m$ innganger $u 1 , ..., u m$ og $q$ utganger $y 1 , ..., y q$ . La $u$ (resp. $Y$ ) være kolonnen dannet av $u j$ (resp. $Y i$ ) og (resp. ) Den monolaterale Laplace- transformasjonen av $u$ (resp. $Y$ ). Med null innledende forhold er det en sammenheng ${\ displaystyle {\ hat {u}} (p)}$ ${\ displaystyle {\ hat {y}} (p)}$

{\ displaystyle {\ hat {y}} (p) = G (p) {\ hat {u}} (p)}

hvor $G ( p )$ er en matrise av rasjonelle fraksjoner, og mer presist et element der hvor betegner feltet for rasjonelle fraksjoner ved $p$ med reelle koeffisienter, nemlig feltet for brøker av ringen av polynomer ved $p$ . Denne matrisen $G$ $($ $p$ $)$ er overføringsmatrisen til systemet. ${\ displaystyle \ mathbb {R} (p) ^ {q \ times m}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} (p)}$ ${\ mathbb {R}} \ venstre [p \ høyre]$

Denne overføringsmatrisen sies å være ren (resp. Strengt ren ) hvis alle elementene er, og ellers upassende .

Smith-MacMillan-skjema

La $δ ( p ) \neq 0 være$ den minste fellesnevneren for alle elementene i matrisen . Matrisen $N$ $($ $p$ $) =$ $δ$ $($ $p$ $)$ $G$ $($ $p$ $)$ tilhører derfor , og siden ringen er prinsipiell, viser den uforanderlige faktorsetningen at det eksisterer matriser $P$ $($ $p$ $)$ og $Q$ $($ $p$ $)$ , som er uforanderlige på , slik at $Σ ($ $p$ $) =$ $P$ $($ $p$ $)$ $N$ $($ $p$ $)$ $Q$ $-1$ $($ $p$ $)$ er Smith- formen av $N$ $($ $p$ $)$ . Denne matrisen $Σ ($ $p$ $)$ er av formen ${\ displaystyle G (p) \ in \ mathbb {R} (p) ^ {q \ times m}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} [p] ^ {q \ times m}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} [p]}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} [p]}$

{\ displaystyle {\ begin {pmatrix} \ alpha _ {1} (p) & 0 && \\ 0 & \ ddots && \\ && \ alpha _ {r} (p) & \\ &&& 0 \\\ end { pmatrix}}}

hvor er rangeringen av on (derav av $G$ $($ $p$ $)$ på ) og der $($ $α$ $i$ $($ $p$ $))$ $1 \leq$ $i$ $\leq$ $r$ er ikke-null-elementer for å tilfredsstille delbarhetsrelasjonen . Disse elementene $α$ $i$ $($ $p$ $)$ er de uforanderlige faktorene til $N$ $($ $p$ $)$ og er unikt bestemt opp til multiplikasjonen med enheter (dvs. inverterbare elementer) av (se artikkelfaktor- setningen invarianter ). Så det har vi gjort $r$ ${\ displaystyle N (p)}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} [p]}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} (p)}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} [p]}$ $\ alpha _ {1} \ mid \ alpha _ {2} \ mid \ dots \ mid \ alpha _ {r}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} [p]}$

{\ displaystyle G (p) = P ^ {- 1} (p) {\ mathcal {M}} (p) Q (p)}

eller

{\ displaystyle {\ mathcal {M}} (p) = {\ frac {1} {\ delta (p)}} \ Sigma (p) = {\ begin {pmatrix} {\ frac {1} {\ delta ( p)}} \ Delta (p) & 0 \\ 0 & 0 \ end {pmatrix}}}

Det har vi endelig

{\ displaystyle {\ mathcal {M}} (p) = {\ begin {pmatrix} {\ frac {n_ {1} (p)} {d_ {1} (p)}} & 0 && \\ 0 & \ prikker && \ \ && {\ frac {n_ {r} (p)} {d_ {r} (p)}} & \\ &&& 0 \\\ slutt {pmatrix}}}

der rasjonelle brøker $n i ( p ) / d i ( p )$ er irredusible. Vi har forholdet mellom delbarhet og . Elementene $n$ $i$ og $d$ $jeg$ for $en \leq$ $i$ $\leq$ $r$ tilfredsstiller disse betingelsene er entydig bestemt fra $G$ $($ $p$ $) opp$ til multiplikasjon av enheter , derfor matrisen av rasjonelle fraksjoner er kanoniske og kalles Smith-MacMillan formen av $G$ $($ $p$ $)$ . Det skal bemerkes at det faktum at $G$ $($ $p$ $)$ er en riktig overføringsmatrise (resp. Strengt riktig) ikke innebærer at de rasjonelle brøkene $n _ {{1}} \ mid n _ {{2}} \ mid \ dots \ mid n _ {{r}}$ $d _ {{r}} \ mid d _ {{r-1}} \ mid \ dots \ mid d _ {{1}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} [p]}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {M}} (p)}$ $n i ( p ) / d i ( p )$ være.

Overføringsstolper og nuller

De kraftoverføringsstolper (resp. Nuller) i system som har for overføring av matrisen $G ( s )$ er røttene i polynomer $d$ $i$ $($ $p$ $)$ (hhv. $N$ $i$ $($ $p$ $)$ ) ovenfor. Hvis $p$ $0$ er en rot av orden $ν$ $i$ av $d$ $i$ $($ $p$ $)$ for $en \leq$ $i$ $\leq$ $p$ , skal vi angi at stangen $p$ $0$ har for strukturelle indekser ${$ $ν$ $1$ $, ...,$ $ν$ $p$ $}$ . Denne definisjonen gjelder for nuller, mutatis mutandis . $\ mathbb {C}$

Tenk for eksempel på overføringsmatrisen

{\ displaystyle G (p) = {\ begin {pmatrix} {\ frac {1} {(p + 1) ^ {2}}} & {\ frac {1} {(p + 1) (p + 2) }} \\ {\ frac {1} {(p + 1) (p + 2)}} og {\ frac {p + 3} {(p + 2) ^ {2}}} \ end {pmatrix}} }

Vi har, med notasjonene ovenfor, $δ ( p ) = ( p +1) 2 ( p +2) 2$ og

{\ displaystyle N (p) = {\ begin {pmatrix} (p + 2) ^ {2} & (p + 1) (p + 2) \\ (p + 1) (p + 2) & (p + 1) ^ {2} (p + 3) \ end {pmatrix}}}

De grunnleggende operasjonene på radene og kolonnene som brukes i den uendelige faktorsetningen gjør det mulig å oppnå formen til Smith for $N ( p )$

{\ displaystyle \ Sigma (p) = {\ begin {pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & (p + 1) ^ {2} (p + 2) ^ {3} \ end {pmatrix}}}

og Smith-MacMillan-formen av $G ( p )$ er derfor

{\ displaystyle {\ mathcal {M}} (p) = {\ begin {pmatrix} {\ frac {1} {(p + 1) ^ {2} (p + 2) ^ {2}}} & 0 \ \ 0 & p + 2 \ end {pmatrix}}}

Overføringsstolpene er derfor -1 og -2, og de har begge den eneste strukturelle indeksen 2. Den eneste overførings null er -2 med den eneste strukturelle indeksen 1. Vi bemerker i dette eksemplet at det samme komplekse tallet (i dette tilfellet, -2) kan være både en overføringspol og en overføringsnull, noe som åpenbart er umulig for monovariable systemer.

Tolkning

La $G ( p )$ (resp. $G ( z )$ ) være overføringsmatrisen til et kontinuerlig tidssystem (resp. Diskret tid) og anta at denne overføringsmatrisen er riktig. Da er det vurderte systemet EBSB-stabilt hvis, og bare hvis overføringsstolpene alle er plassert i venstre halvplan (hhv. Inne i enhetssirkelen).

For en enklere tolkning av overføringsnullene, antar vi at $m = q = r$ (et tilfelle som vi også alltid kan redusere). Da er det komplekse tallet $λ$ en overføringsnull hvis, og bare hvis det med null innledende betingelser eksisterer en ikke-null-inngang $u$ av skjemaet (resp. ) , I tillegg til en ikke-null lineær form som den lineære kombinasjonen er identisk null. ${\ displaystyle t \ mapsto A {\ rm {e}} ^ {\ lambda t}}$ $k \ mapsto A \ lambda ^ {{k}}$ ${\ displaystyle A \ in \ mathbb {C} ^ {m}}$ ${\ displaystyle B ^ {\ prime} \ in \ mathbb {C} ^ {1 \ times q}}$ ${\ displaystyle \ langle B ^ {\ prime}, y \ rangle}$

Overfør funksjoner til uendelige dimensjonale systemer

Uendelige dimensjonale systemer

Begrepet system av uendelig dimensjon kan bare defineres ved en negasjon: det er et spørsmål om et system som ikke har en endelig dimensjon. Mangfoldet av disse systemene er derfor enormt. Den "dimensjonen" det er snakk om her er den av statsrommet, og det faktum at den er uendelig, resulterer i at overføringsfunksjonen er irrasjonell. Det er ikke snakk om å være uttømmende her, og den korte presentasjonen som følger er begrenset til tilfellet med lineære systemer, med kontinuerlig tid og med rimelige forsinkelser (distribuert eller ikke).

Algebraiske formuleringer

Forsinkelser ikke distribuert

La oss først vurdere et system av skjemaet

{\ displaystyle \ sum _ {0 \ leq i \ leq n, 0 \ leq j \ leq m} a_ {ij} y ^ {(i)} (tj \ tau) = \ sum _ {0 \ leq i \ leq p, 0 \ leq j \ leq q} b_ {ij} u ^ {(i)} (tj \ tau)}

der $a ij$ og $b ij$ er reelle koeffisienter ( $a ij$ er ikke alle null) og der $τ > 0$ er forsinkelsen. Ved å spørre

{\ displaystyle a (s, z) = \ sum _ {0 \ leq i \ leq n, 0 \ leq j \ leq m} a_ {ij} s ^ {i} z ^ {j}}

{\ displaystyle b (s, z) = \ sum _ {0 \ leq i \ leq p, 0 \ leq j \ leq q} b_ {ij} s ^ {i} z ^ {j}}

overføringsfunksjonen til systemet skrives $G ( p ) = N ( p ) / D ( p )$ med $N ( p ) = b ( p , e - τp )$ og $D ( p ) = a ( p , e - τp )$ . Denne overføringsfunksjonen tilhører derfor kroppen av brøkdelene av ringen , som ringen er isomorf til . Denne ringen er faktoriell i følge en teorem på grunn av Gauss (se Ringer av polynomer ), derfor har $a$ $($ $s$ $,$ $z$ $)$ og $b$ $($ $s$ $,$ $z$ $)$ en gcd $c$ $($ $s$ $,$ $z$ $)$ . Elementene $a '$ $($ $s$ $,$ $z$ $) =$ $a$ $($ $s$ $,$ $z$ $) /$ $c$ $($ $s$ $,$ $z$ $)$ og $b'$ $($ $s$ $,$ $z$ $) =$ $b$ $($ $s$ $,$ $z$ $) /$ $c$ $($ $s$ $,$ $z$ $)$ er derfor primære innbyrdes i , og vi har $G$ $($ $p$ $) =$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} [p, {\ rm {e}} ^ {- \ tau p}]}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} [s, z]}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} [s, z]}$ $N ' ( p ) / D ' ( p )$ med $N ' ( p ) = b' ( p , e - τp )$ og $D ' ( p ) = a' ( p , e - τp )$ .

Overføringspolene (resp. Nuller) i systemet er definert som nuller i det komplekse planet til $D ' ( p )$ (resp. $N' ( p )$ ).

anta at

{\ displaystyle {\ undersett {_ {\ venstre \ vert p \ høyre \ vert \ høyre pil + \ infty}} {lim}} \ venstre \ vert G (p) \ høyre \ vert <\ infty}

Deretter er systemet stabilt EBSB hvis det eksisterer en reell $ε > 0$ slik at overføringspolene (som generelt er uendelig mange) alle har en reell del mindre enn $-ε$ .

Dette systemet er observerbart. Siden ringen ikke er en Bezout-ring , er det forskjellige typer kontrollerbarhet. Til slutt kan analysen ovenfor ikke generaliseres til tilfellet med multivariate systemer. Dette er grunnen til at det er nødvendig å gå videre til en endring av operatørringen, noe som fører til å vurdere distribuerte forsinkelsessystemer. ${\ displaystyle \ mathbb {R} [s, z]}$

Forsinkelser distribuert

Tenk for eksempel på den distribuerte forsinkelsesoperatøren definert av $u \ mapsto y$

{\ displaystyle y (t) = \ int _ {t-1} ^ {t} u (\ tau) d \ tau}

Dens overføringsfunksjon er som kan betraktes som et element i hvor betegner ringen av hele funksjoner i det komplekse planet. Den definerte ringen er veldig egnet for studiet av distribuerte verdifulle forsinkelsessystemer. Selv om det ikke er hoved, er det virkelig en ring med elementære skillevegger . Derfor innrømmer en elementmatrise i denne ringen en Smith-form, og en elementmatrise i brøkdelen av denne ringen innrømmer en Smith-MacMillan-form. Teorien om systemene som er definert på denne ringen, er derfor ganske lik (algebraisk) systemene som er definert på den klassiske ringen til differensialoperatører . Likevel er antall poler og overførings-nuller denne gangen generelt uendelig. ${\ displaystyle {\ frac {1 - {\ rm {e}} ^ {- p}} {p}}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {H}} = \ mathbb {R} (p) [{\ rm {e}} ^ {p}, {\ rm {e}} ^ {- p}] \ cap {\ mathcal {E}} (p)}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {E}} (p)}$ ${\ mathcal {H}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} [\ partial]}$

Forutsatt at elementene $G ij ( p )$ av overførings matrisen $G ( s )$ er alle slik at

\ lim _ {{| p | \ rightarrow \ infty}} | G _ {{ij}} (p) | <\ infty

systemet er stabilt EBSB hvis det eksisterer en reell $ε > 0$ slik at overføringsstolpene (generelt i uendelig antall) alle har en reell del lavere enn $-ε$ .

Overfør funksjoner av variable koeffisientanlegg

Tilfelle av kontinuerlige tidssystemer

La $K$ en differensialfelt med vanlig avledning (f.eks ring kompleks rasjonelle fraksjoner), og la $D$ $=$ $K$ $[$ $\partial$ $]$ med ringen til venstre polynomer i $\partial$ med koeffisienter i $K$ . Hvis en variabel, har vi i henhold til Leibniz styre , og siden dette er sant hva $f$ vi har på $D$ til omgjøring regelen $a \ mapsto {\ dot {a}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {K} = \ mathbb {C} (t)}$ ${\ mathbf {\ partial =}} {\ frac {d} {dt}}$ ${\ displaystyle f \ in \ mathbf {D}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {\ partial} (af) = {\ dot {a}} f + a \ partial f}$

{\ mathbf {\ partial}} aa \ partial = {\ dot {a}}

Ring $D$ , utstyrt med denne regelen, er en ikke-obligatorisk og enkel hovedring. I tillegg er det en malmring som innrømmer et felt med brøk $F$ til venstre og til høyre. Hvert element i $F$ har formen $a -1 b = b ' a' -1$ der $a , a ' , b , b'$ tilhører $D$ og $a , a '$ er ikke-null.

Fra et algebraisk synspunkt, et differensialsystem lineær koeffisient $K$ er en enhet type finish på $D$ . En kolonne $u$ av $m$ elementer $u$ $I-$ i kan velges som inngang for systemet, hvis $D$ -module $[$ $u$ $]$ $D$ generert av $u$ $i$ er fri for rang $m$ og slik at kvotienten $M$ $/ [$ $u$ $]$ $D$ er torsjonsmessig. La oss da betegne kolonnen med elementer som representerer utdataene til systemet. $M$ $M$ $y$ $q$ $y _ {{i}}$

Tenk på Laplace-funksjonen :

{\ mathcal {L}} = {\ mathbf {F}} \ otimes _ {{{\ mathbf {D}}}} -

De ovennevnte utgjør si at den kanoniske bildene i formen på basis av den $F$ -vector plass . Derfor, ved å merke seg de kanoniske bildene av in , eksisterer det en unik matrise $G$ $\in$ $F$ $q$ $\times$ $m$ slik at ${\ displaystyle {\ hat {u}} _ {i} = 1 _ {\ mathbf {F}} \ otimes u_ {i}}$ ${\ hat {M}} = {\ mathbf {F}} \ otimes _ {{{\ mathbf {D}}}} M$ ${\ hat {M}}$ ${\ hat {y}} _ {{i}}$ $y _ {{i}}$ ${\ hat {M}}$

{\ hat {y}} = G {\ hat {u}}

Denne matrisen $G$ er overføringsmatrisen til systemet med variable koeffisienter.

Tilfelle av diskrete tidssystemer

Tilfellet med diskrete tidssystemer kan behandles som følger: denne gangen vurderer vi et differensfelt , levert med forhåndsoperatøren . La ringen til venstre Laurent-polynomer være den ubestemte $q$ (forhåndsoperatøren som er en utvidelse av ) som følger med kommuteringsloven . Denne ringen $D$ er som før en ikke-kommutativ og enkel hovedring (denne siste egenskapen gir fordelen med $D i$ forhold til ringen til venstre polynomer , som er prinsipiell men ikke er enkel) og $F$ innrømmer et felt med brøk $F$ venstre og Ikke sant. Et lineært diskret tid system som skal identifiseres med en modultype enn $D$ . Konstruksjonen av forrige avsnitt kan deretter gjentas uten endring, takket være funksjonen forvandlet til Z : ${\ mathbf {K}}$ ${\ displaystyle \ alpha: x (t) \ mapsto x (t + 1)}$ ${\ mathbf {D}} = {\ mathbf {K}} \ left [q, q ^ {{- 1}}; \ alpha \ right]$ $\ alfa$ ${\ displaystyle qa = \ alpha (a) q}$ ${\ displaystyle \ mathbf {D} = \ mathbf {K} [q; \ alpha]}$

{\ mathcal {Z}} = {\ mathbf {F}} \ otimes _ {{{\ mathbf {D}}}} -

Merknader og referanser

Merknader

Bose 2003
Pommaret 2001 , Zerz 2003
Mitra og Ekstrom 1978
Le Ballois og Codron 2006
Bourlès 2010 , §11.1.4.
Dieudonné 1975 , §22.19
Fliess 1994
Bourlès og Marinescu 2011 , kap. 11
Se forholdet mellom den bilaterale transformasjonen og den monolaterale transformasjonen og Laplace-transformasjonen .
Bourlès 2010 , kap. 7.
Bourlès 2010 , §10.3.3
Bourlès 2010 , §2.4.2
MacFarlane og Karcanias 1976
Bourlès 2010 , §2.4.5
MacFarlane og Karcanias 1976 , Schrader og Sain 1989
Curtain and Zwart 1995
Kamen 1980
Bellman og Cooke 1963
Mounier 1995 , Rocha og Willems 1997
Gluesing-Luerssen 2001
Bourlès og Marinescu 2011 , §4.3.1
Bourlès og Marinescu 2011 , §2.5.3
Fliess 1990
Fliess 1989
Bourlès og Marinescu 2011 , § 2.8.3

Referanser

(no) Richard Bellman og Kenneth L. Cooke , Differential-difference Equations , Academic Press Inc,1963, 462 s. ( ISBN 0-12-084850-3 )
(en) NK Bose , flerdimensjonale systemteorier og applikasjoner , Kluwer Academic Publishers,2003, 292 s. ( ISBN 1-4020-1623-9 )
(en) Henri Bourlès , Linear Systems , John Wiley & Sons,2010, 544 s. ( ISBN 978-1-84821-162-9 og 1-84821-162-7 )
(en) Henri Bourlès og Bogdan Marinescu , Lineære tidsvarierende systemer: algebraisk-analytisk tilnærming , Springer,2011, 638 s. ( ISBN 978-3-642-19726-0 og 3-642-19726-4 , les online )
(en) Ruth F. Curtain og Hans Zwart , En introduksjon til uendelig-dimensjonale lineære systemteorier , Springer,1995, 716 s. ( ISBN 0-387-94475-3 , les online )
Jean Dieudonné , Elements of analysis , vol. 6, Paris, Gauthier-Villars,1975, 197 s. ( ISBN 2-87647-216-3 )
Michel Fliess , " Automatic in discrete time and difference algebra ", Forum Mathematicum ,1989, s. 227-238
(en) Michel Fliess , “ Noen grunnleggende strukturelle egenskaper av generaliserte lineære systemer ” , Systems & Control Letters , vol. 15,1990, s. 391-396
Michel Fliess , “ En algebraisk tolkning av Laplace-transformasjon og overføringsmatriser ”, Lineær algebraappl. ,1994, s. 202-203, 429-442
(no) Heide Liming-Luerssen , Lineære forsinkelsesdifferensielle systemer med tilsvarende forsinkelser: En algebraisk tilnærming , Berlin / Heidelberg / New York etc., Springer,2001, 188 s. ( ISBN 3-540-42821-6 , leses online )
(en) EW Kamen , “ En merknad om representasjon og realisering av klumpdistribuerte nettverk, forsinkelsesdifferensielle systemer og 2-D-systemer ” , IEEE Trans. Systemkretser , vol. 27,1980, s. 430-432
Sandrine Le Ballois og Pascal Codron , Automatisk: lineære og kontinuerlige systemer , Paris, Dunod,2006, 2 nd ed. , 300 s. ( ISBN 2-10-049732-4 )
(en) AGJ MacFarlane og N. Karcanias , “ Polakker og nuller av lineære multivariable systemer: en undersøkelse av den algebraiske, geometriske og komplekse-variable teorien ” , International Journal of Control , vol. 24, n o 1,1976, s. 33-74
(en) SK Mitra og MP Ekstrom (red.), todimensjonal digital signalbehandling , Dowden, Hutchingon & Ross,1978( ISBN 0-87933-320-0 )
Hugues Mounier , Strukturelle egenskaper ved lineære forsinkelsessystemer: teoretiske og praktiske aspekter: Doktoravhandling i naturvitenskap , Paris Sud University,24. oktober 1995
(en) JF Pommaret , Partial Differential Control Theory , vol. 1 og 2, Kluwer Academic Publishers,2001( ISBN 0-7923-7037-6 )
(en) P. Rocha og JC Willems , " Behavioral Controllability of Delay-Differential Systems " , SIAM J. Control Opt. , vol. 35, n o 1,1997, s. 254-264
(en) CB Schrader og MK Sain , " Research on system zeros: a survey " , International Journal of Control , vol. 50, n o 4,1989, s. 1407-1433
(en) Eva Zerz , Emner i flerdimensjonal lineær systemteori , Springer,2003, 174 s. ( ISBN 1-85233-336-7 , leses online )

Se også