Laplace-transformasjon

Heaviside-funksjonen er verdt 0 for t <0, 1 for t > 0 (verdien i 0 har ingen betydning). Denne funksjonen er diskontinuerlig, den kan ikke avledes i vanlig forstand. På den annen side er dens derivat i betydningen distribusjoner Dirac-funksjonen . Han kommer Υ{\ displaystyle \ Upsilon}δ{\ displaystyle \ delta}

L(δ)=sL(Υ)-Υ(0-)=1-0=1,{\ displaystyle {\ mathcal {L}} \ left (\ delta \ right) = p {\ mathcal {L}} \ left (\ Upsilon \ right) - \ Upsilon \ left (0 ^ {-} \ right) = 1-0 = 1,}

siden

L(Υ)=1s,ℜ(s)>0.{\ displaystyle {\ mathcal {L}} \ left (\ Upsilon \ right) = {\ dfrac {1} {p}}, \ Re (p)> 0.}

Merk at hvis vi i formelen til avledningsregelen erstattet ƒ (0 - ) med ƒ (0 + ), ville vi finne , noe som er falsk (vi kommer tilbake til dette senere). Noen kilder kan ha denne feilen. L(δ)=0{\ displaystyle {\ mathcal {L}} \ left (\ delta \ right) = 0}

På samme måte ser vi noen ganger følgende definisjon av Laplace-transformasjonen:

F(s)=∫α+∞e-stf(t) dt{\ displaystyle F \ left (p \ right) = \ int _ {\ alpha} ^ {+ \ infty} {\ rm {e}} ^ {- pt} f \ left (t \ right) ~ {\ rm { d}} t}

med , til og med mangel på presisjon på denne grensen. Hvis f er en funksjon i vanlig forstand av dette begrepet, med positiv støtte, er det en Lebesgue-integral som sammenfaller med den som tilsvarer , siden er av mål null; i dette tilfellet kan man også skrive uten tvetydighet . Det er ikke det samme hvis f er en "generalisert funksjon", det vil si en fordeling for Gelfand og Shilov (in) , når denne har en ikke-null masse ved opprinnelsen. Prototypen er Dirac-distribusjonen. Algebraisk er denne fordelingen det nøytrale elementet i konvolusjonsalgebra av positivt støttede distribusjoner; og siden Laplace-transformasjonen forvandler konvolusjonsproduktet til et vanlig produkt, må vi derfor ha Laplace-transformasjonen . Dette vil imidlertid bare være sant hvis . Faktisk, med ville vi oppnå en Laplace-transform som er lik 0. Dette vil være desto mer avvikende ettersom Laplace-transformasjonen ikke ville være injiserende, siden . α=0+{\ displaystyle \ alpha = 0 ^ {+}}α=0-{\ displaystyle \ alpha = 0 ^ {-}}{0}{\ displaystyle \ left \ {0 \ right \}}α=0{\ displaystyle \ alpha = 0} δ{\ displaystyle \ delta}D+′{\ displaystyle {\ mathcal {D}} _ {+} ^ {\ prime}}δ{\ displaystyle \ delta}L(δ)=1{\ displaystyle {\ mathcal {L}} \ left (\ delta \ right) = 1}α=0-{\ displaystyle \ alpha = 0 ^ {-}}α=0+{\ displaystyle \ alpha = 0 ^ {+}}δ≠0{\ displaystyle \ delta \ neq 0}

Multiplikasjon med kraften t

Multiplikasjonen med i tidsdomenet tilsvarer, med unntak av tegnet, n- derivatet av transformasjonen: tikke,ikke∈IKKE{\ displaystyle t ^ {n}, n \ in \ mathbb {N}}

L{tikkef(t)}=(-1)ikkedikkeL{f}dsikke{\ displaystyle {\ mathcal {L}} \ venstre \ {t ^ {n} f \ venstre (t \ høyre) \ høyre \} = \ venstre (-1 \ høyre) ^ {n} {\ dfrac {\ mathrm {d} ^ {n} {\ mathcal {L}} \ venstre \ {f \ høyre \}} {\ mathrm {d} p ^ {n}}}}

(1) Anta at f er lokalt integrerbar med positiv støtte. Laplace-transformasjonen av f er derfor definert for , hvor er konvergensen abscissa, av ℜ(s)>α{\ displaystyle \ Re (p)> \ alpha}α{\ displaystyle \ alpha}

L{f}(s)=∫0+∞f(t)e-st dt{\ displaystyle {\ mathcal {L}} \ left \ {f \ right \} (p) = \ int _ {0} ^ {+ \ infty} f (t) {\ rm {e}} ^ {- pt } ~ {\ rm {d}} t}

Funksjonen er holomorf . Enten og . Da og ved komparative vekster er funksjonen integrerbar på [0, + ∞ [ . Funksjonen er derfor holomorf, og dens derivat oppnås ved å differensiere under sumtegnet  : s↦f(t)e-st{\ displaystyle p \ mapsto f (t) {\ rm {e}} ^ {- pt}}β>α{\ displaystyle \ beta> \ alpha}ℜ(s)>β{\ displaystyle \ Re (p)> \ beta}|tf(t)e-st|≤|tf(t)e-βt|{\ displaystyle \ left \ vert tf \ left (t \ right) {\ rm {e}} ^ {- pt} \ right \ vert \ leq \ left \ vert tf \ left (t \ right) {\ rm {e }} ^ {- \ beta t} \ høyre \ vert}t↦|tf(t)e-βt|{\ displaystyle t \ mapsto \ left \ vert tf \ left (t \ right) {\ rm {e}} ^ {- \ beta t} \ right \ vert}s↦∫0+∞f(t)e-st dt{\ displaystyle p \ mapsto \ int _ {0} ^ {+ \ infty} f (t) {\ rm {e}} ^ {- pt} ~ {\ rm {d}} t}

dL{f}ds(s)=∫0+∞f(t)(-te-st) dt=-L{tf(t)}(s){\ displaystyle {\ frac {{\ rm {d}} {\ mathcal {L}} \ left \ {f \ right \}} {{\ rm {d}} p}} \ left (p \ right) = \ int _ {0} ^ {+ \ infty} f \ left (t \ right) \ left (-t {\ rm {e}} ^ {- pt} \ right) ~ {\ rm {d}} t = - {\ mathcal {L}} \ venstre \ {tf \ venstre (t \ høyre) \ høyre \} \ venstre (p \ høyre)}

Dette beviser resultatet i saken n = 1 . Den generelle saken følger, ved induksjon.

(2) Dette resultatet er fortsatt gyldig når f er en distribusjon med positiv støtte.

Den omvendte formelen (for n = -1 ) er:

L{f(t)t}(s)=∫s∞F(σ)dσ{\ displaystyle {\ mathcal {L}} \ left \ {{\ frac {f (t)} {t}} \ right \} \ left (p \ right) = \ int _ {p} ^ {\ infty} \ mathrm {F} (\ sigma) \, \ mathrm {d} \ sigma}

og det er gyldig forutsatt at f er av formen der g er en generalisert funksjon med positiv støtte. En måte å demonstrere dette resultatet på er gitt nedenfor. t↦tg(t){\ displaystyle t \ mapsto tg \ left (t \ right)}

∫s∞F(σ)dσ=∫s∞∫0∞e-σtf(t)dtdσ=∫0∞f(t)∫s∞e-σtdσdt=∫0∞f(t)1te-stdt=L{f(t)t}(s){\ displaystyle \ int _ {p} ^ {\ infty} \ mathrm {F} (\ sigma) \, \ mathrm {d} \ sigma = \ int _ {p} ^ {\ infty} \ int _ {0} ^ {\ infty} \ mathrm {e} ^ {- \ sigma t} f (t) \, \ mathrm {d} t \, \ mathrm {d} \ sigma = \ int _ {0} ^ {\ infty} f (t) \ int _ {p} ^ {\ infty} \ mathrm {e} ^ {- \ sigma t} \, \ mathrm {d} \ sigma \, \ mathrm {d} t = \ int _ {0 } ^ {\ infty} f (t) {\ frac {1} {t}} \ mathrm {e} ^ {- pt} \, \ mathrm {d} t = {\ mathcal {L}} \ left \ { {\ frac {f (t)} {t}} \ høyre \} \ venstre (p \ høyre)}

Integrering

Laplace-transformasjonen av en integral (primitiv av f forsvinner ved 0 ) tilsvarer en multiplikasjon med 1 / p  :

L{∫0-tf(τ)dτ}=1sL{f}{\ displaystyle {\ mathcal {L}} \ left \ {\ int _ {0 ^ {-}} ^ {t} f (\ tau) \ mathrm {d} \ tau \ right \} = {\ frac {1 } {p}} {\ mathcal {L}} \ {f \}}

og hvis ƒ er en funksjon med positiv støtte, kontinuerlig over [0, + ∞ [ , har vi for alle a > 0  :

L{∫påtf(τ) dτ}=1sL{f}+1s∫på0f(τ)dτ.{\ displaystyle {\ mathcal {L}} \ left \ {\ int _ {a} ^ {t} f (\ tau) ~ {\ rm {d}} \ tau \ right \} = {\ frac {1} {p}} {\ mathcal {L}} \ {f \} + {1 \ over p} \ int _ {a} ^ {0} f (\ tau) \ mathrm {d} \ tau.}

Endelig verdi

Anta at f er lokalt integrerbar med positiv støtte. Hvis tidsdomenegrensen eksisterer og er endelig, så:

limt→+∞f(t)=lims∈R,s→0+sF(s).{\ displaystyle \ lim _ {t \ to + \ infty} f (t) = \ lim _ {p \ in \ mathbb {R}, p \ to 0 ^ {+}} p \ mathrm {F} (p) .}

(Merk at dette er det eneste stedet hvor en 0 + vises for variable .) s{\ displaystyle p}

Enten . Eksistensen av denne endelige grensen innebærer at konvergens abscissa av Laplace-transformasjonen er . l=limt→+∞f(t){\ displaystyle l = \ lim \ limits _ {t \ rightarrow + \ infty} f \ left (t \ right)}F(s){\ displaystyle F (p)}≤0{\ displaystyle \ leq 0}

Vi har  ; Laplace-transformasjonen av er , og tydeligvis . Ved å trekke fra blir vi derfor redusert til tilfellet med en funksjon, igjen bemerket f , slik at . limt→+∞Υ(t)=1{\ displaystyle \ lim _ {t \ to + \ infty} \ Upsilon (t) = 1}Υ{\ displaystyle \ Upsilon}1s{\ displaystyle {\ frac {1} {p}}}lims∈R,s→0+s1s=1{\ displaystyle \ lim _ {p \ in \ mathbb {R}, p \ til 0 ^ {+}} p {\ frac {1} {p}} = 1}lΥ(t){\ displaystyle l \ Upsilon (t)}f(t){\ displaystyle f (t)}limt→+∞f(t)=0{\ displaystyle \ lim \ limits _ {t \ rightarrow + \ infty} f \ left (t \ right) = 0}

Så, for alle , er det slik at for alle , . Vi har ε>0{\ displaystyle \ varepsilon> 0}PÅ>0{\ displaystyle A> 0}t>PÅ{\ displaystyle t> A}|f(t)|≤ε{\ displaystyle \ vert f (t) \ vert \ leq \ varepsilon}

sF(s)=s∫0PÅf(t)e-stdt+s∫PÅ+∞f(t)e-st dt.{\ displaystyle pF (p) = p \ int _ {0} ^ {A} f (t) {\ rm {e}} ^ {- pt} dt + p \ int _ {A} ^ {+ \ infty} f \ left (t \ right) {\ rm {e}} ^ {- pt} ~ {\ rm {d}} t.}

La oss ta . Vi har s∈R,s>0{\ displaystyle p \ in \ mathbb {R}, p> 0}

|∫0PÅf(t)e-st dt|≤∫0PÅ|f(t)| dt<+∞{\ displaystyle \ left \ vert \ int _ {0} ^ {A} f (t) {\ rm {e}} ^ {- pt} ~ {\ rm {d}} t \ right \ vert \ leq \ int _ {0} ^ {A} \ vert f (t) \ vert ~ {\ rm {d}} t <+ \ infty}

og konsekvent

lims∈R,s→0+s∫0PÅf(t)e-st dt=0.{\ displaystyle \ lim \ limits _ {p \ in \ mathbb {R}, p \ rightarrow 0 ^ {+}} p \ int _ {0} ^ {A} f (t) {\ rm {e}} ^ {-pt} ~ {\ rm {d}} t = 0.}

Derfor er det en virkelig slik at for ogα>0{\ displaystyle \ alpha> 0}s∈R{\ displaystyle p \ in \ mathbb {R}}0<s<α{\ displaystyle 0 <p <\ alpha}

|s∫0PÅf(t)e-st dt|<ε.{\ displaystyle \ left \ vert p \ int _ {0} ^ {A} f (t) {\ rm {e}} ^ {- pt} ~ {\ rm {d}} t \ right \ vert <\ varepsilon .}

På den andre siden,

|∫PÅ+∞f(t)e-st dt|≤∫0+∞εe-st dt=εs{\ displaystyle \ left \ vert \ int _ {A} ^ {+ \ infty} f (t) {\ rm {e}} ^ {- pt} ~ {\ rm {d}} t \ right \ vert \ leq \ int _ {0} ^ {+ \ infty} \ varepsilon {\ rm {e}} ^ {- pt} ~ {\ rm {d}} t = {\ frac {\ varepsilon} {p}}}

så det finnes slik at for ogβ>0{\ displaystyle \ beta> 0}s∈R{\ displaystyle p \ in \ mathbb {R}}0<s<β{\ displaystyle 0 <p <\ beta}

|s∫PÅ+∞f(t)e-st dt|≤ε.{\ displaystyle \ left \ vert p \ int _ {A} ^ {+ \ infty} f (t) {\ rm {e}} ^ {- pt} ~ {\ rm {d}} t \ right \ vert \ leq \ varepsilon.}

Derfor, hvis ogs∈R{\ displaystyle p \ in \ mathbb {R}}0<s<min(α,β){\ displaystyle 0 <p <\ min (\ alpha, \ beta)}

|s∫0+∞f(t)e-st dt|≤2ε{\ displaystyle \ left \ vert p \ int _ {0} ^ {+ \ infty} f (t) {\ rm {e}} ^ {- pt} ~ {\ rm {d}} t \ right \ vert \ leq 2 \ varepsilon}

som resulterer i at når har en tendens til 0 + . s∫0+∞f(t)e-st dt→0{\ displaystyle p \ int _ {0} ^ {+ \ infty} f (t) {\ rm {e}} ^ {- pt} ~ {\ rm {d}} t \ rightarrow 0}s∈R{\ displaystyle p \ in \ mathbb {R}}

De angitte hypotesene er essensielle, som vist i følgende moteksempler:

• Funksjons innrømmer som grense + ∞ når t tenderer mot + ∞ . Laplace-transformasjonen er og . Dette siste grense ikke har i virkeligheten en hvilken som helst retning på grunn abscissen av konvergens av F er 1, derfor 0 ikke hører til adhesjonen av feltet av konvergens.f:t↦etΥ(t){\ displaystyle f: t \ mapsto {\ rm {e}} ^ {t} \ Upsilon (t)}F(s)=1s-1{\ displaystyle F \ left (p \ right) = {\ frac {1} {p-1}}}lims→0sF(s)=0{\ displaystyle \ lim \ limits _ {p \ rightarrow 0} pF \ left (p \ right) = 0}
• Funksjonen tillater ingen grense når den har en tendens til + + . Laplace-transformasjonen er , konvergensabscissen til F er 0 og (denne siste grensen er imidlertid riktig denne gangen).f:t↦synd⁡tΥ(t){\ displaystyle f: t \ mapsto \ sin t \ Upsilon (t)}F(s)=1s2+1{\ displaystyle F \ left (p \ right) = {\ frac {1} {p ^ {2} +1}}}lims∈R,s→0+sF(s)=0{\ displaystyle \ lim \ limits _ {p \ in \ mathbb {R}, p \ rightarrow 0 ^ {+}} pF \ left (p \ right) = 0}
• Hvis er en rasjonell funksjon, eksisterer og er endelig hvis, og bare hvis alle polene tilhører foreningen av det åpne venstre halvplanet og opprinnelsen, er polen på 0, hvis den eksisterer, enkel.F(s){\ displaystyle F (p)}limt→+∞f(t){\ displaystyle \ lim _ {t \ to + \ infty} f (t)}F(s){\ displaystyle F (p)}

Opprinnelig verdi

Hvis har en endelig konvergens abscissa, og hvis grensen i tidsdomenet eksisterer, så: F(s){\ displaystyle F (p)}

limt→0+f(t)=lims∈R,s→+∞sF(s){\ displaystyle \ lim _ {t \ to 0 ^ {+}} f (t) = \ lim _ {p \ in \ mathbb {R}, p \ to + \ infty} p \ mathrm {F} (p) }

(Merk at dette er det eneste stedet hvor en 0 + vises for variable .) t{\ displaystyle t}

Enten . Vi har  ; Laplace-transformasjonen av er , og åpenbart . Ved å trekke fra blir vi derfor redusert til tilfellet med en funksjon, igjen bemerket f , slik at . l=limt→0+f(t){\ displaystyle l = \ lim \ limits _ {t \ rightarrow 0 ^ {+}} f \ left (t \ right)}limt→0+Υ(t)=1{\ displaystyle \ lim _ {t \ to 0 ^ {+}} \ Upsilon (t) = 1}Υ{\ displaystyle \ Upsilon}1s{\ displaystyle {\ frac {1} {p}}}lims∈R,s→+∞s1s=1{\ displaystyle \ lim _ {p \ in \ mathbb {R}, p \ to + \ infty} p {\ frac {1} {p}} = 1}lΥ(t){\ displaystyle l \ Upsilon (t)}f(t){\ displaystyle f (t)}limt→0+f(t)=0{\ displaystyle \ lim \ limits _ {t \ rightarrow 0 ^ {+}} f \ left (t \ right) = 0}

Enten . Den eksisterer ved hypotesen slik at for alle t , slik at vi har . På den andre siden, ε>0{\ displaystyle \ varepsilon> 0}η>0{\ displaystyle \ eta> 0}0<t<η{\ displaystyle 0 <t <\ eta}|f(t)|≤ε{\ displaystyle \ vert f (t) \ vert \ leq \ varepsilon}

s∫0+∞f(t)e-st dt=Jeg1+Jeg2{\ displaystyle p \ int _ {0} ^ {+ \ infty} f (t) {\ rm {e}} ^ {- pt} ~ {\ rm {d}} t = I_ {1} + I_ {2 }}

med

Jeg1=s∫0ηf(t)e-st dt, Jeg2=s∫η+∞f(t)e-st dt.{\ displaystyle I_ {1} = p \ int _ {0} ^ {\ eta} f (t) {\ rm {e}} ^ {- pt} ~ {\ rm {d}} t, ~ I_ {2 } = p \ int _ {\ eta} ^ {+ \ infty} f (t) {\ rm {e}} ^ {- pt} ~ {\ rm {d}} t.}

La være en virkelig strengere enn abscissa av konvergens av og . Vi har α{\ displaystyle \ alpha}F(s){\ displaystyle F (p)}s∈R, s>α{\ displaystyle p \ in \ mathbb {R}, ~ p> \ alpha}

|Jeg2|=|s∫η+∞f(t)e-(s-α)te-αt dt|≤se-(s-α)η∫0+∞|f(t)|e-αt dt{\ displaystyle \ left \ vert I_ {2} \ right \ vert = \ left \ vert p \ int _ {\ eta} ^ {+ \ infty} f (t) {\ rm {e}} ^ {- \ left (p- \ alpha \ right) t} {\ rm {e}} ^ {- \ alpha t} ~ {\ rm {d}} t \ right \ vert \ leq p {\ rm {e}} ^ {- \ venstre (p- \ alpha \ høyre) \ eta} \ int _ {0} ^ {+ \ infty} \ venstre \ vert f \ venstre (t \ høyre) \ høyre \ vert {\ rm {e}} ^ { - \ alpha t} ~ {\ rm {d}} t}

der riktig integral er konvergent, så når . Derfor er det en virkelig slik at så snart og . Jeg2→0{\ displaystyle I_ {2} \ rightarrow 0}s→+∞{\ displaystyle p \ rightarrow + \ infty}PÅ>0{\ displaystyle A> 0}|Jeg2|≤ε{\ displaystyle \ left \ vert I_ {2} \ right \ vert \ leq \ varepsilon}s∈R{\ displaystyle p \ in \ mathbb {R}}s>PÅ{\ displaystyle p> A}

På den andre siden,

|Jeg1|≤sε∫0ηe-st dt=ε(1-e-sη){\ displaystyle \ left \ vert I_ {1} \ right \ vert \ leq p \ varepsilon \ int _ {0} ^ {\ eta} {\ rm {e}} ^ {- pt} ~ {\ rm {d} } t = \ varepsilon \ left (1 - {\ rm {e}} ^ {- p \ eta} \ right)}

og dette begrepet har en tendens mot når , derfor eksisterer det en virkelig slik som så snart og . Endelig for og vi har ε{\ displaystyle \ varepsilon}s→+∞{\ displaystyle p \ rightarrow + \ infty}B>0{\ displaystyle B> 0}|Jeg1|≤2ε{\ displaystyle \ left \ vert I_ {1} \ right \ vert \ leq 2 \ varepsilon}s∈R{\ displaystyle p \ in \ mathbb {R}}s>B{\ displaystyle p> B}s∈R{\ displaystyle p \ in \ mathbb {R}}s>maks(PÅ,B){\ displaystyle p> \ max (A, B)}

|sF(s)|≤3ε.{\ displaystyle \ left \ vert pF \ left (p \ right) \ right \ vert \ leq 3 \ varepsilon.}

Nå er det vilkårlig lite, så dette begrepet har en tendens til 0 når og . ε>0{\ displaystyle \ varepsilon> 0}s∈R{\ displaystyle p \ in \ mathbb {R}}s→+∞{\ displaystyle p \ rightarrow + \ infty}

Konvolusjon

Laplace-transformasjonen endrer konvoluttproduktet til et produkt:

L{f∗g}=L{f}L{g}{\ displaystyle {\ mathcal {L}} \ {f * g \} = {\ mathcal {L}} \ {f \} {\ mathcal {L}} \ {g \}}

Laplace-transformasjon av en periodisk funksjon

Hvis ƒ er en nullfunksjon for t <0 og, for t > 0, periodisk med periode T , deretter forRe(s)>0{\ displaystyle Re \ left (p \ right)> 0}

L{f}(s)=11-e-Ts∫0Te-stf(t)dt.{\ displaystyle {\ mathcal {L}} \ {f \} (p) = {\ frac {1} {1 - {\ rm {e}} ^ {- Tp}}} \ int _ {0} ^ { T} {\ rm {e}} ^ {- pt} f (t) \, \ mathrm {d} t.}

Vi bruker Chasles 'forhold til å spalte integralen over hver periode:

∫0∞e-stf(t)dt=∫0Te-stf(t)dt+∫T2Te-stf(t)dt+∫2T3Te-stf(t)dt+...{\ displaystyle \ int _ {0} ^ {\ infty} {\ rm {e}} ^ {- pt} f (t) \, \ mathrm {d} t = \ int _ {0} ^ {T} { \ rm {e}} ^ {- pt} f (t) \, \ mathrm {d} t + \ int _ {T} ^ {2T} {\ rm {e}} ^ {- pt} f (t) \, \ mathrm {d} t + \ int _ {2T} ^ {3T} {\ rm {e}} ^ {- pt} f (t) \, \ mathrm {d} t + \ ldots}

Vi endrer variabler for å bringe integralene tilbake til [0, T ]

∫0∞e-stf(t)dt=∫0Te-suf(u)du+∫0Te-s(u+T)f(u+T)du+∫0Te-s(u+2T)f(u+2T)du+...{\ displaystyle \ int _ {0} ^ {\ infty} {\ rm {e}} ^ {- pt} f (t) \, {\ rm {d}} t = \ int _ {0} ^ {T } {\ rm {e}} ^ {- pu} f (u) \, \ mathrm {d} u + \ int _ {0} ^ {T} {\ rm {e}} ^ {- p (u + T)} f (u + T) \, \ mathrm {d} u + \ int _ {0} ^ {T} {\ rm {e}} ^ {- p (u + 2T)} f (u + 2T ) \, \ mathrm {d} u + \ ldots}

Siden ƒ er periodisk, kan vi forenkle integralene med

∫0∞e-stf(t)dt=∫0Te-suf(u)du+e-sT∫0Te-suf(u)du+e-2sT∫0Te-suf(u)du+...{\ displaystyle \ int _ {0} ^ {\ infty} {\ rm {e}} ^ {- pt} f (t) \, \ mathrm {d} t = \ int _ {0} ^ {T} { \ rm {e}} ^ {- pu} f (u) \, \ mathrm {d} u + {\ rm {e}} ^ {- pT} \ int _ {0} ^ {T} {\ rm { e}} ^ {- pu} f (u) \, \ mathrm {d} u + {\ rm {e}} ^ {- 2pT} \ int _ {0} ^ {T} {\ rm {e}} ^ {-pu} f (u) \, \ mathrm {d} u + \ ldots}

Vi grupperer vilkårene:

∫0∞e-stf(t)dt=(1+e-sT+e-2sT+...)∫0Te-suf(u)du.{\ displaystyle \ int _ {0} ^ {\ infty} {\ rm {e}} ^ {- pt} f (t) \, \ mathrm {d} t = \ left (1 + {\ rm {e} } ^ {- pT} + {\ rm {e}} ^ {- 2pT} + \ ldots \ right) \ int _ {0} ^ {T} {\ rm {e}} ^ {- pu} f (u ) \, \ mathrm {d} u.}

Denne geometriske serien konvergerer (fordi e - pT <1 ). Han kommer da

L{f}(s)=11-e-Ts∫0Te-stf(t)dt.{\ displaystyle {\ mathcal {L}} \ {f \} (p) = {\ frac {1} {1 - {\ rm {e}} ^ {- Tp}}} \ int _ {0} ^ { T} {\ rm {e}} ^ {- pt} f (t) \, \ mathrm {d} t.}

Oppsummeringstabell over egenskapene til Laplace-transformasjonen

	Tids domene	Domenet "p"	Kommentarer
Lineæritet	påf(t)+bg(t){\ displaystyle af (t) + bg (t)}	påF(s)+bG(s){\ displaystyle a \ mathrm {F} (p) + b \ mathrm {G} (p)}	Resultater fra de grunnleggende integreringsreglene.
Derivat av transformasjonen	tf(t){\ displaystyle tf (t)}	-F′(s){\ displaystyle - \ mathrm {F} '(p)}	F′{\ displaystyle \ mathrm {F} '}er det første derivatet av F.
Derivater av orden n for transformasjonen	tikkef(t){\ displaystyle t ^ {n} f (t)}	(-1)ikkeF(ikke)(s){\ displaystyle (-1) ^ {n} \ mathrm {F} ^ {(n)} (p)}	Mer generell form, n - derivat av F ( p ).
Første avledede av funksjonen i tidsdomenet	f′(t){\ displaystyle f '(t)}	sF(s)-f(0-){\ displaystyle p \ mathrm {F} (p) -f \ left (0 ^ {-} \ right)}	ƒ antas å være differensierbart, og dets derivat antas å ha en eksponentiell retning mot 0. Kan oppnås ved integrering av deler .
Andre derivat	f"(t){\ displaystyle f '' (t)}	s2F(s)-sf(0-)-f′(0-){\ displaystyle p ^ {2} \ mathrm {F} (p) -pf \ left (0 ^ {-} \ right) -f '\ left (0 ^ {-} \ right)}	ƒ er antatt å være to ganger differentiable, med den andre deriverte konvergerende eksponentielt til uendelig.
N- derivat av ƒ	f(ikke)(t){\ displaystyle f ^ {(n)} (t)}	sikkeF(s)-sikke-1f(0-)-⋯-f(ikke-1)(0-){\ displaystyle p ^ {n} \ mathrm {F} (p) -p ^ {n-1} f \ left (0 ^ {-} \ right) - \ cdots -f ^ {(n-1)} \ venstre (0 ^ {-} \ høyre)}	ƒ antas å være n ganger differensierbare, med en N- th -derivat med eksponentiell konvergens mot uendelig.
Integrasjon av Laplace-transform	f(t)t{\ displaystyle {\ frac {f (t)} {t}}}	∫s∞F(σ)dσ{\ displaystyle \ int _ {p} ^ {\ infty} \ mathrm {F} (\ sigma) \, \ mathrm {d} \ sigma}
Integrering	∫0tf(τ)dτ=(u∗f)(t){\ displaystyle \ int _ {0} ^ {t} f (\ tau) \, \ mathrm {d} \ tau = (u * f) (t)}	1sF(s){\ displaystyle {1 \ over p} \ mathrm {F} (p)}	u(t){\ displaystyle u (t)}er trinnfunksjonen til Heaviside. Operatøren ( u  *  f ) ( t ) er konvolusjonsproduktet til u ( t ) og ƒ ( t ).
Tidsskala utvidelse	f(påt) {\ displaystyle f (at) \}	1|på|F(spå){\ displaystyle {\ frac {1} {| a |}} \ mathrm {F} \ left ({p \ over a} \ right)}
Forskyvning på s	epåtf(t){\ displaystyle {\ rm {e}} ^ {at} f (t)}	F(s-på){\ displaystyle \ mathrm {F} (pa)}	Denne egenskapen er noen ganger kjent som Damping Theorem (eller Modulation Theorem ) med . på<0{\ displaystyle a <0}
Tidsdomeneskift	f(t-på)u(t-på){\ displaystyle f (ta) u (ta)}	e-påsF(s){\ displaystyle {\ rm {e}} ^ {- ap} \ mathrm {F} (p)}	u ( t ) er trinnfunksjonen til Heaviside (trinnfunksjon)
Multiplikasjon	f(t)g(t){\ displaystyle f (t) g (t)}	12πJeglimT→∞∫vs.-JegTvs.+JegTF(σ)G(s-σ)dσ{\ displaystyle {\ frac {1} {2 \ pi {\ rm {i}}}} \ lim _ {\ mathrm {T} \ to \ infty} \ int _ {c - {\ rm {i}} \ mathrm {T}} ^ {c + {\ rm {i}} \ mathrm {T}} \ mathrm {F} (\ sigma) G (p- \ sigma) \, \ mathrm {d} \ sigma}	Integrasjonen utføres langs den vertikale linjen Re (σ) = c som ligger helt innenfor konvergensradien til F.
Konvolusjonsprodukt	(f∗g)(t)=∫0tf(τ)g(t-τ)dτ{\ displaystyle (f * g) (t) = \ int _ {0} ^ {t} f (\ tau) g (t- \ tau) \, {\ rm {d}} \ tau}	F(s)⋅G(s){\ displaystyle \ mathrm {F} (p) \ cdot \ mathrm {G} (p)}	ƒ ( t ) og g ( t ) utvides for definisjonen av konvolusjonsproduktet. R{\ displaystyle \ mathbb {R}}
Kompleks bøyning	f∗(t){\ displaystyle f ^ {*} (t)}	F∗(s∗){\ displaystyle \ mathrm {F} ^ {*} (p ^ {*})}
Korrelasjonsfunksjon	f(t)⋆g(t){\ displaystyle f (t) \ star g (t)}	F∗(-s∗)⋅G(s){\ displaystyle \ mathrm {F} ^ {*} (- p ^ {*}) \ cdot \ mathrm {G} (p)}
Periodisk funksjon	f(t){\ displaystyle f (t)}	11-e-Ts∫0Te-stf(t)dt{\ displaystyle {\ frac {1} {1 - {\ rm {e}} ^ {- \ mathrm {T} p}}} \ int _ {0} ^ {\ mathrm {T}} {\ rm {e }} ^ {- pt} f (t) \, \ mathrm {d} t}	ƒ ( t ) er en periodisk funksjon av periode T slik at . Dette er resultatet av tidsdomene skiftegenskap og den geometriske serien. f(t)=f(t+T),∀t≥0{\ displaystyle f (t) = f (t + \ mathrm {T}), \; \ forall t \ geq 0}

Noen vanlige transformasjoner

Den monolaterale Laplace-transformasjonen er bare gyldig for funksjoner (muligens generaliserte) med positiv støtte. Det er av denne grunn at de tidsmessige funksjonene til denne tabellen er flere av (eller består av) , funksjonstrinnsenhet (Heaviside) . Υ{\ displaystyle \ Upsilon}

	Funksjon	Tids domene x(t)=L-1{X(s)}{\ displaystyle x (t) = {\ mathcal {L}} ^ {- 1} \ left \ {\ mathrm {X} (p) \ right \}}	Laplace transform X(s)=L{x(t)}{\ displaystyle \ mathrm {X} (p) = {\ mathcal {L}} \ venstre \ {x (t) \ høyre \}}	Konvergensregion
1	Forsinket distribusjon av Dirac	δ(t-τ) {\ displaystyle \ delta (t- \ tau) \}	e-τs {\ displaystyle {\ rm {e}} ^ {- \ tau p} \}	∀ s{\ displaystyle \ forall \ p \,}
1a	Distribusjon av Dirac	δ(t) {\ displaystyle \ delta (t) \}	1 {\ displaystyle 1 \}	∀ s{\ displaystyle \ forall \ p \,}
2	forsinket eksponentiell-monomial	(t-τ)ikkeikke!e-α(t-τ)⋅Υ(t-τ){\ displaystyle {\ frac {(t- \ tau) ^ {n}} {n!}} {\ rm {e}} ^ {- \ alpha (t- \ tau)} \ cdot \ Upsilon (t- \ tau)}	e-τs(s+α)ikke+1{\ displaystyle {\ frac {{\ rm {e}} ^ {- \ tau p}} {(p + \ alpha) ^ {n + 1}}}	Re⁡(s)>0{\ displaystyle \ operatorname {Re} (p)> 0 \,}
2a	makt n- th	tikkeikke!⋅Υ(t){\ displaystyle {t ^ {n} \ over n!} \ cdot \ Upsilon (t)}	1sikke+1{\ displaystyle {1 \ over p ^ {n + 1}}}	Re⁡(s)>0{\ displaystyle \ operatorname {Re} (p)> 0 \,}
2a.1	q -th kraft	tqΓ(q+1)⋅Υ(t){\ displaystyle {t ^ {q} \ over \ Gamma (q + 1)} \ cdot \ Upsilon (t)}	1sq+1{\ displaystyle {1 \ over p ^ {q + 1}}}	Re⁡(s)>0{\ displaystyle \ operatorname {Re} (p)> 0 \,}
2a.2	enhetsnivå	Υ(t) {\ displaystyle \ Upsilon (t) \}	1s{\ displaystyle {1 \ over p}}	Re⁡(s)>0{\ displaystyle \ operatorname {Re} (p)> 0 \,}
2b	forsinket trinn	Υ(t-τ) {\ displaystyle \ Upsilon (t- \ tau) \}	e-τss{\ displaystyle {{\ rm {e}} ^ {- \ tau p} \ over p}}	Re⁡(s)>0{\ displaystyle \ operatorname {Re} (p)> 0 \,}
2c	rampe	t⋅Υ(t) {\ displaystyle t \ cdot \ Upsilon (t) \}	1s2{\ displaystyle {\ frac {1} {p ^ {2}}}}	Re⁡(s)>0{\ displaystyle \ operatorname {Re} (p)> 0 \,}
2d	eksponentiell-monomial	tikkeikke!e-αt⋅Υ(t){\ displaystyle {\ frac {t ^ {n}} {n!}} {\ rm {e}} ^ {- \ alpha t} \ cdot \ Upsilon (t)}	1(s+α)ikke+1{\ displaystyle {\ frac {1} {(p + \ alpha) ^ {n + 1}}}	Re⁡(s)>-α{\ displaystyle \ operatorname {Re} (p)> - \ alpha \,}
2d.1	eksponentiell	e-αt⋅Υ(t) {\ displaystyle {\ rm {e}} ^ {- \ alpha t} \ cdot \ Upsilon (t) \}	1s+α{\ displaystyle {1 \ over p + \ alpha}}	Re⁡(s)>-α {\ displaystyle \ operatorname {Re} (p)> - \ alpha \}
3	eksponentiell tilnærming	(1-e-αt)⋅Υ(t) {\ displaystyle (1 - {\ rm {e}} ^ {- \ alpha t}) \ cdot \ Upsilon (t) \}	αs(s+α){\ displaystyle {\ frac {\ alpha} {p (p + \ alpha)}}}	Re⁡(s)>0 {\ displaystyle \ operatorname {Re} (p)> 0 \}
4	sinus	synd⁡(ωt)⋅Υ(t) {\ displaystyle \ sin (\ omega t) \ cdot \ Upsilon (t) \}	ωs2+ω2{\ displaystyle {\ omega \ over p ^ {2} + \ omega ^ {2}}}	Re⁡(s)>0 {\ displaystyle \ operatorname {Re} (p)> 0 \}
5	cosinus	cos⁡(ωt)⋅Υ(t) {\ displaystyle \ cos (\ omega t) \ cdot \ Upsilon (t) \}	ss2+ω2{\ displaystyle {p \ over p ^ {2} + \ omega ^ {2}}}	Re⁡(s)>0 {\ displaystyle \ operatorname {Re} (p)> 0 \}
6	hyperbolsk sinus	sinh⁡(αt)⋅Υ(t) {\ displaystyle \ sinh (\ alpha t) \ cdot \ Upsilon (t) \}	αs2-α2{\ displaystyle {\ alpha \ over p ^ {2} - \ alpha ^ {2}}}	Re⁡(s)>|α| {\ displaystyle \ operatorname {Re} (p)> | \ alpha | \}
7	hyperbolsk cosinus	koselig⁡(αt)⋅Υ(t) {\ displaystyle \ cosh (\ alpha t) \ cdot \ Upsilon (t) \}	ss2-α2{\ displaystyle {p \ over p ^ {2} - \ alpha ^ {2}}}	Re⁡(s)>|α| {\ displaystyle \ operatorname {Re} (p)> | \ alpha | \}
8	eksponentiell forfall av en sinusbølge	e-αtsynd⁡(ωt)⋅Υ(t) {\ displaystyle {\ rm {e}} ^ {- \ alpha t} \ sin (\ omega t) \ cdot \ Upsilon (t) \}	ω(s+α)2+ω2{\ displaystyle {\ omega \ over (p + \ alpha) ^ {2} + \ omega ^ {2}}}	Re⁡(s)>-α {\ displaystyle \ operatorname {Re} (p)> - \ alpha \}
9	eksponentiell forfall av en cosinusbølge	e-αtcos⁡(ωt)⋅Υ(t) {\ displaystyle {\ rm {e}} ^ {- \ alpha t} \ cos (\ omega t) \ cdot \ Upsilon (t) \}	s+α(s+α)2+ω2{\ displaystyle {p + \ alpha \ over (p + \ alpha) ^ {2} + \ omega ^ {2}}}	Re⁡(s)>-α {\ displaystyle \ operatorname {Re} (p)> - \ alpha \}
10	n-th rot	tikke⋅Υ(t){\ displaystyle {\ sqrt [{n}] {t}} \ cdot \ Upsilon (t)}	s-(ikke+1)/ikke⋅Γ(1+1ikke){\ displaystyle p ^ {- (n + 1) / n} \ cdot \ Gamma \ left (1 + {\ frac {1} {n}} \ right)}	Re⁡(s)>0{\ displaystyle \ operatorname {Re} (p)> 0 \,}
11	logaritme	ln⁡(tt0)⋅Υ(t){\ displaystyle \ ln \ left ({t \ over t_ {0}} \ right) \ cdot \ Upsilon (t)}	-t0s [ ln⁡(t0s)+γ ]{\ displaystyle - {t_ {0} \ over p} \ [\ \ ln (t_ {0} p) + \ gamma \]}	Re⁡(s)>0{\ displaystyle \ operatorname {Re} (p)> 0 \,}
12	Bessel-funksjon av den første typen, i rekkefølge n	Jikke(ωt)⋅Υ(t){\ displaystyle J_ {n} (\ omega t) \ cdot \ Upsilon (t)}	ωikke(s+s2+ω2)-ikkes2+ω2{\ displaystyle {\ frac {\ omega ^ {n} \ left (p + {\ sqrt {p ^ {2} + \ omega ^ {2}}} \ right) ^ {- n}} {\ sqrt {p ^ {2} + \ omega ^ {2}}}}}	Re⁡(s)>0{\ displaystyle \ operatorname {Re} (p)> 0 \,} (ikke>-1){\ displaystyle (n> -1) \,}
1. 3	modifisert Bessel-funksjon av den første typen, i rekkefølge n	Jegikke(ωt)⋅Υ(t){\ displaystyle \ mathrm {I} _ {n} (\ omega t) \ cdot \ Upsilon (t)}	ωikke(s+s2-ω2)-ikkes2-ω2{\ displaystyle {\ frac {\ omega ^ {n} \ left (p + {\ sqrt {p ^ {2} - \ omega ^ {2}}} \ right) ^ {- n}} {\ sqrt {p ^ {2} - \ omega ^ {2}}}}}	Re⁡(s)>|ω|{\ displaystyle \ operatorname {Re} (p)> | \ omega | \,} (ikke>-1){\ displaystyle (n> -1) \,}
14	feilfunksjon	erf(t)⋅Υ(t){\ displaystyle \ mathrm {erf} (t) \ cdot \ Upsilon (t)}	es2/4erfc⁡(s/2)s{\ displaystyle {{\ rm {e}} ^ {p ^ {2} / 4} \ operatorname {erfc} \ left (p / 2 \ right) \ over p}}	Re⁡(s)>0{\ displaystyle \ operatorname {Re} (p)> 0 \,}
Merknader: Υ(t){\ displaystyle \ Upsilon (t) \,}representerer funksjonen til Heaviside . δ(t){\ displaystyle \ delta (t) \,}representerer Dirac-funksjonen . Γ(z){\ displaystyle \ Gamma (z) \,}er Gamma-funksjonen . γ{\ displaystyle \ gamma \,}er Euler-Mascheroni-konstanten . t{\ displaystyle t \,}, er et reelt tall, det representerer vanligvis tid, men kan betegne hvilken som helst annen størrelse. s{\ displaystyle p \,} er et komplekst tall. q{\ displaystyle q \,}er et reelt tall ( ).q+1>0{\ displaystyle q + 1> 0} α{\ displaystyle \ alpha \,}, , , Og er reelle tall.β{\ displaystyle \ beta \,}τ{\ displaystyle \ tau \,}ω{\ displaystyle \ omega \,} ikke{\ displaystyle n \,} er et helt tall.

Eksempel på bruk av Laplace-transformasjon i elektrisitet

Vi betrakter en krets kalt "R, C", bestående av en elektrisk motstand av verdien R og en kondensator med elektrisk kapasitet C, plassert i serie. I alle tilfeller anses det at kretsen er plassert ved terminalene til en ideell spenningsgenerator som leverer en (generelt) variabel spenning u ( t ) bare på et øyeblikk valgt som opprinnelse til datoene, og at kondensatoren først blir lastet ut.

Vi har således henholdsvis for ladningen q ( t ) til kondensatoren og strømmen i kretsen følgende startbetingelser: Jeg(t)≡dqdt{\ displaystyle i \ left (t \ right) \ equiv {\ frac {{\ rm {d}} q} {{\ rm {d}} t}}}

q(0-)=0,Jeg(0-)=0.{\ displaystyle q \ left (0 ^ {-} \ right) = 0, i \ left (0 ^ {-} \ right) = 0.}

Lade en kondensator med et spenningstrinn

Vi bruker følgende spenning u ( t ):

u(t)={0, hvis t<0U0=vs.te, hvis t≥0,{\ displaystyle u (t) = {\ begin {cases} 0, {\ text {si}} t <0 \\\ mathrm {U} _ {0} = cte, {\ text {si}} t \ geq 0 \ end {cases}},}

og differensiallikningen som relaterer responsen q ( t ) til inngangen u ( t ) er ved å anvende de vanlige lovene om elektrisitet:

U0Υ(t)=Rdqdt+q(t)VS,{\ displaystyle \ mathrm {U} _ {0} \ Upsilon (t) = \ mathrm {R} {\ frac {\ mathrm {d} q} {\ mathrm {d} t}} + {\ frac {q ( t)} {\ mathrm {C}}},}

eller igjen ved å sette τ ≡ RC (denne størrelsen har dimensjonen av en varighet) og dele med R:

VSU0τΥ(t)=q(t)τ+dqdt.{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {C} \ mathrm {U} _ {0}} {\ tau}} \ Upsilon (t) = {\ frac {q (t)} {\ tau}} + {\ frac {\ mathrm {d} q} {\ mathrm {d} t}}.}

Vi tar Laplace-transformasjonen fra medlem til medlem av denne siste ligningen, og betegner Q ( p ) transformasjonen av q ( t ), den kommer, og tar hensyn til det faktum at q (0 - ) = 0:

Q(s)=VSU01τs((1τ)+s),{\ displaystyle \ mathrm {Q} (p) = \ mathrm {C} \ mathrm {U} _ {0} {\ frac {\ frac {1} {\ tau}} {p \ left (({\ frac { 1} {\ tau}}) + p \ høyre)}},}

som også kan skrives i form:

Q(s)=H(s)U(s), med H(s)≡(1/τ)[(1/τ)+s],{\ displaystyle \ mathrm {Q} (p) = \ mathrm {H} (p) \ mathrm {U} (p) {\ text {, with}} \ mathrm {H} (p) \ equiv {\ frac { \ left (1 / \ tau \ right)} {\ left [(1 / \ tau) + p \ right]}},}

U(s)=VSU0/s,{\ displaystyle \ mathrm {U} (p) = \ mathrm {C} \ mathrm {U} _ {0} / p,}

Vi kan umiddelbart reversere denne ligningen med (vi bruker oppføring nummer 3 fra tabellen ovenfor med α = 1 / τ ):

q(t)=U0VS[1-e-t/τ]Υ(t).{\ displaystyle q (t) = \ mathrm {U} _ {0} \ mathrm {C} \ left [1 - {\ rm {e}} ^ {- t / \ tau} \ right] \ Upsilon (t) .}

Den fysiske tolkningen av denne løsningen er veldig enkel: det er en superposisjon av et forbigående regime

qtrpåikkes(t)=-U0VSe-t/τ,{\ displaystyle q _ {\ mathrm {trans}} \ left (t \ right) = - \ mathrm {U} _ {0} \ mathrm {C} {\ rm {e}} ^ {- t / \ tau} ,}

som beskriver kondensatorens progressive ladning, størrelsen τ ≡ RC som gir tidsskalaen (dette er et eksempel på en tidskonstant i et system), i en jevn tilstand

Qserm=VSU0≡Qm{\ displaystyle \ mathrm {Q_ {perm}} = \ mathrm {C} \ mathrm {U} _ {0} \ equiv \ mathrm {Q_ {m}}}

som tilsvarer tilstanden til den fulladede kondensatoren under likspenningen U 0 . Det vises enkelt at kondensatoren er 90% ladet ( q = 0,90 Q m ) på slutten av perioden T = τ ln (10) ≈ 2.3025 τ .

Begrepet (1 - e - t / τ ) er overføringsfunksjonen til systemet i tidsdomenet.

Vi kan se brukervennligheten til Laplace-transformasjonen, som gjør det mulig å fullstendig abstrahere fra oppløsningen til differensiallikningen i tidsrommet ved en passasje i "space p  ". Videre tas de opprinnelige forholdene i betraktning under transformasjonen.

Merknader og referanser

Merknader

1. Bourlès 2010 (§12.3.4), Bourlès og Marinescu 2011 , § 7.3.4.1.
2. Denis-Papin og Kaufmann 1967 .
3. J.-É. Rombaldi, Korrigerte øvelser og problemer for aggregering av matematikk , De Boeck Supérieur ,2018( les online ) , s.  193.
4. Bourlès 2010 , s.  356.
5. (i) Milton Abramowitz og Irene Stegun , håndbok for matematiske funksjoner med formler, grafer og matematiske tabeller [ publiseringsdetaljer ] ( les online ), kap. 29 (“Laplace Transforms”), s. 1020: 29.2.4. og 29.2.5
6. (i) Milton Abramowitz og Irene Stegun , håndbok for matematiske funksjoner med formler, grafer og matematiske tabeller [ publiseringsdetaljer ] ( les online ), kap. 29 (“Laplace Transforms”), s. 1020: 29.1.1.
7. Schwartz 1965 , VI, 2; 2.
8. André Desbiens, “  Lineære systemer og kontroll GEL-2005. Kapittel 3: Laplace-transformasjon  ” , om Université Laval , s.  33.
9. Bracewell 2000 , tabell 14.1, s. 385.
10. I enhetsbelastning av ved multiplikasjon med C.

Referanser

• Henri Bourlès , Linear Systems , John Wiley & Sons ,2010, 544  s. ( ISBN  978-1-84821-162-9 og 1-84821-162-7 , les online )
• Henri Bourlès og Bogdan Marinescu , Lineære tidsvarierende systemer: algebraisk-analytisk tilnærming , Springer,2011, 638  s. ( ISBN  3642197264 )
• (en) Ronald N. Bracewell , The Fourier Transform and Its Applications , Boston, McGraw-Hill,2000, 3 e  ed. ( ISBN  0-07-116043-4 ).
• M. Denis-Papin og A. Kaufmann , anvendt operativt beregningskurs , Albin Michel ,1967( ASIN  B003WR50TY )
• Laurent Schwartz , Matematiske metoder for naturvitenskap , Hermann ,1965( ISBN  2-7056-5213-2 )
• (en) DV Widder , The Laplace Transform , Dover Publications ,2011, 406  s. ( ISBN  978-0-486-47755-8 og 0-486-47755-X )

Se også

Relaterte artikler

• Bilateral Laplace transform
• Forvandlet til Z
• Driftsberegning
• Mellin transformasjon
• Overføringsfunksjon
• Bernsteins teorem om totalt monotone funksjoner