Optisk overføringsfunksjon

Den optiske overføringsfunksjon eller FTO av et optisk system er en kompleks funksjon som relaterer lystettheten til objektrommet til belysning av bilderommet. Det gjør det mulig å modellere det optiske systemets innflytelse på fordelingen av lysenergi i bilderommet.

Den optiske overføringsfunksjonen blir ofte bare vurdert i objektplanene og konjugerte bilder, men er generelt tredimensjonal. Denne komplekse funksjonen er brutt ned i en amplitude kalt modulasjonsoverføringsfunksjonen og en fase som kalles faseoverføringsfunksjonen .

Den modulasjon transferfunksjon eller MTF er en funksjon som gjør det mulig å karakterisere kapasiteten av det optiske system for å gjenopprette kontrast i henhold til finheten av detaljene av objektet; med andre ord dens evne til å overføre objektets romlige frekvenser . Den brukes til å vurdere kvaliteten på det optiske systemet, spesielt innen fotografering og film .

Den fase-overføringsfunksjon som karakteriserer fasedreininger som innføres ved det optiske systemet. Det forekommer fremfor alt i nærfeltet, i hypotesen om en Fresnel-diffraksjon.

Begrepet optisk overføringsfunksjon har analoger innen andre fysikkfelt , særlig innen elektronikk og akustikk .

Definisjon

Det optiske systemet danner bildet av en plan gjenstand i bildeplanet.

Vi betegner med:

${\ displaystyle M_ {o} (a, b)}$ distribusjon av utgangen i retning av inngangspupillen til det optiske systemet i objektplanet;
${\ displaystyle {\ mathcal {H}} (a, b, x, y)}$ den punktspredefunksjonen ( " punktspredefunksjonen " på engelsk), eller romlig pulsreaksjonen, det vil si fordelingen av belysningsstyrken for et lysende punkt objekt lokalisert ; $(a, b)$
${\ displaystyle E_ {i} (x, y)}$ fordelingen av belysningen mottatt i bildeplanet.

Ved hjelp av noen få hypoteser, inkludert det optiske systemets uforanderlighet og usammenheng med lyset som sendes fra kilden, kan vi relatere dem på følgende måte og avsløre et konvolusjonsprodukt :

{\ displaystyle E_ {i} (x, y) = \ int \! \! \! \! \ int _ {S_ {o}} {\ mathcal {H}} (xa, yb) \, M_ {o} (a, b) \, \ mathrm {d} a \, \ mathrm {d} b}

{\ displaystyle E_ {i} (x, y) = ({\ mathcal {H}} * M_ {o}) (x, y)}

I dette tilfellet, hvis vi utfører en Fourier-transformasjon , kan vi skrive

{\ displaystyle {\ hat {E}} _ {i} (\ nu _ {x}, \ nu _ {y}) = {\ hat {\ mathcal {H}}} (\ nu _ {x}, \ nu _ {y}) \, {\ hat {M}} _ {o} (\ nu _ {x}, \ nu _ {y})}

eller

${\ displaystyle \ nu _ {x}}$ og er de vertikale og horisontale romlige frekvensene til det dannede bildet; ${\ displaystyle \ nu _ {y}}$
${\ displaystyle \ nu _ {a}}$ og er objektets vertikale og horisontale romfrekvenser; ${\ displaystyle \ nu _ {b}}$
${\ displaystyle {\ hat {E}} _ {i} (\ nu _ {x}, \ nu _ {y}) = {\ mathcal {F}} (E_ {i} (x, y))}}$ representerer fordelingen av belysning som en funksjon av romlige frekvenser;
${\ displaystyle {\ hat {M}} _ {o} (\ nu _ {x}, \ nu _ {y}) = {\ mathcal {F}} (M_ {0} (a, b))}$ representerer fordelingen av exitance som en funksjon av romlige frekvenser;
${\ displaystyle {\ hat {\ mathcal {H}}} (\ nu _ {x}, \ nu _ {y}) = {\ mathcal {F}} ({\ mathcal {H}} (x, y) )}$ er den optiske overføringsfunksjonen (FTO): i dette tilfellet er det Fourier-transformasjonen av punktspredningsfunksjonen .

Denne funksjonen kan skrives om til å omfatte en amplitude- term og en fase- term, avhengig av hvor: ${\ displaystyle {\ hat {\ mathcal {H}}} (\ nu _ {x}, \ nu _ {y}) = {\ mathcal {M}} (\ nu _ {x}, \ nu _ {y }) \, \ mathrm {e} ^ {\ mathrm {j} \ Phi (\ nu _ {x}, \ nu _ {y})}}$

${\ displaystyle {\ mathcal {M}} (\ nu _ {x}, \ nu _ {y}) = \ left \ vert {\ hat {\ mathcal {H}}} (\ nu _ {x}, \ nu _ {y}) \ høyre \ grønn}$ er den optiske overføringsfunksjonen (MTF, eller " transfer function modulation " MTF, engelsk), OTF-modul;
${\ displaystyle \ Phi (\ nu _ {x}, \ nu _ {y}) = \ arg \ left ({\ hat {\ mathcal {H}}} (\ nu _ {x}, \ nu _ {y }) \ Ikke sant)}$ er faseoverføringsfunksjonen (FTP), argumentet til FTO.

Den normaliserte optiske overføringsfunksjonen har en enhetsverdi for null romlige frekvenser.

Detaljer om forutsetningene som ble brukt for å oppnå forholdet

Vi betegner med fordelingen av utgang i objektplanet. For utgangen som for de andre mengdene i det følgende, kan det være et spørsmål om fotometriske størrelser så vel som energimengder. ${\ displaystyle M_ {o} (a, b)}$

Hypotese 1: objektet skal være en ortotropisk kilde slik at dens lysutgang i retning av inngangspupillen til det optiske systemet er proporsjonal med dens luminans i henhold til Lamberts lov .

Bildeplanet brytes ned i elementære overflater som avgir i retning av inngangspupillen til det optiske systemet. Den elementære faste vinkelen er hvor er avstanden mellom punktene og og et overflateelement til pupillen. Den grunnleggende strømmen som sendes ut av et overflateelement av objektplanet i den grunnleggende faste vinkelen, uttrykkes:

{\ displaystyle \ mathrm {d} ^ {2} S_ {o} = \ mathrm {d} a \, \ mathrm {d} b}

{\ displaystyle \ mathrm {d} ^ {2} \ Omega _ {l} = {\ frac {\ mathrm {d} ^ {2} S_ {l} \ cos \ theta} {\ delta _ {o} ^ { 2}}}}

{\ displaystyle \ delta _ {o}}

{\ displaystyle (a, b)}

{\ displaystyle (X, Y)}

{\ displaystyle \ mathrm {d} ^ {2} S_ {l}}

{\ displaystyle \ mathrm {d} ^ {2} \ Omega _ {l}}

{\ displaystyle \ mathrm {d} ^ {4} \ Phi _ {o} (a, b, X, Y) = \ mathrm {d} ^ {2} I_ {o} (a, b) \, \ mathrm {d} ^ {2} \ Omega _ {l} (a, b, X, Y) = L_ {o} (a, b) \, \ cos \ theta \ \ mathrm {d} ^ {2} S_ { o} \, \ mathrm {d} ^ {2} \ Omega _ {l} (a, b, X, Y) = \ mathrm {d} ^ {2} M_ {o} (a, b, X, Y ) \, \ mathrm {d} ^ {2} S_ {o}}

hvor er vinkelen mellom radius og normal til de forskjellige planene som studeres. $\ theta$

Hypotese 2: objektet og bildet er lite sammenlignet med avstanden . ${\ displaystyle D_ {o}}$

Vi kan forsømme variasjonene av faktoren som vil bli tatt lik 1, som tilsvarer å forsømme fenomenet naturlig vignettering som manifesterer seg ved en mørkere bilde når man beveger seg bort fra den optiske aksen. I tillegg kan avstanden mellom objektplanet og pupillen tas. Så, den solide vinkelen som omfavner eleven:

\ cos \ theta

{\ displaystyle \ delta _ {o} \ simeq D_ {o}}

{\ displaystyle \ Omega _ {l} = \ int \! \! \! \! \ int _ {S_ {l}} d ^ {2} \ Omega _ {l} (a, b, X, Y) = {\ frac {S_ {l}} {D_ {o} ^ {2}}}}

Dermed er den elementære strømmen fra mot åpningen til inngangspupillen $(a, b)$

{\ displaystyle \ mathrm {d} ^ {2} \ Phi _ {o} (a, b) = \ int \! \! \! \! \ int _ {S_ {l}} d ^ {4} \ Phi _ {o} (a, b, X, Y)}

{\ displaystyle \ mathrm {d} ^ {2} \ Phi _ {o} (a, b) = L_ {o} (a, b) \, \ Omega _ {l} \, \ mathrm {d} ^ { 2} S_ {o} = M_ {o} (a, b) \, \ mathrm {d} ^ {2} S_ {o}}

Når det går gjennom det optiske systemet, kommer hoveddelen av fluksen ut av det optiske systemet i retning av bildepunktet som vanligvis bestemmes under forholdene til den omtrentlige stigmatismen gitt av hypotese 2. Men en del av fluksen konvergerer ikke mot dette punktet fordi av diffraksjon (umulig å korrigere) og optisk system aberrasjoner . Fordelingen av belysningen mottatt av en elementær overflate av bildeplanet oppnås ved hjelp av den romlige impulsresponsen til det optiske systemet, det vil si dens oppførsel foran et punktobjekt. kalles også

poengspredningsfunksjonen , som er mer billedlig. Elementærstrømmen mottatt av et overflateelement i bildeplanet som kommer fra en elementær overflate på objektplanet er:

{\ displaystyle {\ mathcal {H}} (a, b, x, y)}

{\ mathcal H}

{\ displaystyle \ mathrm {d} ^ {4} \ Phi _ {i} (a, b, x, y) = {\ mathcal {H}} (a, b, x, y) \, \ mathrm {d } ^ {2} \ Phi _ {o} (a, b) = {\ mathcal {H}} (a, b, x, y) \, M_ {o} (a, b) \, \ mathrm {d } ^ {2} S_ {0} \, \ mathrm {d} ^ {2} S_ {i} = \ mathrm {d} ^ {2} E_ {i} (a, b, x, y) \, \ mathrm {d} ^ {2} S_ {i}}

Hypotese 3: det optiske systemet absorberer ikke lysstrømmen : det er helt gjennomsiktig.

Det er ingen absorbert flyt og

{\ displaystyle \ mathrm {d} ^ {2} \ Phi _ {o} (a, b) = \ int \! \! \! \! \ int _ {S_ {i}} \ mathrm {d} ^ { 4} \ Phi _ {i} (a, b, x, y) = \ int \! \! \! \! \ Int _ {S_ {i}} \ mathrm {d} ^ {2} E_ {i} (a, b, x, y) \, \ mathrm {d} ^ {2} S_ {i}}

Hypotese 4: overflateelementene til objektplanet avgir usammenhengende lys, det vil si som ikke forstyrrer hverandre.

Den totale strømmen som mottas av et bildeoverflateelement er summen av elementære strømninger:

{\ displaystyle \ mathrm {d} ^ {2} \ Phi _ {i} (x, y) = \ int \! \! \! \! \ int _ {S_ {o}} \ mathrm {d} ^ { 4} \ Phi _ {i} (a, b, x, y) = \ int \! \! \! \! \ Int _ {S_ {o}} {\ mathcal {H}} (a, b, x , y) \, M_ {o} \, \ mathrm {d} ^ {2} S_ {o} \, \ mathrm {d} ^ {2} S_ {i} = \ int \! \! \! \! \ int _ {S_ {o}} \ mathrm {d} ^ {2} E_ {i} (a, b, x, y) \, \ mathrm {d} ^ {2} S_ {i}}

eller

{\ displaystyle E_ {i} (x, y) = \ int \! \! \! \! \ int _ {S_ {o}} \ mathrm {d} ^ {2} E_ {i} (a, b, x, y) = \ int \! \! \! \! \ int _ {S_ {o}} {\ frac {\ mathrm {d} ^ {4} \ Phi _ {i}} {\ mathrm {d} ^ {2} S_ {i}}} = \ int \! \! \! \! \ Int _ {S_ {o}} {\ mathcal {H}} (a, b, x, y) \, M_ { o} (a, b) \, \ mathrm {d} ^ {2} S_ {o}}

{\ displaystyle E_ {i} (x, y) = \ int \! \! \! \! \ int _ {S_ {o}} {\ mathcal {H}} (a, b, x, y) \, M_ {o} (a, b) \, \ mathrm {d} a \, \ mathrm {d} b}

Hypotese 5: systemet er uforanderlig i rommet, dvs. en forskyvning av objektet i objektplanet resulterer i en forskyvning av bildet i bildeplanet.

Deretter, avhengig av pulsresponsen bare på forskjellen mellom det utformet stilling og midtstilling av bildet dannet: . Faktisk, når det gjelder et objektpunkt , konvergerer flertallet av strømmen mot et bildepunkt mens en del er spredt i sin mer eller mindre nærhet.

{\ displaystyle {\ mathcal {H}} (a, b, x, y) = {\ mathcal {H}} (x + \ gamma _ {t} a, y + \ gamma _ {t} b)}

{\ displaystyle (a, b)}

{\ displaystyle (\ gamma _ {t} a, \ gamma _ {t} b)}

Vi setter inn og introduserer deretter en fiktiv fordeling som tilsvarer det ideelle bildet (inkludert uten diffraksjon) . ${\ displaystyle a '= - \ gamma _ {t} a}$ ${\ displaystyle b '= - \ gamma _ {t} b}$ ${\ displaystyle E_ {o} (a ', b') = {\ frac {1} {\ gamma _ {t} ^ {2}}} M_ {o} (a, b)}$

{\ displaystyle E_ {i} (x, y) = \ int \! \! \! \! \ int _ {S_ {o}} {\ mathcal {H}} (x-a ', y-b') \, E_ {o} (a ', b') \, \ mathrm {d} a '\, \ mathrm {d} b'}

{\ displaystyle E_ {i} (x, y) = ({\ mathcal {H}} * E_ {o}) (x, y)}

Hypotese 6: den tverrgående forstørrelsen er gyldig . ${\ displaystyle \ gamma _ {t} = - 1}$

Vi får , og

{\ displaystyle {\ mathcal {H}} (a, b, x, y) = {\ mathcal {H}} (xa, yb)}

{\ displaystyle E_ {i} (x, y) = \ int \! \! \! \! \ int _ {S_ {o}} {\ mathcal {H}} (xa, yb) \, M_ {o} (a, b) \, \ mathrm {d} a \, \ mathrm {d} b}

{\ displaystyle E_ {i} (x, y) = ({\ mathcal {H}} * M_ {o}) (x, y)}

Med tanke på egenskapene til Fourier-transformasjonen ,

{\ displaystyle {\ hat {E}} _ {i} (\ nu _ {x}, \ nu _ {y}) = {\ hat {\ mathcal {H}}} (\ nu _ {x}, \ nu _ {y}) \, {\ hat {M}} _ {o} (\ nu _ {x}, \ nu _ {y})}

Utvidelse av MTF til det tredimensjonale tilfellet

Det punkt spredefunksjon av et optisk system, det vil si bildet av et objekt punkt, er en tre-dimensjonal belysningsfordelingen har et maksimum i den konjugerte planet til objektplanet. Det er derfor mulig å definere en tredimensjonal optisk overføringsfunksjon og den tilhørende modulasjonsoverføringsfunksjonen.

Optisk system begrenset av diffraksjon

Det er nyttig å kjenne oppførselen til et ideelt optisk system, i den forstand at det er blottet for aberrasjon, for å sammenligne det med et ekte optisk system. I praksis sies et system å være begrenset av diffraksjon hvis aberrasjonene som påvirker det har en punktspredningsfunksjon som er mindre enn det luftige punktet som er opprettet av diffraksjonen. Punktspredningsfunksjonen oppnås tilsvarer, bortsett fra en endring av variabelen, til den todimensjonale Fourier-transformasjonen av åpningens form : ${\ displaystyle t (X, Y)}$

{\ displaystyle {\ mathcal {H}} (x, y) = \ left (- {\ frac {1} {\ lambda ^ {2} D_ {i} D_ {o}}} \ int _ {- \ infty } ^ {\ infty} \! \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} t (X, Y) \ \ mathrm {e} ^ {{\ frac {- \ mathrm {i} \, 2 \ pi } {\ lambda D_ {i}}} \ left (xX + yY \ right)} \ \ mathrm {d} X \ \ mathrm {d} Y \ right) ^ {2}}

Da uttrykkes den optiske overføringsfunksjonen veldig enkelt som produktet av autokonvolusjonen av åpningens form:

{\ displaystyle {\ hat {\ mathcal {H}}} (\ nu _ {x}, \ nu _ {y}) = \ gamma _ {t} ^ {2} \ t (\ lambda D_ {i} \ nu _ {x}, \ lambda D_ {i} \ nu _ {y}) * t (\ lambda D_ {i} \ nu _ {x}, \ lambda D_ {i} \ nu _ {y})}

hvor er tverrforstørrelsen . ${\ displaystyle \ gamma _ {t}}$

De maksimale frekvensene som er registrert av bildesystemet er enten begrenset av det optiske systemet ved diffraksjonseffekt, eller av sensoren på grunn av størrelsen på piksler, for eksempel. I mange tilfeller, hvis objektet er langt nok unna, anses bildet å danne seg i nærheten av brennplanet slik at . ${\ displaystyle D_ {i} \ simeq f '}$

Demonstrasjon

Studien av diffraksjon for en tynn linse ved bruk av Fresnel-tilnærmingen resulterer i et uttrykk for punktamplitudespredningsfunksjonen som tilsvarer Fraunhofer-diffraksjonstallet:

{\ displaystyle h (x, y) = - {\ frac {1} {\ lambda ^ {2} D_ {i} D_ {o}}} \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} \! \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} t (X, Y) \ \ mathrm {e} ^ {{\ frac {- \ mathrm {i} \, 2 \ pi} {\ lambda D_ {i}} } \ left (xX + yY \ right)} \ \ mathrm {d} X \ \ mathrm {d} Y}

Ved å introdusere de reduserte variabler og , deretter , og vite at , kommer det: ${\ displaystyle X '= {\ frac {-X} {\ lambda D_ {i}}}}$ ${\ displaystyle Y '= {\ frac {-Y} {\ lambda D_ {i}}}}$ ${\ displaystyle \ mathrm {d} X = - \ lambda D_ {i} X '}$ ${\ displaystyle \ gamma _ {t} = - D_ {i} / D_ {o}}$

{\ displaystyle h (x, y) = \ gamma _ {t} \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} \! \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} t \ left (- \ lambda D_ {i} X ', - \ lambda D_ {i} Y' \ høyre) \ \ mathrm {e} ^ {\ mathrm {i} \, 2 \ pi \ left (xX '+ yY' \ right)} \ \ mathrm {d} X '\ \ mathrm {d} Y'}

{\ displaystyle h (x, y) = \ gamma _ {t} \ {\ mathcal {F}} ^ {- 1} \ left \ {t (- \ lambda D_ {i} X ', - \ lambda D_ { i} Y ') \ høyre \}}

Punktspredefunksjonen er gitt ved: . ${\ displaystyle {\ mathcal {H}} (x, y) = | h (x, y) | ^ {2}}$

{\ displaystyle E_ {i} (x, y) = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} \! \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} E_ {o} (a, b) \, {\ mathcal {H}} (xa ', y-b') \ \ mathrm {d} a '\ \ mathrm {d} b'}

{\ displaystyle E_ {i} (x, y) = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} \! \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} E_ {o} (a, b) \, | h (xa ', y-b') | ^ {2} \ \ mathrm {d} a '\ \ mathrm {d} b'}

Den optiske overføringsfunksjonen er:

{\ displaystyle {\ hat {\ mathcal {H}}} (\ nu _ {x}, \ nu _ {y}) = {\ mathcal {F}} \ left \ {| h (x, y) | ^ {2} \ right \} = {\ mathcal {F}} \ left \ {h (x, y) \ right \} * {\ mathcal {F}} \ left \ {h (x, y) \ right \ } = {\ hat {h}} (\ nu _ {x}, \ nu _ {y}) * {\ hat {h}} (\ nu _ {x}, \ nu _ {y})}

{\ displaystyle {\ hat {\ mathcal {H}}} (\ nu _ {x}, \ nu _ {y}) = \ gamma _ {t} ^ {2} \ t (- \ lambda D_ {i} \ nu _ {x}, - \ lambda D_ {i} \ nu _ {y}) * t (- \ lambda D_ {i} \ nu _ {x}, - \ lambda D_ {i} \ nu _ {y })}

Med tanke på symmetrien til de studerte systemene, kan tegnene undertrykkes (alle funksjonene er jevne).

{\ displaystyle {\ hat {h}} (\ nu _ {x}, \ nu _ {y}) = \ gamma _ {t} \ t (\ lambda D_ {i} \ nu _ {x}, \ lambda D_ {i} \ nu _ {y})}

Den standardiserte optiske overføringsfunksjonen er:

{\ displaystyle {\ hat {\ mathcal {H}}} _ {1} (\ nu _ {x}, \ nu _ {y}) = {\ frac {{\ mathcal {F}} \ left \ {| h (x, y) | ^ {2} \ right \}} {\ int \! \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} | h (x, y) | ^ {2} \ mathrm {d } x \ mathrm {d} y}}}

Sirkulær åpning

Når det gjelder et optisk system med en bildets brennvidde og utstyrt med en inngangspupil med en sirkulær blenderåpning i diameter , blir åpningstallet notert . Det er også vurdert at bildet er dannet i nærheten av brennplanet: . Problemets symmetri gjør det mulig å uttrykke den normaliserte optiske overføringsfunksjonen som en funksjon av de romlige frekvensene langs en hvilken som helst åpningens radiale akse: $f '$ $d$ ${\ displaystyle N = f '/ d}$ ${\ displaystyle D_ {i} \ simeq f '}$

{\ displaystyle {\ hat {\ mathcal {H}}} _ {1} (\ nu) = {\ frac {2} {\ pi}} \ left (\ arccos \ left ({\ frac {\ nu} { \ nu _ {c}}} \ høyre) - {{\ frac {\ nu} {\ nu _ {c}}} {\ sqrt {1- \ left ({\ frac {\ nu} {\ nu _ { c}}} \ right) ^ {2}}}} \ right)}

hvor cutoff frekvens, utover som det ikke lenger er noen motsetning, er gitt ved: . ${\ displaystyle \ nu _ {c} = {\ frac {1} {\ lambda N}}}$

Demonstrasjon

Overføringsfaktoren tilsvarer åpningens form:

{\ displaystyle t (X, Y) = {\ begin {cases} 1, & {\ text {si}} {\ sqrt {X ^ {2} + Y ^ {2}}} \ leq {\ frac {d } {2}} \\ 0, og {\ text {ellers}} \ end {cases}}}

Vel vitende om det , observerer vi at overføringsfunksjonen vil være null hvis . Med tanke på symmetrien til revolusjonen kan man være fornøyd med å studere på hvilken som helst akse. ${\ displaystyle {\ hat {\ mathcal {H}}} (\ nu _ {x}, \ nu _ {y}) = \ gamma _ {t} ^ {2} \ t (\ lambda D_ {i} \ nu _ {x}, \ lambda D_ {i} \ nu _ {y}) * t (\ lambda D_ {i} \ nu _ {x}, \ lambda D_ {i} \ nu _ {y})}$ ${\ displaystyle {\ sqrt {\ nu _ {x} ^ {2} + \ nu _ {y} ^ {2}}} \ leq \ nu _ {c} = {\ frac {d} {\ lambda f} } = {\ frac {1} {\ lambda N}}}$

Auto-konvolusjon kan beregnes ved å bestemme skjæringsområdet for to stråler . avskjæringsfrekvensen tilsvarer frekvensen utover hvilken de to platene ikke lenger avskjærer hverandre. Vi er først interessert i bare positive frekvenser. ${\ displaystyle {\ frac {\ nu _ {c}} {2}} = {\ frac {d} {\ lambda f}} = {\ frac {1} {2 \ lambda N}}}$ ${\ displaystyle \ nu _ {c}}$

{\ displaystyle A = 2 \ left ({\ frac {\ theta \ nu _ {c} ^ {2}} {2}} - \ nu _ {c} \ cos \ theta \, \ nu _ {c} \ sin \ theta \ høyre)}

{\ displaystyle A = 2 \, \ nu _ {c} ^ {2} \ left ({\ frac {\ theta} {2}} - {\ frac {\ sin 2 \ theta} {2}} \ right) }

{\ displaystyle A = 2 \, \ nu _ {c} ^ {2} \ left ({\ frac {\ theta} {2}} - {\ cos \ theta \ sin \ theta} \ right)}

På det meste er området . ${\ displaystyle A _ {\ mathrm {max}} = \ pi \, \ nu _ {c} ^ {2}}$

{\ displaystyle {\ frac {\ nu} {\ nu _ {c}}} = \ cos \ theta}

{\ displaystyle \ sin ^ {2} \ theta = 1- \ left ({\ frac {\ nu} {\ nu _ {c}}} \ right) ^ {2}}

{\ displaystyle A = 2 \, \ nu _ {c} ^ {2} \ left ({\ frac {\ arccos (\ nu / \ nu _ {c})} {2}} - {{\ frac {\ nu} {\ nu _ {c}}} {\ sqrt {1- \ left ({\ frac {\ nu} {\ nu _ {c}}} \ right) ^ {2}}}} right)}

Ved å dele med for å oppnå en maksimumsverdi på 1 = 100%, og ved å observere symmetrien som pålegger at funksjonen er jevn, får vi: ${\ displaystyle A _ {\ mathrm {max}}}$

{\ displaystyle {\ hat {\ mathcal {H}}} _ {1} (\ nu) = {\ frac {2} {\ pi}} \ left ({\ frac {\ arccos (| \ nu | / \ nu _ {c})} {2}} - {{\ frac {| \ nu |} {\ nu _ {c}}} {\ sqrt {1- \ left ({\ frac {\ nu} {\ nu _ {c}}} \ høyre) ^ {2}}} \ høyre)}

Firkantet åpning

Når det gjelder en firkantet åpning fra siden , er overføringsfaktoren: $d$

{\ displaystyle t (X, Y) = \ Pi _ {{d} / 2, d / 2} (X, Y) = {\ begin {cases} 1, & {\ text {si}} - {\ frac {d} {2}} \ leq X \ leq {\ frac {d} {2}} {\ text {what if}} - {\ frac {d} {2}} \ leq Y \ leq {\ frac { d} {2}} \\ 0, og {\ text {ellers}} \ end {cases}}}

hvor representerer portfunksjonen . Blendernummeret er fortsatt definert som , avskjæringsfrekvensen holder det samme uttrykket, men den optiske overføringsfunksjonen er modifisert: $\ Pi$ ${\ displaystyle N = f '/ D}$

{\ displaystyle H_ {1} (\ nu _ {x}, \ nu _ {y}) = \ Lambda \! \ left ({\ frac {\ nu _ {x}} {\ nu _ {c}}} \ høyre) \ Lambda \! \ venstre ({\ frac {\ nu _ {y}} {\ nu _ {c}}} \ høyre)}

hvor er trekantfunksjonen . ${\ displaystyle \ Lambda \! \ left (x \ right)}$

Ekte optisk system

Et ekte system lider av optiske avvik . Effekten av disse avvikene er å redusere kontrastforholdet som en funksjon av romlige frekvenser, noe som resulterer i en reduksjon i MTF sammenlignet med tilfellet begrenset av diffraksjon. Denne reduksjonen i kontrast kan ledsages av en reduksjon i avskjæringsfrekvensen til det optiske systemet, viktig informasjon som gjør det mulig å bestemme kapasiteten til et system for å overføre de fine detaljene i et bilde. De optiske avvikene som forringer systemers ytelse er ikke romlig uforanderlige, noe som forhindrer bruk av konvolusjonsproduktet og reduserer mulighetene for enkle beregninger. I tillegg er de ikke alle rotasjonssymmetriske. Da er den optiske overføringsfunksjonen ikke rotasjonssymmetrisk, og spesielt varierer MTF avhengig av posisjonen som er studert i bildeplanet. For å kjenne MTF er det nødvendig å ta målinger.

MTF-måling

Metoder som bruker testmønstre

Modulasjonsoverføringsfunksjonen kan måles ved hjelp av testmønstre som består av svarte og hvite bånd som veksler på forskjellige romlige frekvenser. For hver romlige frekvens måles kontrasten på bildet og deles med kontrasten til testmønsteret. ${\ displaystyle C (f)}$

{\ displaystyle C (f) = {\ frac {L_ {max} -L_ {min}} {L_ {max} + L_ {min}}}}

med og minimum og maksimum luminanser målt på testmønsterbildet. Dette forholdet er verdien av moduleringsoverføringsfunksjonen for denne romlige frekvensen. ${\ displaystyle L_ {min}}$ ${\ displaystyle L_ {max}}$

Metoder som bruker punktspredningsfunksjonen

Direkte målemetoder

Hvis detektoren har tilstrekkelig oppløsning og en lyskilde med tilstrekkelig liten størrelse kan brukes, er det mulig å måle punktets spredningsfunksjon direkte til det optiske systemet. Det punkt spredefunksjon da gjør det mulig å beregne overføringsfunksjonen modulering av en Fourier-transformasjon .

Alternativt, i fravær av en detektor, gjør en måling av fallet i lysintensitet i nærvær av en virvelkniv det mulig å beregne moduleringsoverføringsfunksjonen. Denne metoden brukes ofte i områder der sensorene ikke har tilstrekkelig oppløsning, for eksempel infrarød .

Metoder som bruker bølgefrontanalysatorer

Bruken av en bølgefrontanalysator gjør det mulig å analysere deformasjonen av bølgefronten med et optisk system. Spesielt gjør slike systemer det mulig å måle impulsresponsen til et optisk system. Den optiske overføringsfunksjonen er Fourier-transformasjonen av denne impulsresponsen, og det er således mulig å oppnå moduleringsoverføringsfunksjonen.

Faktorer som påvirker MTF

MTF til et optisk system avhenger åpenbart av blenderåpningen og dens form, så vel som av bølgelengden på grunn av diffraksjon, men andre fenomener griper inn for å degradere den.

De fleste av de geometriske og kromatiske avvikene som påvirker det optiske systemet, i tillegg til produksjons- eller stelldefekter, reduserer MTF-verdiene: sfærisk aberrasjon, komaavvik, astigmatisme, feltkrumning , kløver. Refleksjoner internt i det optiske systemet kan redusere MTF over hele bildet ved å redusere kontrasten ved blusseffekt . Den vignettering og forvrengning har ingen innflytelse på FTM. Den kromatiske aberrasjonen påvirker ikke i nesten monokromatisk lys. Avstanden til objektet kan endre de optiske avvikene som er tilstede i det optiske systemet og modifisere MTF assosiert med det. Den polarisering av hendelsen lys kan, mer sjeldent, har en innflytelse.

Bruk i fotografering og kino

Modulasjonsoverføringsfunksjonen gjør det mulig å karakterisere kvaliteten på et mål .

FTM-kurve i fotografering

MTF-kurvene som karakteriserer et fotografisk objektiv inkluderer minst to kurver:

Den øvre kurven tilsvarer utviklingen av kontrasten til en lav romlig frekvens (ofte 10 sykluser per millimeter) som en funksjon av avstanden fra sentrum av bildet.
Den nedre kurven tilsvarer utviklingen av kontrasten til en høyere romlig frekvens (ofte 30 sykluser per millimeter) som en funksjon av avstanden fra sentrum av bildet.

Disse kurvene er delt i henhold til den sagittale eller tangensielle orienteringen , noe som gjør det mulig å redegjøre for avvik som ikke har rotasjonssymmetri.

Fotografiske linser viser maksimal MTF for middels blenderåpninger (f / 5.6). MTF er lavere for store blenderåpninger (f / 1.4, f / 2) på grunn av aberrasjoner, og for små blenderåpninger på grunn av diffraksjon. Objektivprodusenter begrenser vanligvis blenderåpningen til f / 16 eller f / 22 (f / 32 for store formater). Diffraksjon påvirker store sensorer (med lik definisjon) mindre fordi pikslene er større og størrelsen på diffraksjonspunktet bare avhenger av blenderåpningen.

Lignende konsepter til den optiske overføringsfunksjonen

I elektronikk

I elektronikk brukes begrepet overføringsfunksjon for en elektrisk krets spesielt til å analysere frekvensresponsen til systemet, som tilsvarer forsterkningen til systemet som en funksjon av frekvensen til det elektriske inngangssignalet. Det er mulig å foreta analogien mellom optiske overføringsfunksjonoverføringsfunksjon på den ene side og mellom moduleoverføringsfunksjon og frekvensrespons på den annen side.

I akustikk

I akustikk brukes modulasjonsoverføringsfunksjonen til å evaluere hvordan amplitudemodulasjonene til signalet påvirkes under diffusjonen av et signal. Modulasjonen overføringsfunksjon for et smalbånds-signal er beregnet av kontrastforhold (modifisert signal - opprinnelig signal). For amplitude- modulasjoner som strekker seg fra 1 til 12 Hz MTF er grunnlag av flere målinger taleforståelse og spesielt taleoverføring Index (STI) .

Se også

Fotografisk linse

Merknader og referanser

Det optiske nærfeltet: Teori og applikasjoner på Google Books - Daniel Courjon og Claudine Bainier (2001)
Eugene Hecht , Optics , Pearson,19. september 2005, 724 s. ( ISBN 978-2-7440-7063-1 , leses online ) , s. 571
Avhandling: Analyse og modellering av moduleringsoverføringsfunksjonen til CMOS aktive pikselbildesensorer - Magali Estribeau (2004)
Standard ISO 15529 revisjon 2010
Rask vektoriell beregning av den volumetriske fokuserte feltfordelingen ved å bruke en tredimensjonal Fourier-transform - J. Lin, OG Rodríguez-Herrera, F. Kenny, D. Lara og JC Dainty, Optics Express (2012)
Optiske designelementer ( les online ) , s. 8
Trening, fangst og restitusjon av bilder s. 78 - Jean-Louis Meyzonnette, Superior School of Optics
(i) Glenn D. Boreman, modulasjonsoverføringsfunksjon i optiske og elektro-optiske systemer , SPIE Press,1 st januar 2001, 110 s. ( ISBN 978-0-8194-4143-0 , leses online ) , s. 16
Introduksjon til optisk testing på Google Books - Joseph M. Geary
MTF-dokumentasjon - Imatest
Måling av funksjonen til moduleringsoverføring av et optisk system - Praktisk arbeid, Institut d'Optique
HASO wavefront sensor - Imagine Optic
Shack-Hartmann bølgefrontanalysator - OptoPhase
Tolkningen av optiske datablad - Carl Zeiss
Forstå funksjonen for moduleringsoverføring - Digital Focus
Hvordan lese MTF-kurver - Sigma France
Introduksjon av taleforståelighet nti-audio.com