Lemnisk funksjon

I matematikk , lemniscatic funksjoner er elliptiske funksjoner relatert til den buelengden av en Bernoulli lemniskaten ; disse funksjonene har mange analogier med de trigonometriske funksjonene . De ble studert av Giulio Fagnano i 1718; deres grundige analyse, og spesielt bestemmelsen av periodene, ble oppnådd av Carl Friedrich Gauss i 1796. Disse funksjonene har et kvadratisk nettverk av perioder , og er nært knyttet til den elliptiske funksjonen til Weierstrass hvis invarianter er $g 2 = 1$ og $g 3 = 0$ . Når det gjelder lemniskatiske funksjoner, er disse periodene ( $ω 1$ og $i ω 1$ ) knyttet til den gaussiske konstanten $G$ ; vi har (der $Γ$ er gammafunksjonen ). ${\ displaystyle \ omega _ {1} = 2 \ pi G = {\ frac {\ Gamma ^ {2} \ left ({\ frac {1} {4}} \ right)} {4 {\ sqrt {\ pi }}}}}$

Lemniskatiske sinus- og cosinusfunksjoner

Den lemniscatic sinus (på latin sinus lemniscatus ) og den lemniscatic cosinus (på latin cosinus lemniscatus ) (bemerket $sinlemn$ eller $sl$ og $coslemn$ eller $cl$ ) er analoger av de vanlige sinus- og cosinusfunksjonene, og erstatter sirkelen med et lemniscate (fra Bernoulli) . De defineres (deretter utvides med symmetri og periodisitet) av

{\ displaystyle \ operatorname {sl} (r) = s, \ quad {\ textrm {with}} \ quad r = \ int _ {0} ^ {s} {\ frac {dt} {\ sqrt {1-t ^ {4}}}}}

{\ displaystyle \ operatorname {cl} (r) = c, \ quad {\ textrm {with}} \ quad r = \ int _ {c} ^ {1} {\ frac {dt} {\ sqrt {1-t ^ {4}}}}}

(de vanlige trigonometriske funksjonene kan defineres på samme måte ved å erstatte

t 4

med

t 2

Deres analytiske utvidelser til det komplekse planet er dobbelt periodiske elliptiske funksjoner , av perioder og , hvor $G$ er den Gaussiske konstanten gitt av og $jeg$ den imaginære enheten ; halvperioden $π$ $G$ (analog av tallet $π$ i trigonometri) blir ofte notert . Grafene til de to funksjonene har symmetri og forholdet mellom dem analoge med grafikkene til trigonometriske funksjoner (ved å erstatte $π$ med ); spesielt (symmetri med hensyn til ligningsaksen ). ${\ displaystyle \ omega _ {1} = 2 \ pi G}$ ${\ displaystyle \ mathrm {i} \ omega _ {1} = 2 \ mathrm {i} \ pi G}$ ${\ displaystyle G = {\ frac {2} {\ pi}} \ int _ {0} ^ {1} {\ frac {dt} {\ sqrt {1-t ^ {4}}}} = 0.8346 \ ldots .}$ $\ varpi$ $\ varpi$ ${\ displaystyle \ operatorname {cl} (x) = \ operatorname {sl} \ left ({\ frac {\ varpi} {2}} - x \ right)}$ ${\ displaystyle X = {\ frac {\ varpi} {4}}}$

Lengde på en lemnisk bue

Den lemniskaten Bernoulli , av kartesiske ligning er dannet av elementer som produktet av avstandene til to punkter $($ ${\ displaystyle \ left (x ^ {2} + y ^ {2} \ right) ^ {2} = x ^ {2} -y ^ {2}}$ $1 / \sqrt 2, 0)$ , $(- 1 / \sqrt 2, 0)$ ( foci ) er konstant og er lik $1 / 2$ . Lengden $r$ av den korteste buen som går fra opprinnelsen til et punkt som ligger i avstanden $s$ fra denne opprinnelsen er gitt av og følgelig gir de lemniskatiske funksjonene avstanden til opprinnelsen som en funksjon av buenes lengde. ${\ displaystyle r = \ int _ {0} ^ {s} {\ frac {dt} {\ sqrt {1-t ^ {4}}}},}$

Algebraiske egenskaper

Vi har mellom sinus og det lemniskatiske cosinus forholdet

{\ displaystyle (\ mathrm {sl} \, (x) ^ {2} +1) \ cdot (\ mathrm {cl} \, (x) ^ {2} +1) = 2}

, som vi kan skrive om

{\ displaystyle \ mathrm {cl} (x) ^ {2} = {\ frac {1- \ mathrm {sl} (x) ^ {2}} {1+ \ mathrm {sl} (x) ^ {2} }}}

Vi har også tilleggsformler:

{\ displaystyle \ mathrm {sl} \, (a + b) = {\ frac {\ mathrm {sl} \, (a) \ cdot \ mathrm {cl} \, (b) + \ mathrm {cl} \, (a) \ cdot \ mathrm {sl} \, (b)} {1- \ mathrm {sl} \, (a) \ cdot \ mathrm {cl} \, (a) \ cdot \ mathrm {sl} \, (b) \ cdot \ mathrm {cl} \, (b)}}}

{\ displaystyle \ mathrm {cl} \, (a + b) = {\ frac {\ mathrm {cl} \, (a) \ cdot \ mathrm {cl} \, (b) - \ mathrm {sl} \, (a) \ cdot \ mathrm {sl} \, (b)} {1+ \ mathrm {sl} \, (a) \ cdot \ mathrm {cl} \, (a) \ cdot \ mathrm {sl} \, (b) \ cdot \ mathrm {cl} \, (b)}}}

som også er skrevet:

{\ displaystyle \ mathrm {sl} \, (a + b) = {\ frac {\ mathrm {sl} \, (a) \ cdot \ mathrm {sl '} \, (b) + \ mathrm {sl'} \, (a) \ cdot \ mathrm {sl} \, (b)} {1+ \ mathrm {sl} \, (a) ^ {2} \ cdot \ mathrm {sl} \, (b) ^ {2 }}}}

, hvor er derivatet av sl (se neste avsnitt).

{\ displaystyle \ mathrm {sl} '= \ mathrm {cl} \ cdot (\ mathrm {sl} ^ {2} +1)}

Ved hjelp av buetangensfunksjonen forenkles disse formlene ved:

{\ displaystyle \ mathrm {arctan} (\ mathrm {sl} \, (a + b)) = \ mathrm {arctan} (\ mathrm {sl} \, (a) \ cdot \ mathrm {cl} \, (b )) + \ mathrm {arctan} (\ mathrm {cl} \, (a) \ cdot \ mathrm {sl} \, (b))}

{\ displaystyle \ mathrm {arctan} (\ mathrm {cl} \, (a + b)) = \ mathrm {arctan} (\ mathrm {cl} \, (a) \ cdot \ mathrm {cl} \, (b )) - \ mathrm {arctan} (\ mathrm {sl} \, (a) \ cdot \ mathrm {sl} \, (b))}

veldig lik i denne formen tilleggsformlene til trigonometriske funksjoner .

Derivater

Disse funksjonene har følgende derivater:

{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} x}} \ mathrm {sl} (x) = \ mathrm {cl} (x) \ cdot (\ mathrm {sl} \, ( x) ^ {2} +1)}

{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} x}} \ mathrm {cl} (x) = - \ mathrm {sl} (x) \ cdot (\ mathrm {cl} \, (x) ^ {2} +1)}

hvorfra man trekker de andre derivatene:

{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} ^ {2}} {\ mathrm {d} x ^ {2}}} \ mathrm {sl} (x) = - 2 \ cdot \ mathrm {sl} (x ) ^ {3}}

{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} ^ {2}} {\ mathrm {d} x ^ {2}}} \ mathrm {cl} (x) = - 2 \ cdot \ mathrm {cl} (x ) ^ {3}}

Disse funksjonene er løsninger av differensialligningen

{\ displaystyle y '' = - 2 år ^ {3}}

Ved å bruke buetangensfunksjonen har vi de enklere forholdene:

{\ displaystyle \ mathrm {cl} (x) = {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} x}} \ arctan (\ mathrm {sl} (x))}

{\ displaystyle \ mathrm {sl} (x) = - {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} x}} \ arctan (\ mathrm {cl} (x))}

Bemerkelsesverdige verdier

Vi har følgende bemerkelsesverdige verdier av den lemniskatiske sinusen (vi husker at det er halvperioden): ${\ displaystyle \ varpi = {\ frac {\ omega _ {1}} {2}}}$

{\ displaystyle \ mathrm {sl} \ left ({\ frac {\ varpi} {2}} \ right) = 1}

{\ displaystyle \ mathrm {sl} \ left ({\ frac {\ varpi} {4}} \ right) = {\ sqrt {{{\ sqrt {2}} - 1}}}

{\ displaystyle \ mathrm {sl} \ left ({\ frac {\ varpi} {6}} \ right) = {\ frac {1} {2}} \ cdot (- {\ sqrt [{4}] {12 }} + {\ sqrt {3}} + 1)}

{\ displaystyle \ mathrm {sl} \ left ({\ frac {\ varpi} {3}} \ right) = {\ frac {\ sqrt [{8}] {3}} {\ sqrt [{4}] { 2}}} \ cdot {\ sqrt {{\ sqrt {3}} - 1}}}

{\ displaystyle \ mathrm {sl} \ left ({\ frac {\ varpi} {8}} \ right) = {\ sqrt {({\ sqrt [{4}] {2}} - 1) \ cdot \ left ({\ sqrt {2}} + 1 - {\ sqrt {2 + {\ sqrt {2}}}} \ høyre)}}

{\ displaystyle \ mathrm {sl} \ left ({\ frac {3 \ cdot \ varpi} {8}} \ right) = {\ sqrt {({\ sqrt [{4}] {2}} - 1) \ cdot \ left ({\ sqrt {2}} + 1 + {\ sqrt {2 + {\ sqrt {2}}}} \ right)}}

{\ displaystyle \ mathrm {sl} \ left ({\ frac {\ varpi} {10}} \ right) = {\ frac {1} {2}} \ cdot ({\ sqrt [{4}] {5} } -1) \ cdot \ left ({\ sqrt {{\ sqrt {5}} + 2}} - 1 \ right)}

{\ displaystyle \ mathrm {sl} \ left ({\ frac {\ varpi} {5}} \ right) = {\ frac {1} {2 \ cdot {\ sqrt [{4}] {2}}}} \ cdot ({\ sqrt {5}} - 1) \ cdot {\ sqrt {{\ sqrt [{4}] {20}} - {\ sqrt {{\ sqrt {5}} - 1}}}}}

{\ displaystyle \ mathrm {sl} \ left ({\ frac {3 \ cdot \ varpi} {10}} \ right) = {\ frac {1} {2}} \ cdot ({\ sqrt [{4}] {5}} - 1) \ cdot \ left ({\ sqrt {{\ sqrt {5}} + 2}} + 1 \ right)}

{\ displaystyle \ mathrm {sl} \ left ({\ frac {2 \ cdot \ varpi} {5}} \ right) = {\ frac {1} {2 \ cdot {\ sqrt [{4}] {2} }}} \ cdot ({\ sqrt {5}} - 1) \ cdot {\ sqrt {{\ sqrt [{4}] {20}} + {\ sqrt {{\ sqrt {5}} - 1}} }}}

Forholdet gjør det mulig å utlede verdiene til $cl$ ; for eksempel kan vi oppnå ved enkel symmetri: ${\ displaystyle \ mathrm {cl} ^ {2} = {\ frac {1- \ mathrm {sl} ^ {2}} {1+ \ mathrm {sl} ^ {2}}}}$

{\ displaystyle \ mathrm {cl} \ left ({\ frac {\ varpi} {4}} \ right) = \ mathrm {sl} \ left ({\ frac {\ varpi} {4}} \ right) = { \ sqrt {{\ sqrt {2}} - 1}}}

Gjensidige funksjoner

Den gjensidige funksjonen til den lemniskatiske sinusfunksjonen, betegnet $argsl$ , er definert av forholdet $sl (argsl ( x )) = argsl (sl ( x )) = x$ , gyldig i passende intervaller (begrensningen av $sl$ til intervallene [-1 , 1] og å være en sammenheng ). Vi kan lett se tilbake til definisjonen at $argsl$ er den primitive funksjonen som forsvinner ved 0; denne primitive er en elliptisk integral av den første typen , det vil si mer presist . ${\ displaystyle \ left [{\ frac {- \ varpi} {2}}, {\ frac {\ varpi} {2}} \ right]}$ ${\ displaystyle x \ mapsto {\ frac {1} {\ sqrt {1-x ^ {4}}}}}$ ${\ displaystyle F (\ arcsin x \, | \, - 1)}$

Se også

Gaussisk konstant

Referanser

(fr) Denne artikkelen er delvis eller helt hentet fra den engelske Wikipedia- artikkelen med tittelen " Lemniscatic elliptic function " ( se forfatterlisten ) .

(en) CL Siegel , “ Temaer i kompleks funksjonsteori. Flygning. I: Elliptiske funksjoner og uniformiseringsteori ” , Interscience Tracts in Pure and Applied Mathematics , New York-London-Sydney, Wiley-Interscience A Division of John Wiley & Sons, vol. 25,1969( ISBN 0-471-60844-0 , matematiske anmeldelser 0257326 )

Eksterne linker

(en) “Lemniscate features” , i Michiel Hazewinkel , Encyclopædia of Mathematics , Springer ,2002( ISBN 978-1556080104 , lest online )