Hardy Space

De Hardy mellomrom i felt matematikk for funksjonell analyse , er områder av analytiske funksjoner på enhetens plate ? det komplekse plan .

Hilbert-saken: mellomrommet H 2 (?)

Definisjon

La f være en holomorf funksjon på ?, vi vet at f innrømmer en Taylor-serieutvidelse på 0 på enhetsdisken:

∀z∈Df(z)=∑ikke=0+∞f^(ikke) zikkemedf^(ikke): =f(ikke)(0)ikke!.{\ displaystyle \ forall z \ in \ mathbb {D} \ qquad f (z) = \ sum _ {n = 0} ^ {+ \ infty} \, {\ hat {f}} (n) \ z ^ { n} \ qquad {\ text {with}} \ qquad {\ hat {f}} (n): = {\ frac {f ^ {(n)} (0)} {n!}}.}

Vi sier at f er i den Hardy plass H 2 (?) hvis sekvensen hører til ℓ 2 . Med andre ord har vi: (f^(ikke)){\ displaystyle ({\ hat {f}} (n))}

H2(D)={f∈Hol(D) | ∑ikke=0+∞|f^(ikke)|2<+∞}{\ displaystyle H ^ {2} (\ mathbb {D}) = \ left \ lbrace f \ in Hol (\ mathbb {D}) ~ \ left | ~ \ sum _ {n = 0} ^ {+ \ infty} \, | {\ hat {f}} (n) | ^ {2} <+ \ infty \ right. \ right \ rbrace}

Vi definerer deretter normen for f ved å:

‖f‖2: =(∑ikke=0+∞|f^(ikke)|2)12.{\ displaystyle \ | f \ | _ {2}: = \ left (\ sum _ {n = 0} ^ {+ \ infty} | {\ hat {f}} (n) | ^ {2} \ right) ^ {\ frac {1} {2}}.}

Eksempel

Funksjonen tilhører H 2 (?), ved konvergens av serien ( konvergent Riemann-serie ). z↦Logg⁡(1-z)=-∑ikke=1∞zikkeikke{\ displaystyle z \ mapsto \ log (1-z) = - \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {z ^ {n}} {n}}}∑ikke≥11ikke2{\ displaystyle \ sum _ {n \ geq 1} {\ frac {1} {n ^ {2}}}}

Et annet uttrykk for standarden

For f holomorf på ? og for 0 ≤ r <1 definerer vi:

M2(f,r): =(12π∫-ππ|f(reJegt)|2 dt)12.{\ displaystyle M_ {2} (f, r): = \ left ({\ frac {1} {2 \ pi}} \ int _ {- \ pi} ^ {\ pi} \ vert f (r \ mathrm { e} ^ {\ mathrm {i} t}) \ vert ^ {2} ~ \ mathrm {d} t \ right) ^ {\ frac {1} {2}}.}

• funksjonen r ↦ M 2 ( f , r ) øker over [0, 1 [ .
• f ∈ H 2 (?) hvis og bare hvisog vi har:limr→1-M2(f,r)<+∞{\ displaystyle \ lim _ {r \ to 1 ^ {-}} M_ {2} (f, r) <+ \ infty}

‖f‖22=limr→1-12π∫-ππ|f(reJegt)|2 dt=sup0≤r<112π∫-ππ|f(reJegt)|2 dt.{\ displaystyle \ | f \ | _ {2} ^ {2} = \ lim _ {r \ to 1 ^ {-}} {{\ frac {1} {2 \ pi}} \ int _ {- \ pi } ^ {\ pi} \ vert f (r \ mathrm {e} ^ {\ mathrm {i} t}) \ vert ^ {2} ~ \ mathrm {d} t} = \ sup _ {0 \ leq r < 1} {\ frac {1} {2 \ pi}} \ int _ {- \ pi} ^ {\ pi} \ vert f (r \ mathrm {e} ^ {\ mathrm {i} t}) \ vert ^ {2} ~ \ mathrm {d} t.} Demonstrasjon

• La oss sette hvor og . Vi har :z=reJegt{\ displaystyle z = r \ mathrm {e} ^ {\ mathrm {i} t}}r∈[0,1[{\ displaystyle r \ in [0,1 [}t∈[-π,π]{\ displaystyle t \ in [- \ pi, \ pi]}f(z)=∑ikke=0+∞f^(ikke)zikke derfor f(reJegt)=∑ikke=0+∞f^(ikke)rikkeeJegikket{\ displaystyle f (z) = \ sum _ {n = 0} ^ {+ \ infty} {\ hat {f}} (n) z ^ {n} {\ hbox {derfor}} f (r \ mathrm { e} ^ {\ mathrm {i} t}) = \ sum _ {n = 0} ^ {+ \ infty} {\ hat {f}} (n) r ^ {n} \ mathrm {e} ^ {\ mathrm {i} nt}}Så, etter Parsevals formel , har vi:M2(f,r)2=∑ikke=0+∞|f^(ikke)|2r2ikke{\ displaystyle M_ {2} (f, r) ^ {2} = \ sum _ {n = 0} ^ {+ \ infty} \ vert {\ hat {f}} (n) \ vert ^ {2} r ^ {2n}}Denne formelen viser den første påstanden.
• Hvis f ∈ H 2 (?), viser den forrige formelen at det er en økende funksjon, avgrenset eksisterer derfor og i henhold til monoton konvergenssats er denne grensen lik . Omvendt hvis vi for hver har ved vekst av  :M2(f,.){\ displaystyle M_ {2} (f,.)}limr→1-M2(f,r){\ displaystyle \ displaystyle {\ lim _ {r \ rightarrow 1-} M_ {2} (f, r)}}‖f‖2{\ displaystyle \ | f \ | _ {2}}limr→1-M2(f,r)=M<+∞{\ displaystyle \ displaystyle {\ lim _ {r \ rightarrow 1-} M_ {2} (f, r) = M <+ \ infty}}IKKE≥0{\ displaystyle N \ geq 0}M2(f,r){\ displaystyle M_ {2} (f, r)}∑ikke=0IKKE|f^(ikke)|2r2ikke≤∑ikke=0+∞|f^(ikke)|2r2ikke≤M2{\ displaystyle \ sum _ {n = 0} ^ {N} \ vert {\ hat {f}} (n) \ vert ^ {2} r ^ {2n} \ leq \ sum _ {n = 0} ^ { + \ infty} \ vert {\ hat {f}} (n) \ vert ^ {2} r ^ {2n} \ leq M ^ {2}}Ved å passere til det ytterste når det har en tendens mot deretter når det er en tendens mot , får vi den andre påstanden.r{\ displaystyle r}1-{\ displaystyle 1 ^ {-}}IKKE{\ displaystyle N}+∞{\ displaystyle + \ infty}

Noen egenskaper i rommet H 2 (?)

• Den Hardy plass H 2 (?) er isometrisk isomorf (som en normalisert vektor plass ) til ℓ 2 . Det er derfor et Hilbert-rom .

Demonstrasjon

Vi vurderer applikasjonen definert av . Dette er godt definert ved definisjonen av H- 2 (?), er det klart lineær. Ved unikhet i utviklingen i hele serien er det injiserende , det gjenstår å vise at det er surjectivt . T:H2(D)→ℓ2{\ displaystyle T: H ^ {2} (\ mathbb {D}) \ rightarrow \ ell _ {2}}T(f)=(f^(ikke)){\ displaystyle T (f) = ({\ hat {f}} (n))}

La , derfor være avgrenset, hele serien f definert ved en med en radius av konvergens er større enn eller lik 1, spesielt og . er derfor surjektiv. (påikke)∈ℓ2{\ displaystyle (a_ {n}) \ in \ ell _ {2}}(påikke){\ displaystyle (a_ {n})}f(z)=∑ikke=0+∞påikkezikke{\ displaystyle f (z) = \ sum _ {n = 0} ^ {+ \ infty} a_ {n} z ^ {n}}f∈Hol(D){\ displaystyle f \ in Hol (\ mathbb {D})}T(f)=(påikke){\ displaystyle T (f) = (a_ {n})}T{\ displaystyle T}

• For alle f ∈ H 2 (?) og for alle z i ? har vi:

|f(z)|≤‖f‖21-|z|2.{\ displaystyle \ vert f (z) \ vert \ leq {\ frac {\ | f \ | _ {2}} {\ sqrt {1- \ vert z \ vert ^ {2}}}}.} Demonstrasjon

Vi bruker Cauchy-Schwarz-ulikheten i Taylor-seriens utvidelse av f ved 0. Vi har da, for alle z i ?:

|f(z)|≤∑ikke=0+∞|f^(ikke)||z|ikke≤‖f‖2(∑ikke=0+∞|z|2ikke)12=‖f‖21-|z|2{\ displaystyle \ vert f (z) \ vert \ leq \ sum _ {n = 0} ^ {+ \ infty} \ vert {\ hat {f}} (n) \ vert \ vert z \ vert ^ {n} \ leq \ | f \ | _ {2} \, {(\ sum _ {n = 0} ^ {+ \ infty} \ vert z \ vert ^ {2n})} ^ {\ frac {1} {2} } = {\ frac {\ | f \ | _ {2}} {\ sqrt {1- \ vert z \ vert ^ {2}}}}}.

Dette betyr at den lineære kart over evaluering f ↦ f ( z ) , fra H 2 (?) til ℂ, er kontinuerlig for alle z i ? og dens norm er mindre enn:

11-|z|2.{\ displaystyle {\ frac {1} {\ sqrt {1- \ vert z \ vert ^ {2}}}}.}

Faktisk kan vi vise at normen er nøyaktig lik denne konstanten.

• Den svake topologien av den enhet ball av H- 2 (?) faller sammen med topologien av uniform konvergens på en hvilken som helst kompakte .

De to neste egenskapene er da direkte konsekvenser av sistnevnte.

• La ( f n ) være en sekvens av elementer i H 2 (?) som konvergerer i norm mot f deretter ( f n ) konvergerer jevnt på en hvilken som helst kompakte av ? mot f .
• La ( f n ) være en sekvens av elementer i H 2 (?) som inngår i enheten ball. Deretter kan vi trekke ut en sekvens som konvergerer jevnt på enhver kompakt av ?.

Den generelle saken

Definisjon

For 0 < p <+ ∞ definerer man Hardy space H p (?) som rommet for de analytiske funksjonene f på enhetsdisken, slik som:

sup0<r<1(∫02π|f(reJegt)|s dt2π)<+∞.{\ displaystyle \ sup _ {0 <r <1} \ left (\ int _ {0} ^ {2 \ pi} | f (r \ mathrm {e} ^ {\ mathrm {i} t}) | ^ { p} ~ {\ frac {\ mathrm {d} t} {2 \ pi}} \ høyre) <+ \ infty.}

Vi definerer deretter:

‖f‖s=sup0<r<1(∫02π|f(reJegt)|s dt2π)1s.{\ displaystyle \ | f \ | _ {p} = \ sup _ {0 <r <1} \ left (\ int _ {0} ^ {2 \ pi} | f (r \ mathrm {e} ^ {\ mathrm {i} t}) | ^ {p} ~ {\ frac {\ mathrm {d} t} {2 \ pi}} \ right) ^ {\ frac {1} {p}}.}

Noen eiendommer

• For p ≥ 1 er H p (?) et Banach-rom .
• La f ∈ H p (?) for p ≥ 1 . Så for nesten alle t (i betydningen Lebesgue-mål ):f∗(eJegt): =limr→1-f(reJegt){\ displaystyle f ^ {*} (\ mathrm {e} ^ {\ mathrm {i} t}): = \ lim _ {r \ til 1 ^ {-}} f (r \ mathrm {e} ^ {\ mathrm {i} t})}eksisterer og kartet f ↦ f * er en isometri av H p (?) i underområdet til hvor:H∗s{\ displaystyle H _ {*} ^ {p}}Ls([0,2π],dt2π){\ displaystyle L ^ {p} \ left ([0,2 \ pi], {\ frac {\ mathrm {d} t} {2 \ pi}} \ right)}H∗s={f∈Ls([0,2π],dt2π) | ∀ikke≤-1, f^(ikke)=0}.{\ displaystyle H _ {*} ^ {p} = \ left \ {\ left.f \ in L ^ {p} \ left ([0,2 \ pi], {\ frac {\ mathrm {d} t} {2 \ pi}} \ right) ~ \ right | ~ \ forall n \ leq -1, ~ {\ hat {f}} (n) = 0 \ right \}.}
• Vi har en annen karakterisering av normen takket være egenskapene til de subharmoniske funksjonene  : For enhver f ∈ H p (?) har vi:

‖f‖s=limr→1-(∫02π|f(reJegt)|sdt2π)1s.{\ displaystyle \ | f \ | _ {p} = \ lim _ {r \ to 1 ^ {-}} \ left (\ int _ {0} ^ {2 \ pi} | f (r \ mathrm {e} ^ {\ mathrm {i} t}) | ^ {p} {\ frac {\ mathrm {d} t} {2 \ pi}} \ right) ^ {\ frac {1} {p}}.}

Beurling faktorisering

Bibliografi

• (en) Peter L. Duren , Theory of H p Spaces , Dover ,2000, 292  s. ( ISBN  978-0-486-41184-2 , les online )
• Nikolaï Nikolski, Elements of advanced analysis T.1 - Spaces of Hardy , Belin ,november 2012, ( ISBN  978-2701163482 )

Relatert artikkel

Fiskekjerne

<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">