Ensidig funksjon

I matematikk , og mer presist i kompleks analyse , kalles en holomorf funksjon på en åpen delmengde av et komplekst plan en " univalent funksjon " hvis den er injeksjonsdyktig .

Eksempler

Enhver Möbius-transformasjon av en enhetsskive som er åpen i seg selv, hvor er univalent. $\ phi _ {a}$ ${\ displaystyle \ phi _ {a} (z) = {\ frac {za} {1 - {\ bar {a}} z}},}$ ${\ displaystyle | a | \ leq 1,}$

Eiendommer

Vi kan vise at hvis og er to sammenhengende åpne sett i det komplekse planet, og $G$ $\ Omega$

{\ displaystyle f: G \ to \ Omega}

er en ensidig funksjon slik at (dvs. er en overskjæring , derav en vedeksjon ), så er derivatet av aldri forsvinner, og den gjensidige sammenbinding av , bemerket , også er holomorf. Videre, i henhold til den avledede teoremet om sammensatte funksjoner , ${\ displaystyle f (G) = \ Omega}$ $f$ $f$ $f$ $f ^ {- 1}$

{\ displaystyle (f ^ {- 1}) '(f (z)) = {\ frac {1} {f' (z)}}}

for alle i $z$ $G$

Sammenligning med virkelige funksjoner

For ekte analytiske funksjoner er disse egenskapene ikke lenger gyldige. For eksempel hvis vi vurderer funksjonen

{\ displaystyle f: (- 1,1) \ til (-1,1) \,}

gitt av ƒ ( x ) = x 3 , er denne funksjonen trivielt injiserende. Imidlertid er dets derivat lik 0 ved x = 0, og dets inverse er verken analytisk, eller til og med differensierbar, over hele intervallet (-1, 1).

Bibliografi

John B. Conway, Funksjoner av en kompleks variabel I , Springer-Verlag, New York, 1978 ( ISBN 0-387-90328-3 )
John B. Conway, Functions of One Complex Variable II , Springer-Verlag, New York, 1996 ( ISBN 0-387-94460-5 ) .

Referanser

( fr ) Denne artikkelen er delvis eller helt hentet fra Wikipedia-artikkelen på engelsk med tittelen " Univalent function " ( se listen over forfattere ) .