Machins formel
Den formelen Machin ble oppdaget i 1706 av John Machin , og forbinder nummer π den trigonometriske arcus tangens :
π4=4arctan15-arctan1239.{\ displaystyle {\ frac {\ pi} {4}} = 4 \ arctan {\ frac {1} {5}} - \ arctan {\ frac {1} {239}}.}
Denne formelen gir en tilnærming til tallet π takket være utviklingen i kraft-serien av arktangensfunksjonen. John Machin brukte den for å få de første hundre desimalene av π .
Demonstrasjoner
Machins formel kan demonstreres ved hjelp av den trigonometriske identiteten
solbrun(på+b)=solbrunpå+solbrunb1-solbrunpåsolbrunb.{\ displaystyle \ tan (a + b) = {{\ tan a + \ tan b} \ over {1- \ tan a \ tan b}}.}
En moderne måte å presentere resultatet på er å relatere det til egenskapene til komplekse tall . Machins formel følger deretter av følgende identitet mellom komplekse tall:
(5+Jeg)4(239+Jeg)=2×(1+Jeg).{\ displaystyle {(5 + {\ rm {i}}) ^ {4} \ over (239 + {\ rm {i}})} = 2 \ ganger (1 + {\ rm {i}}).}
Vi kan faktisk vise følgende ekvivalens:
marctan1x+arctan1y≡π4(modπ)⇔(x+Jeg)m(y+Jeg)e-Jegπ4∈R.{\ displaystyle m \ arctan {\ frac {1} {x}} + \ arctan {\ frac {1} {y}} \ equiv {\ frac {\ pi} {4}} {\ pmod {\ pi}} \ Leftrightarrow (x + {\ rm {i}}) ^ {m} (y + {\ rm {i}}) {\ rm {e}} ^ {- {\ rm {i}} {\ frac {\ pi} {4}}} \ in \ mathbb {R}.}
Dette gjør at vi kan avslutte med å merke oss at vi fortsatt kan erstatte med og ved å sjekke at det er strengt mellom og .
y+Jeg{\ displaystyle y + {\ rm {i}}}1-y+Jeg{\ displaystyle {\ frac {1} {- y + {\ rm {i}}}}}4arctan15-arctan1239{\ displaystyle 4 \ arctan {\ frac {1} {5}} - \ arctan {\ frac {1} {239}}}π4-π{\ displaystyle {\ frac {\ pi} {4}} - \ pi}π4+π{\ displaystyle {\ frac {\ pi} {4}} + \ pi}
bruk
Utviklingen av arctan i heltallserier gir følgende beregningsmetode:
π4=4∑ikke=0∞(-1)ikke12ikke+1(15)2ikke+1-∑ikke=0∞(-1)ikke12ikke+1(1239)2ikke+1.{\ displaystyle {\ frac {\ pi} {4}} = 4 \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} (- 1) ^ {n} {1 \ over {2n + 1}} \ left ( {\ frac {1} {5}} \ right) ^ {2n + 1} - \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} (- 1) ^ {n} {1 \ over {2n + 1} } \ left ({\ frac {1} {239}} \ right) ^ {2n + 1}.}
Machins typeformler
Andre formler av samme type er oppdaget, og vi kaller "Machins typeformler" for formlene:
π4=∑ikkeIKKEpåikkearctan1bikke{\ displaystyle {\ frac {\ pi} {4}} = \ sum _ {n} ^ {N} a_ {n} \ arctan {\ frac {1} {b_ {n}}}}
hvor og og er heltall .
påikke{\ displaystyle a_ {n}}bikke{\ displaystyle b_ {n}}
Det er bare tre andre formler av typen Machin med bare to termer. De ble oppdaget henholdsvis av Euler , Hermann og Hutton (1776, brukt av Vega i 1789):
π4=arctan12+arctan13,{\ displaystyle {\ frac {\ pi} {4}} = \ arctan {\ frac {1} {2}} + \ arctan {\ frac {1} {3}},}
π4=2arctan12-arctan17,{\ displaystyle {\ frac {\ pi} {4}} = 2 \ arctan {\ frac {1} {2}} - \ arctan {\ frac {1} {7}},}
π4=2arctan13+arctan17.{\ displaystyle {\ frac {\ pi} {4}} = 2 \ arctan {\ frac {1} {3}} + \ arctan {\ frac {1} {7}}.}
De kommer henholdsvis fra følgende identiteter mellom komplekse tall:
(2+Jeg)(3+Jeg)=5(1+Jeg),{\ displaystyle {(2 + {\ rm {i}}) (3 + {\ rm {i}})} = 5 (1 + {\ rm {i}}),}
(2+Jeg)2(7+Jeg)=1+Jeg2,{\ displaystyle {(2 + {\ rm {i}}) ^ {2} \ over (7 + {\ rm {i}})} = {\ frac {1 + {\ rm {i}}} {2 }},}
(3+Jeg)2(7+Jeg)=50(1+Jeg).{\ displaystyle {(3 + {\ rm {i}}) ^ {2} (7 + {\ rm {i}})} = 50 (1 + {\ rm {i}}).}
Det er faktisk mulig å konstruere et uendelig antall slike formler ved å bruke flere termer, men bare de historisk mest effektive formlene for å beregne antallet har blitt kjent.
π{\ displaystyle \ pi}π4=12arctan118+8arctan157-5arctan1239{\ displaystyle {\ frac {\ pi} {4}} = 12 \ arctan {\ frac {1} {18}} + 8 \ arctan {\ frac {1} {57}} - 5 \ arctan {\ frac { 1} {239}}} ( Carl Friedrich Gauss )
π4=44arctan157+7arctan1239-12arctan1682+24arctan112943{\ displaystyle {\ frac {\ pi} {4}} = 44 \ arctan {\ frac {1} {57}} + 7 \ arctan {\ frac {1} {239}} - 12 \ arctan {\ frac { 1} {682}} + 24 \ arctan {\ frac {1} {12943}}} ( Carl Størmer , 1896)
π4=12arctan149+32arctan157-5arctan1239+12arctan1110443{\ displaystyle {\ frac {\ pi} {4}} = 12 \ arctan {\ frac {1} {49}} + 32 \ arctan {\ frac {1} {57}} - 5 \ arctan {\ frac { 1} {239}} + 12 \ arctan {\ frac {1} {110443}}} ( Kikuo Takano , 1982).
Søket etter effektive Machin-formler gjøres nå systematisk ved hjelp av datamaskiner. De mest effektive formlene av typen Machin som for øyeblikket er kjent for å beregne π er:
π4=183arctan1239+32arctan11023-68arctan15832+12arctan1110443-12arctan14841182-100arctan16826318{\ displaystyle {\ frac {\ pi} {4}} = 183 \ arctan {\ frac {1} {239}} + 32 \ arctan {\ frac {1} {1023}} - 68 \ arctan {\ frac { 1} {5832}} + 12 \ arctan {\ frac {1} {110443}} - 12 \ arctan {\ frac {1} {4841182}} - 100 \ arctan {\ frac {1} {6826318}}}
黃 見 利 (Hwang Chien-Lih, 1997)
π4=183arctan1239+32arctan11023-68arctan15832+12arctan1113021-100arctan16826318-12arctan133366019650+12arctan143599522992503626068{\ displaystyle {\ frac {\ pi} {4}} = 183 \ arctan {\ frac {1} {239}} + 32 \ arctan {\ frac {1} {1023}} - 68 \ arctan {\ frac { 1} {5832}} + 12 \ arctan {\ frac {1} {113021}} - 100 \ arctan {\ frac {1} {6826318}} - 12 \ arctan {\ frac {1} {33366019650}} + 12 \ arctan {\ frac {1} {43599522992503626068}}}
黃 見 利 (Hwang Chien-Lih, 2003)
Det er andre formler som konvergerer raskere til π , som Ramanujans formel , men de er ikke Machins type.
Merknader og referanser
(fr) Denne artikkelen er delvis eller helt hentet fra Wikipedia-artikkelen på
engelsk med tittelen
" Machin-like formula " ( se listen over forfattere ) .
-
Se for eksempel denne korrigerte øvelsen på Wikiversity .
-
(en) Carl Størmer , " Komplett løsning i heltal av ligningenmarctan1x+ikkearctan1y=kπ4{\ displaystyle m \ arctan {\ frac {1} {x}} + n \ arctan {\ frac {1} {y}} = k {\ frac {\ pi} {4}}} " , Bull. Soc. Matte. Frankrike , vol. 27,1899, s. 160-170 ( les online ).
-
(i) Eric W. Weisstein , " Machin-Like Formulas " på MathWorld .
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">