Tangentbue
Buetangensfunksjon
Grafisk fremstilling av buetangensfunksjonen.
Vurdering |
arctan(x){\ displaystyle \ arctan (x)}
|
---|
Gjensidig |
solbrun(x){\ displaystyle \ tan (x)} sikker ]-π2,π2[{\ displaystyle \ left] - {\ frac {\ pi} {2}}, {\ frac {\ pi} {2}} \ right [}
|
---|
Derivat |
11+x2{\ displaystyle {\ frac {1} {1 + x ^ {2}}}}
|
---|
Primitiver |
xarctanx-12ln(1+x2)+VS{\ displaystyle x \, \ arctan x - {\ frac {1} {2}} \ ln \ left (1 + x ^ {2} \ right) + C}
|
---|
Hovedtrekk
Definisjonssett |
R{\ displaystyle \ mathbb {R}}
|
---|
Bildesett |
]-π2,π2[{\ displaystyle \ left] - {\ frac {\ pi} {2}}, {\ frac {\ pi} {2}} \ right [}
|
---|
Paritet |
merkelig |
---|
Spesielle egenskaper
Asymptoter |
y=π2{\ displaystyle y = {\ frac {\ pi} {2}}} inn i+∞{\ displaystyle + \ infty}![+ \ infty](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bddbb0e4420a7e744cf71bd71216e11b0bf88831) y=-π2{\ displaystyle y = - {\ frac {\ pi} {2}}} -∞{\ displaystyle - \ infty}
|
---|
I matematikk , den arcus tangens av et reelt tall er den verdi av en orientert vinkel hvis tangens er lik det nummer.
Den funksjon som assosierer verdien av arcus tangens i radianer med et reelt tall er den resiproke verdi av den begrensning av den trigonometriske funksjon tangent til intervallet . Notasjonen er arctan eller Arctan (vi finner også Atan, arctg i fransk notasjon; atan eller tan −1 , i angelsaksisk notasjon, sistnevnte kan forveksles med notasjonen omvendt ( 1 / tan )).
]-π2,π2[{\ displaystyle \ left] - {\ frac {\ pi} {2}}, {\ frac {\ pi} {2}} \ right [}![\ left] - {\ frac {\ pi} 2}, {\ frac {\ pi} 2} \ right [](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c6b123273d134ae0a355186bca3947bf36996ceb)
For alle ekte x :
y=arctanx⟺solbruny=x og y∈]-π2,π2[{\ displaystyle y = \ arctan x \ iff \ tan y = x {\ text {and}} y \ in \ left] - {\ frac {\ pi} {2}}, {\ frac {\ pi} {2 }} \ Ikke sant [}![{\ displaystyle y = \ arctan x \ iff \ tan y = x {\ text {and}} y \ in \ left] - {\ frac {\ pi} {2}}, {\ frac {\ pi} {2 }} \ Ikke sant [}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3fe2d468732b93c4547b319f7589efb96db43319)
.
I et kartesisk koordinatsystem ortonormalt til planet, blir kurven som er representativ for buetangensfunksjonen, oppnådd fra kurven som er representativ for begrensningen av funksjonen som tangerer intervallet ved en refleksjon av aksen, ligningslinjen y = x .
]-π2,π2[{\ displaystyle \ left] - {\ frac {\ pi} {2}}, {\ frac {\ pi} {2}} \ right [}![\ left] - {\ frac {\ pi} 2}, {\ frac {\ pi} 2} \ right [](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c6b123273d134ae0a355186bca3947bf36996ceb)
Paritet
Arctan-funksjonen er merkelig , dvs. (for alle reelle x )
arctan(-x)=-arctanx{\ displaystyle \ arctan (-x) = - \ arctan x}
.
Derivat
Som avledet av en gjensidig funksjon er arctan differensierbar og tilfredsstiller:
arctan′(x)=11+x2{\ displaystyle \ arctan '(x) = {\ frac {1} {1 + x ^ {2}}}}
.
Taylor seriell utvikling
Den Taylor-rekkeutvikling av arcus tangens funksjon er:
∀x∈[-1,1]arctanx=∑k=0∞(-1)kx2k+12k+1=x-13x3+15x5-17x7+⋯{\ displaystyle \ forall x \ i [-1,1] \ quad \ arctan x = \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} (- 1) ^ {k} {\ frac {x ^ {2k + 1}} {2k + 1}} = x - {\ frac {1} {3}} x ^ {3} + {\ frac {1} {5}} x ^ {5} - {\ frac {1} {7}} x ^ {7} + \ cdots}![{\ displaystyle \ forall x \ i [-1,1] \ quad \ arctan x = \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} (- 1) ^ {k} {\ frac {x ^ {2k + 1}} {2k + 1}} = x - {\ frac {1} {3}} x ^ {3} + {\ frac {1} {5}} x ^ {5} - {\ frac {1} {7}} x ^ {7} + \ cdots}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4e513657e8246da781f90fad74b92cc42c8c2aaa)
.
Denne hel serie konvergerer til arctan når | x | ≤ 1 og x ≠ ± i . Tangentbuefunksjonen er imidlertid definert på alle ℝ (og til og med - jf. § "Gjensidig funksjon" - på et domene av det komplekse planet som inneholder samtidig ℝ og den lukkede enhetsskiven fratatt de to punktene ± i ).
Se også Hypergeometrisk funksjon # Spesielle tilfeller .
Demonstrasjon
Hele serien
∑k=0∞(-1)kx2k+12k+1{\ displaystyle \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} (- 1) ^ {k} {\ frac {x ^ {2k + 1}} {2k + 1}}}
er null i 0, dens konvergensradius er verdt 1, og dens derivat (på den åpne enhetsplaten ) er lik den geometriske serien
∑k=0∞(-x2)k=11+x2=arctan′(x){\ displaystyle \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} (- x ^ {2}) ^ {k} = {\ frac {1} {1 + x ^ {2}}} = \ arctan '( x)}![{\ displaystyle \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} (- x ^ {2}) ^ {k} = {\ frac {1} {1 + x ^ {2}}} = \ arctan '( x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c02f9770666469788b5cb1afd382439bbe586c86)
.
Det sammenfaller derfor på denne platen med arctan- funksjonen . Videre, ifølge beviset på Dirichlet-testen (ved delvis oppsummering ), konvergerer hele denne serien jevnt på den lukkede enhetsdisken fratatt et vilkårlig lite nabolag på ± i . I ± i divergerer den som den harmoniske serien .
Arctan- funksjonen kan brukes til å beregne tilnærminger av π ; den enkleste formelen , kalt Leibnizs formel , er tilfelle x = 1 i ovennevnte serieutvidelse:
π4=1-13+15-17+...{\ displaystyle {\ frac {\ pi} {4}} = 1 - {\ frac {1} {3}} + {\ frac {1} {5}} - {\ frac {1} {7}} + \ ldots}![{\ displaystyle {\ frac {\ pi} {4}} = 1 - {\ frac {1} {3}} + {\ frac {1} {5}} - {\ frac {1} {7}} + \ ldots}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ea316674c26bb92943879c1e3a6072327187198d)
.
Funksjonell ligning
Vi kan utlede arctan (1 / x ) fra arctan x og omvendt, ved hjelp av følgende funksjonelle ligninger :
∀x∈R+∗arctan1x+arctanx=π2{\ displaystyle \ forall x \ in \ mathbb {R} _ {+} ^ {*} \ quad \ arctan {\ frac {1} {x}} + \ arctan x = {\ frac {\ pi} {2} }}![{\ displaystyle \ forall x \ in \ mathbb {R} _ {+} ^ {*} \ quad \ arctan {\ frac {1} {x}} + \ arctan x = {\ frac {\ pi} {2} }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/89196b1e23373931592cdeb7e4c40fd59c91cb4e)
;
∀x∈R-∗arctan1x+arctanx=-π2{\ displaystyle \ forall x \ in \ mathbb {R} _ {-} ^ {*} \ quad \ arctan {\ frac {1} {x}} + \ arctan x = - {\ frac {\ pi} {2 }}}![{\ displaystyle \ forall x \ in \ mathbb {R} _ {-} ^ {*} \ quad \ arctan {\ frac {1} {x}} + \ arctan x = - {\ frac {\ pi} {2 }}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8198f8f2de3530509b71258df83e4641c132c2c5)
.
Demonstrasjoner
La oss bevise den første ligningen (den andre blir utledet av den ved imparitet , eller er bevist på samme måte).
- En første metode er å kontrollere at derivatet er null.
Vi har faktisk:
arctan′x=11+x2{\ displaystyle \ arctan 'x = {\ frac {1} {1 + x ^ {2}}}}![{\ displaystyle \ arctan 'x = {\ frac {1} {1 + x ^ {2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f93aa8e953264d99b994f8aedfb63e5fc2ac7885)
og
(arctan1x)′=-1x2 11+1x2=-11+x2{\ displaystyle \ left (\ arctan {\ frac {1} {x}} \ right) '= {\ frac {-1} {x ^ {2}}} ~ {\ frac {1} {1 + {\ frac {1} {x ^ {2}}}}} = {\ frac {-1} {1 + x ^ {2}}}}![{\ displaystyle \ left (\ arctan {\ frac {1} {x}} \ right) '= {\ frac {-1} {x ^ {2}}} ~ {\ frac {1} {1 + {\ frac {1} {x ^ {2}}}}} = {\ frac {-1} {1 + x ^ {2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e345d0d8e03c734c62ba4857880e2d4c7a74443d)
derfor
(arctan1x+arctanx)′=0{\ displaystyle \ left (\ arctan {\ frac {1} {x}} + \ arctan x \ right) '= 0}![{\ displaystyle \ left (\ arctan {\ frac {1} {x}} + \ arctan x \ right) '= 0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a52a80983ae4119489adbf8ea0168e44a5dbf286)
.
Vi utleder at arctan (1 / x ) + arctan x er konstant på ] 0, + ∞ [ , og vi finner enkelt verdien av denne konstanten ved å beregne for eksempel verdien tatt til x = 1 .
- En andre metode er å legge merke til at for alle x > 0 , hvis θ betegner arktangenten til x da
1x=1solbrunθ=solbrun(π2-θ)og0<π2-θ<π2,fra hvor{\ displaystyle {\ frac {1} {x}} = {\ frac {1} {\ tan \ theta}} = \ tan \ left ({\ frac {\ pi} {2}} - \ theta \ right) \ qquad {\ text {et}} \ qquad 0 <{\ frac {\ pi} {2}} - \ theta <{\ frac {\ pi} {2}}, \ quad {\ text {derav}}}
arctan1x=π2-θ=π2-arctanx{\ displaystyle \ arctan {\ frac {1} {x}} = {\ frac {\ pi} {2}} - \ theta = {\ frac {\ pi} {2}} - \ arctan x}![{\ displaystyle \ arctan {\ frac {1} {x}} = {\ frac {\ pi} {2}} - \ theta = {\ frac {\ pi} {2}} - \ arctan x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7285f72cf924186e3761154bab36738571cfbda7)
.
- En tredje metode er å trekke ut denne formelen fra den bemerkelsesverdige formelen nedenfor ved å få y til å gå mot 1 / x med lavere verdier.
Gjensidig funksjon
Per definisjon er buetangensfunksjonen den omvendte funksjonen til begrensningen av tangentfunksjonen til intervallet :
]-π2,π2[{\ displaystyle \ left] - {\ frac {\ pi} {2}}, {\ frac {\ pi} {2}} \ right [}
∀x∈Ry=arctanx⟺solbruny=x og y∈]-π2,π2[{\ displaystyle \ forall x \ in \ mathbb {R} \ quad y = \ arctan x \ iff \ tan y = x {\ text {and}} y \ in \ left] - {\ frac {\ pi} {2 }}, {\ frac {\ pi} {2}} \ høyre [}
.
Dermed, for alle ekte x , tan (arctan x ) = x . Men ligningen arctan (tan y ) = y sjekkes bare for det mellom og .
-π2{\ displaystyle - {\ frac {\ pi} {2}}}
π2{\ displaystyle {\ frac {\ pi} {2}}}![{\ frac \ pi 2}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/98f98bef5d4981ff6e2aa827d4699e347fb30db2)
I det komplekse planet er tangensfunksjonen bindende av ] –π / 2, π / 2 [+ i ℝ i ℂ fratatt de to halvlinjene ] –∞, –1] i og [1, + ∞ [i av Jeg er ren imaginær akse , i henhold til dens kobling med den hyperbolske tangensfunksjonen og egenskapene til sistnevnte. Definisjonen ovenfor av arctan strekker seg derfor til:
∀x∈VS∖(Jeg(]-∞,-1]∪[1,+∞[))y=arctanx⟺solbruny=x og y∈]-π2,π2[+Jeg R{\ displaystyle \ forall x \ in \ mathbb {C} \ setminus {\ big (} {\ rm {i}} \ left (] - \ infty, -1] \ cup [1, + \ infty [\ right) {\ big)} \ quad y = \ arctan x \ iff \ tan y = x {\ text {et}} y \ in \ left] - {\ frac {\ pi} {2}}, {\ frac {\ pi} {2}} \ right [+ {\ rm {i}} ~ \ mathbb {R}}
.
Kompleks logaritme
Ved konstruksjon er den arktangente funksjonen relatert til den hyperbolske tangensargumentfunksjonen og blir derfor uttrykt, som den, av en kompleks logaritme :
∀x∈VS∖(Jeg(]-∞,-1]∪[1,+∞[))arctanx=1Jegartanh(Jegx)=12Jegln1+Jegx1-Jegx=ln(1+Jegx)-ln(1-Jegx)2Jeg{\ displaystyle \ forall x \ in \ mathbb {C} \ setminus \ left ({\ rm {i}} \ left (] - \ infty, -1] \ cup [1, + \ infty [\ right) \ right ) \ quad \ arctan x = {\ frac {1} {\ rm {i}}} \ operatorname {artanh} ({\ rm {i}} x) = {\ frac {1} {2 {\ rm {i }}}} \ ln {\ frac {1 + {\ rm {i}} x} {1 - {\ rm {i}} x}} = {\ frac {\ ln (1 + {\ rm {i} } x) - \ ln (1 - {\ rm {i}} x)} {2 {\ rm {i}}}}}![{\ displaystyle \ forall x \ in \ mathbb {C} \ setminus \ left ({\ rm {i}} \ left (] - \ infty, -1] \ cup [1, + \ infty [\ right) \ right ) \ quad \ arctan x = {\ frac {1} {\ rm {i}}} \ operatorname {artanh} ({\ rm {i}} x) = {\ frac {1} {2 {\ rm {i }}}} \ ln {\ frac {1 + {\ rm {i}} x} {1 - {\ rm {i}} x}} = {\ frac {\ ln (1 + {\ rm {i} } x) - \ ln (1 - {\ rm {i}} x)} {2 {\ rm {i}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/57f9138f156f31af0d298ea5593414f0d89db2e5)
.
Integrering
Primitiv
Det antiderivative av buetangensfunksjonen som forsvinner ved 0, oppnås takket være integrering av deler :
∫0xarctantdt=xarctanx-12ln(1+x2){\ displaystyle \ int _ {0} ^ {x} \ arctan t \; \ mathrm {d} t = x \, \ arctan x - {\ frac {1} {2}} \ ln \ left (1 + x ^ {2} \ høyre)}![{\ displaystyle \ int _ {0} ^ {x} \ arctan t \; \ mathrm {d} t = x \, \ arctan x - {\ frac {1} {2}} \ ln \ left (1 + x ^ {2} \ høyre)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a81c6894fe105e1ff5d350cf16eac82331242b62)
.
Bruke buetangensfunksjonen
Buetangensfunksjonen spiller en viktig rolle i integreringen av uttrykk for formen
1påx2+bx+vs.{\ displaystyle {\ frac {1} {ax ^ {2} + bx + c}}}![{\ frac {1} {ax ^ {2} + bx + c}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c335584267f3e42ef66486a315eccefe70060f4e)
Hvis diskriminanten D = b 2 - 4 ac er positiv eller null, er integrering mulig ved å gå tilbake til en delvis brøk . Hvis diskriminanten er strengt negativ, kan vi erstatte
u=2påx+b|D|{\ displaystyle u = {\ frac {2ax + b} {\ sqrt {| D |}}}}![u = {\ frac {2ax + b} {\ sqrt {| D |}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3c8f14be515f5f0624ac4ef58a7c8d18f5b0ce98)
som gir for uttrykket å integrere
4på|D| 11+u2.{\ displaystyle {\ frac {4a} {| D |}} ~ {\ frac {1} {1 + u ^ {2}}}.}![{\ frac {4a} {| D |}} ~ {\ frac {1} {1 + u ^ {2}}}.](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/53a59735e1d994637f9c5ed04f49b428f220bb57)
Integralet er da
2|D|arctan2påx+b|D|{\ displaystyle {\ frac {2} {\ sqrt {| D |}}} \ arctan {\ frac {2ax + b} {\ sqrt {| D |}}}}![{\ displaystyle {\ frac {2} {\ sqrt {| D |}}} \ arctan {\ frac {2ax + b} {\ sqrt {| D |}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f72d48441593e319f9fd708f9d468d542227cc78)
.
Bemerkelsesverdig formel
Hvis xy ≠ 1 , så:
arctanx+arctany=arctanx+y1-xy+kπ{\ displaystyle \ arctan x + \ arctan y = \ arctan {\ frac {x + y} {1-xy}} + k \ pi}![{\ displaystyle \ arctan x + \ arctan y = \ arctan {\ frac {x + y} {1-xy}} + k \ pi}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/525063aa66de47cf8f4165d3fd34e7dfadbe5eea)
eller
k={0hvis xy<1,1hvis xy>1 med x (og y) >0,-1hvis xy>1 med x (og y) <0.{\ displaystyle k = {\ begin {cases} 0 & {\ text {si}} xy <1, \\ 1 & {\ text {si}} xy> 1 {\ text {with}} x {\ text { (og}} y {\ text {)}}> 0, \\ - 1 & {\ text {si}} xy> 1 {\ text {med}} x {\ text {(og}} y {\ text {)}} <0. \ End {cases}}}![{\ displaystyle k = {\ begin {cases} 0 & {\ text {si}} xy <1, \\ 1 & {\ text {si}} xy> 1 {\ text {with}} x {\ text { (og}} y {\ text {)}}> 0, \\ - 1 & {\ text {si}} xy> 1 {\ text {med}} x {\ text {(og}} y {\ text {)}} <0. \ End {cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cc611bedc1648b4388a13f37f73d68706360f6c8)
Merknader og referanser
(de) Denne artikkelen er delvis eller helt hentet fra Wikipedia-artikkelen på
tysk med tittelen
“ Arkustangens und Arkuskotangens ” ( se forfatterliste ) .
-
Uttrekk fra ISO 31-11- standarden for bruk av CPGE , s. 6 .
-
Offisielt nasjonalt utdanningsprogram ( MPSI , 2013), s. 6 .
-
For en demonstrasjon, se for eksempel kapittelet "Arctan-funksjon" på Wikiversity .
-
Kjent engelsk som "Serial Gregory " hun hadde faktisk allerede blitt oppdaget av indiske matematikeren Madhava den XIV th århundre . Se artikkelserie Madhava (in) for mer informasjon.
Se også
Relaterte artikler
Ekstern lenke
(no) Eric W. Weisstein , " Inverse Tangent " , på MathWorld
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">