Generell kontinuerlig brøkdel

I matematikk er en generalisert fortsatt brøk et uttrykk for formen:

b_ {0} + {\ cfrac {a_ {1}} {b_ {1} + {\ cfrac {a_ {2}} {b_ {2} + {\ cfrac {a_ {3}} {b_ {3} + \ prikker}}}}}}

bestående av et endelig eller uendelig antall etasjer. Det er derfor en generalisering av enkle fortsatte brøker siden i sistnevnte er alle $a i$ lik 1.

Notasjoner

En generalisert fortsatt brøkdel er en generalisering av fortsatte brøker der delvis teller og nevner kan være hvilke som helst komplekser :

x = b_ {0} + {\ cfrac {a_ {1}} {b_ {1} + {\ cfrac {a_ {2}} {b_ {2} + {\ cfrac {a_ {3}} {b_ {3 } + {\ cfrac {a_ {4}} {\ ddots \,}}}}}}}

der a n ( n > 0) er deltallene og b n er delnevnere.

Mer kompakte notasjoner brukes:

x = b_ {0} + {\ frac {a_ {1}} {b_ {1} +}} ~ {\ frac {a_ {2}} {b_ {2} +}} ~ {\ frac {a_ {3 }} {b_ {3} +}} \ cdots

Carl Friedrich Gauss brukte en notasjon som minner om notasjonen Σ av serien eller Π av det uendelige produktet :

x = b_ {0} + {\ undersett {i = 1} {{\ oversett {\ infty} {{\ mathbf K}}}}} {\ frac {a_ {i}} {b_ {i}}}

der bokstaven $K$ er initialen til Kettenbruch , som betyr "fortsatt brøkdel" på tysk.

I det følgende adopterer vi forfatterskapet til Alfred Pringsheim :

x = b_ {0} + {\ frac {a_ {1} \ mid} {\ mid b_ {1}}} + {\ frac {a_ {2} \ mid} {\ mid b_ {2}}} + { \ frac {a_ {3} \ mid} {\ mid b_ {3}}} + \ cdots.

Möbius transformasjoner

Følgende observasjon vil gjøre beregningen av reduksjonene naturlig. Funksjonene $ρ n$ definert av

\ rho _ {0} (z) = b_ {0} + z \ quad {{\ rm {and}}} \ quad \ forall n \ in \ mathbb {N} ^ {*} \ quad \ rho _ {n } (z) = b_ {0} + {\ frac {a_ {1} \ mid} {\ mid b_ {1}}} + {\ frac {a_ {2} \ mid} {\ mid b_ {2}} } + \ ldots + {\ frac {a_ {n} \ mid} {\ mid b_ {n} + z}}

er sammensatt av homografiske funksjoner :

\ forall n \ i \ mathbb {N} ^ {*} \ quad \ rho _ {n} = \ rho _ {{n-1}} \ circ \ tau _ {n} \ quad {{\ rm {with} }} \ quad \ tau _ {n} (z) = {\ frac {a_ {n}} {b_ {n} + z}}.

De tilknyttede matrisene bekrefter deretter

R_ {0} = {\ begin {pmatrix} 1 & b_ {0} \\ 0 & 1 \ slutt {pmatrix}} \ quad {{\ rm {et}}} \ quad \ forall n \ i \ mathbb {N } ^ {*} \ quad R_ {n} = R _ {{n-1}} T_ {n} \ quad {{\ rm {with}}} \ quad T_ {n} = {\ begin {pmatrix} 0 & a_ {n} \\ 1 & b_ {n} \ end {pmatrix}},

så det

\ forall n \ in \ mathbb {N} \ quad R_ {n} = {\ begin {pmatrix} h _ {{n-1}} & h_ {n} \\ k _ {{n-1}} & k_ {n} \ end {pmatrix}} \ quad {{\ rm {et}}} \ quad \ rho _ {n} (z) = {\ frac {h _ {{n-1}} z + h_ {n }} {k_ {{n-1}} z + k_ {n}}},

hvor $h n$ og $k n$ er definert av

{\ begin {align} h _ {{- 1}} & = 1, & h_ {0} & = b_ {0}, & h_ {n} & = b_ {n} h _ {{n-1}} + a_ {n} h _ {{n-2}} \ quad {{\ rm {and}}} \\ k _ {{- 1}} & = 0, & k_ {0} & = 1, & k_ {n} & = b_ {n} k _ {{n-1}} + a_ {n} k _ {{n-2}}. \ end {justert}}

Redusert

Fra de foregående formlene følger de på tellerne og nevnerne for reduksjonene, og generaliserer de av reduksjonene i en enkel kontinuerlig brøk :

{\ begin {align} \ forall n \ i \ mathbb {N} & \ quad & b_ {0} + {\ frac {a_ {1} \ mid} {\ mid b_ {1}}} + {\ frac { a_ {2} \ mid} {\ mid b_ {2}}} + \ ldots + {\ frac {a_ {n} \ mid} {\ mid b_ {n}}} = {\ frac {h_ {n}} {k_ {n}}} & \ quad & (1) \\\ forall n \ in \ mathbb {N} ^ {*} && {\ frac {b_ {n}} {a_ {n}}} = - { \ frac {h_ {n} k _ {{n-2}} - h _ {{n-2}} k_ {n}} {h_ {n} k _ {{n-1}} - h _ {{ n-1}} k_ {n}}} && (2) \\\ forall n \ i \ mathbb {N} && h _ {{n-1}} k_ {n} -h_ {n} k _ {{ n-1}} = \ Pi _ {{i = 1}} ^ {n} (- a_ {i}) && (3) \ end {aligned}}

Demonstrasjon

(1) er evalueringen av $ρ n$ ved 0.
(2) resultater fra $h n / k n = ρ n (0) = ρ n -1 ( τ n (0)) = ρ n -1 ( a n / b n )$ , ved å invertere ρ n –1 .
(3) blir trukket fra matriseformlene ved å beregne determinanter .

Konverteringer

Hvis ( c n ) n > 0 er en sekvens av ikke-null-komplekser, da ${\ frac {a_ {1} \ mid} {\ mid b_ {1}}} + {\ frac {a_ {2} \ mid} {\ mid b_ {2}}} + {\ frac {a_ {3} \ mid} {\ mid b_ {3}}} + {\ frac {a_ {4} \ mid} {\ mid b_ {a}}} + \ cdots = {\ frac {c_ {1} a_ {1} \ midt} {\ mid c_ {1} b_ {1}}} + {\ frac {c_ {1} c_ {2} a_ {2} \ mid} {\ mid c_ {2} b_ {2}}} + { \ frac {c_ {2} c_ {3} a_ {3} \ mid} {\ mid c_ {3} b_ {3}}} + {\ frac {c_ {3} c_ {4} a_ {4} \ mid } {\ mid c_ {4} b_ {4}}} + \ cdots,$ det vil si at disse to fortsatte brøkene har samme reduserte.

Spesielt :

hvis alle en jeg er ikke-null da, ved å velge c 1 = 1 / en 1 og c n 1 = 1 / ( en n en c n ), kommer vi tilbake til en vanlig kontinuerlig fraksjon : ${\ frac {a_ {1} \ mid} {\ mid b_ {1}}} + {\ frac {a_ {2} \ mid} {\ mid b_ {2}}} + {\ frac {a_ {3} \ mid} {\ mid b_ {3}}} + \ cdots = {\ frac {1 \ mid} {\ mid c_ {1} b_ {1}}} + {\ frac {1 \ mid} {\ mid c_ {2} b_ {2}}} + {\ frac {1 \ mid} {\ mid c_ {3} b_ {3}}} + \ cdots ~;$
hvis alle de b i er ikke-null, kan vi likeledes konstruere en sekvens ( d n ) n > 0 slik at ${\ frac {a_ {1} \ mid} {\ mid b_ {1}}} + {\ frac {a_ {2} \ mid} {\ mid b_ {2}}} + {\ frac {a_ {3} \ mid} {\ mid b_ {3}}} + \ cdots = {\ frac {d_ {1} a_ {1} \ mid} {\ mid 1}} + {\ frac {d_ {2} a_ {2} \ mid} {\ mid 1}} + {\ frac {d_ {3} a_ {3} \ mid} {\ mid 1}} + \ cdots,$ ved å sette d 1 = 1 / b 1 og for n > 1, d n +1 = 1 / ( b n +1 b n ).

Disse to konverteringene er ekstremt nyttige i analysen av konvergensproblemet .

En annen, også oppdaget av Euler , gjør det mulig å komprimere en enkel kontinuerlig fraksjon med en "kvasi-periode" med jevn lengde 2 r til en generalisert "nesten" enkel kontinuerlig brøkdel - eller omvendt, for å utvide visse generaliserte brøker til enkle brøker - ved å bruke r ganger følgende formel:

${\ frac {1 \ mid} {\ mid b_ {1}}} + {\ frac {1 \ mid} {\ mid m}} + {\ frac {1 \ mid} {\ mid n}} + {\ frac {1 \ mid} {\ mid b_ {2}}} + {\ frac {1 \ mid} {\ mid m}} + {\ frac {1 \ mid} {\ mid n}} + {\ frac { 1 \ mid} {\ mid b_ {3}}} + {\ frac {1 \ mid} {\ mid m}} + {\ frac {1 \ mid} {\ mid n}} + \ cdots = {\ frac {mn + 1 \ mid} {\ mid (mn + 1) b_ {1} + n}} + {\ frac {1 \ mid} {\ mid (mn + 1) b_ {2} + m + n}} + {\ frac {1 \ mid} {\ mid (mn + 1) b_ {3} + m + n}} + \ cdots,$ likheten betyr her at for ethvert naturlig tall k , er reduksjonen av indeks k for den generaliserte brøk til høyre lik den for indeks 3 k av den enkle brøk til venstre.

Demonstrasjon

Legg merke til $T_ {x} = {\ begin {pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & x \ end {pmatrix}}, ~ U_ {b} = T_ {b} T_ {m} T_ {n} {\ text {and} } V_ {b} = T _ {{(mn + 1) b + m + n}},$ vi har

U_ {b} P = PV_ {b} {\ text {for}} P = {\ begin {pmatrix} mn + 1 & 0 \\ - m & 1 \ end {pmatrix}}

derfor

U _ {{b_ {1}}} U _ {{b_ {2}}} \ ldots U _ {{b_ {k}}} P = PV _ {{b_ {1}}} V _ {{b_ { 2}}} \ ldots V _ {{b_ {k}}}.

Vi avslutter med å bruke de tilsvarende Möbius-transformasjonene til 0 og merke oss at den som tilsvarer P fikser 0.

(Paritetsbegrensningen på kvasiperioden forklares med: $det ( T x ) = -1$ .)

Kvadratisk ligning

Et illustrerende eksempel på den naturlige ankomsten av en generalisert fortsatt brøkdel er den kvadratiske ligningen . La oss studere den spesifikke saken, tilsvarende den Bombelli, den første kjente i Europa:

x ^ {2} -6x-4 = 0 \ quad {\ text {eller}} \ quad x = 6 + {\ frac 4x}.

Ved å erstatte x med verdien, får vi, som verdien av x :

(1) \; 6 + {\ frac 4x}, \ quad (2) \; 6 + {\ cfrac 4 {6 + {\ cfrac 4x}}}, \ quad (3) \; 6 + {\ cfrac 4 {6 + {\ cfrac 4 {6 + {\ cfrac 4x}}}}} \ quad \ cdots

I Pringsheim-notasjonen har brøkdelen ƒ følgende form:

f = 6 + {\ frac {4 \ mid} {\ mid 6}} + {\ frac {4 \ mid} {\ mid 6}} + {\ frac {4 \ mid} {\ mid 6}} + \ cdots

En manuell beregning viser at den første reduserte er 6, 20/3, 33/5, 218/33, 720/109. Vi beviser at denne sekvensen har en tendens til en av de to røttene : den tilsvarer 3 + √ 13 . På tidspunktet for Bombelli var hovedinteressen for denne fortsatte fraksjonen å tilby en metode for rotutvinning: beregningen av brøkdelen gjør det mulig å nærme seg √ 13 med all ønsket presisjon.

For en løsning av en vilkårlig kvadratisk ligning, skriver Euler den samme utviklingen. Vi kan vise ( jf. Detaljert artikkel) at hvis ligningen har en ikke-null dobbelrot eller to røtter med forskjellige moduler , har denne generaliserte fortsatte brøk en tendens til roten til størst modul, men at hvis ikke, er den fortsatte brøk ikke konvergent.

Kontinuerlige brøker av $π$ og $e$

Den fortsatte brøkdelen av $π$ gir ingen regelmessighet, så beregningen er uløselig. På den annen side innrømmer dette tallet flere utvidelser i generaliserte fortsatte brøker. Den første forekomsten av en slik brøkdel er Brounckers formel :

{\ frac {\ pi} 4} = {\ frac {1 \ mid} {\ mid 1}} + {\ frac {1 ^ {2} \ mid} {\ mid 2}} + {\ frac {3 ^ {2} \ mid} {\ mid 2}} + {\ frac {5 ^ {2} \ mid} {\ mid 2}} + \ ldots.

Et bevis på denne likheten vises i artikkelen “ Eulers kontinuerlige brøkformel ”, ved evaluering i punkt 1 av en generalisert kontinuerlig brøkdel av Arctangent- funksjonen . Dermed gjelder en fortsatt brøk ikke bare tall, men også visse funksjoner. På samme måte utviklet Euler den eksponensielle funksjonen til en generalisert kontinuerlig brøkdel av en passende form: ${{\ rm {e}}} ^ {{1 / s}} = [1, s-1,1,1,3s-1,1,1,5s-1,1,1,7s-1, \ ldots],$ for å oppnå den enkle fortsatte brøkdelen av $e$ :

{{\ rm {e}}} = [2,1,2,1,1,4,1,1,6,1,1,8,1,1,10,1, \ ldots].

Merknader og referanser

Denne artikkelen er delvis eller helt hentet fra artikkelen med tittelen “ Fortsatt brøk ” (se forfatterlisten ) .

Nevneren i en enkel fraksjon fortsettes vanligvis notert $en i$ , motsetning til de av en generalisert forts fraksjon hvor de er oftest bemerkes $b i$ , at $en i$ så betegner tellerne.
(in) Jacques Dutka , " Wallis's product, Brounckers fortsatte brøkdel, og Leibniz's series " , Arch. Hist. Nøyaktig Sci. , vol. 26, n o to1982, s. 115-126.
Disse beregninger, rent algebraisk, forbli gyldig generisk, i feltet av rasjonelle fraksjoner (med rasjonelle koeffisienter) av ubestemmelig $z$ , $f 0$ , $en 1$ , $b 1$ , $en 2$ , etc.
(La) L. Euler, De fractionibus continuis dissertatio , 1744, § 25.
R. Bombelli , L'Algebra , 1572, jfr. (no) John J. O'Connor og Edmund F. Robertson , "Bombelli: Algebra " , i MacTutor History of Mathematics archive , University of St. Andrews ( les online )..
(La) L. Euler, Introductio in analysin infinitorum , 1748, vol. Jeg, kap. 18 .

Se også

Relaterte artikler

Omtrentlig av Padé
Kontinuerlig brøkdel av en kvadratisk irrasjonell
Og når det gjelder konvergens,

Eksterne linker

Évariste Galois , “ Demonstration of a Theorem on Periodic Continuous Fractions ”, Annals of Pure and Applied Mathematics , vol. 19, 1828-1829, s. 294-301 ( les online )Den første artikkelen av Galois, analysert på Bibnum- nettstedet .
(fr) En online kalkulator for kontinuerlig brøk
(de) En grafisk illustrasjon av Euklids itererte algoritme for beregning av en fortsatt brøkdel (med Askepott ).

Bibliografi

Roger Descombes, Elements of number theory , PUF , 1986
Le Petit Archimède , Spesialutgave $π$
Jean-Paul Delahaye , The Fascinating Number $π$ [ detalj av utgaven ]
Marc Guinot, Aritmetikk for amatører. Flygning. 4: Lagrange og Legendre , Aléas, 1996 ( ISBN 978-2-908016-71-0 )
Alain Faisant, Diophantine-ligningen av andre grad , Hermann , 1991
(en) GH Hardy og EM Wright , En introduksjon til teorien om tall ( 1 st ed. 1938) [ Retail Editions ]
Jean Trignan, Introduksjon til tilnærmelsesproblemer: fortsatte brøker, endelige forskjeller , red. du Choix, 1994 ( ISBN 978-2-909028-16-3 )
Bulletin for APMEP nr . 450
Georges Valiron , Funksjonsteori , Masson , Paris, 1966, Oppfatninger om aritmetiske kontinuerlige brøker s. 17-24