Homeomorfisme

I topologi , en homeomorfi er å påføre bijektiv kontinuerlig , en topologisk plass til en annen, det inverse Bijeksjon er kontinuerlig. I dette tilfellet sies de to topologiske rommene å være homomorfe .

Begrepet homeomorfisme er den rette forestillingen om å si at to topologiske rom er "de samme" sett annerledes. Dette er grunnen til at homeomorfismer er isomorfismene i kategorien topologiske rom .

Eiendommer

En kontinuerlig sammenheng er en homeomorfisme hvis og bare hvis den er åpen eller lukket (det er da begge deler).
La K være et kompakt topologisk rom , E et eget topologisk rom , og f: K → E en kontinuerlig sammenheng. Da er f en homeomorfisme. Spesielt er E en kompakt.Faktisk er enhver lukket F av K kompakt; som E , separeres, hvilket bilde F ved f er kompakt, har et fortiori lukket i E . Derfor er f en lukket kontinuerlig sammenheng, dvs. en homeomorfisme gjennom forrige punkt.
En kontinuerlig sammenheng er ikke alltid en homeomorfisme (se artikkelen Sammenligning av topologier ). For eksempel applikasjonen ${\ displaystyle f: \ left [0,2 \ pi \ right [\ to S ^ {1}, ~ t \ mapsto (\ cos t, \ sin t)}$ er en kontinuerlig sammenheng, men dens gjensidige er ikke kontinuerlig ved $(1, 0)$ . Faktisk er det ingen homeomorfisme mellom sirkelen $S 1$ og en del av ℝ (ved argumenter om sammenheng eller enkel tilknytning ).

Tilknyttede definisjoner

Et kart f : X → Y er en lokal homeomorfisme (in) hvis noe punkt i X tilhører en åpen V slik at f ( V ) er åpen i Y og at f gir, ved begrensning , en homeomorfisme av V på f ( V ). En slik applikasjon er kontinuerlig og åpen.

Eksempler

Enhver tildekking er en lokal homeomorfisme.
For alle åpne X av Y er inkluderingen X → Y en lokal homeomorfisme.
Enhver X → Z- forbindelse av lokale homeomorfismer X → Y og Y → Z er en lokal homeomorfisme.
Enhver usammenhengende forening ∐ i ∈ I X i → Y av lokale homeomorfismer X i → Y er en lokal homeomorfisme.
Enhver kvotient X / ~ → Y av en lokal homeomorfisme X → Y av en kompatibel og åpen ekvivalensrelasjon ~ er en lokal homeomorfisme. (Jf. “den virkelige linjen med et dobbeltpunkt ”.)
Enhver lokal diffeomorfisme fra en variant til en annen er en lokal homeomorfisme.

En topologisk egenskap er en egenskap som er uforanderlig av homeomorfismer.

Eksempler

All diffeomorfisme er homeomorfisme.
Den Riemann sfære berøves sin nordpol er homøomorfiske på planet: en homeomorfi er her den stereografisk projeksjon .
Den torus av dimensjon 1 og enhetssirkelen (eller hvilken som helst annen krets av ikke-null radius) er homøomorfiske.

Henvisning

Jacques Dixmier , generell topologi , Paris, PUF ,nitten åtti en, 164 s. ( ISBN 2-13-036647-3 , OCLC 417477300 ) , avsnitt 2.5 s. 31 og 4.2.16 s. 55.

Se også

Relaterte artikler

Ekstern lenke

Homeomorfisme av flyet på en firkant : animasjon på GeoGebra ledsaget av en øvelse