n- sfære
I geometri er hypersfæren en generalisering av sfæren til et euklidisk rom av enhver dimensjon . Det utgjør et av de enkleste eksemplene på mangfold og sfære av dimensjon n , eller n- sfære , er mer presist en overflate av det euklidiske rommet , bemerket generelt .
Rikke+1{\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n + 1}}Sikke{\ displaystyle \ mathbb {S} ^ {n}}
Definisjon
La E være et euklidisk rom med dimensjon n + 1, A et punkt på E og R et strengt positivt reelt tall . Hypersphere kalt sentrum A og radius R settet av punktene M hvis avstand til A er R .
Gitt et affint ortonormalt koordinatsystem , selv om det betyr å utføre en oversettelse , som ikke endrer noe til de geometriske egenskapene, er det mulig å redusere til en hypersfære sentrert i utgangspunktet, hvis ligning deretter skrives
∑Jeg=1ikke+1xJeg2=R2{\ displaystyle \ sum _ {i = 1} ^ {n + 1} x_ {i} ^ {2} = R ^ {2}}.
For eksempel :
- for tilfellet n = 0 består hypersfæren av to respektive abscissapunkter R og - R ;
- for tilfellet n = 1 er hypersfæren en sirkel ;
- for tilfellet n = 2 er hypersfæren en sfære i vanlig forstand.
(For en parameterisering av den slik definerte overflaten , se “ Hypersfæriske koordinater ”.)
Eiendommer
Volum
Volumet (eller mer presist Lebesgue-målet ) av rommet avgrenset av en hypersfære av dimensjon n - 1 og radius R , som er en euklidisk ball med dimensjon n , er lik:
Vikke=πikke/2RikkeΓ(ikke/2+1){\ displaystyle V_ {n} = {\ pi ^ {n / 2} R ^ {n} \ over \ Gamma (n / 2 + 1)}},
hvor betegner gammafunksjonen . Spesielt har vi:
Γ{\ displaystyle \ Gamma}
|
n selv |
n rart
|
---|
Vikke{\ displaystyle V_ {n}} |
πikke2Rikke(ikke2)!{\ displaystyle {\ frac {\ pi ^ {\ frac {n} {2}} R ^ {n}} {\ left ({\ frac {n} {2}} \ right)!}}} |
2(ikke+1)/2πikke-12Rikke1⋅3⋅⋯⋅ikke{\ displaystyle 2 ^ {(n + 1) / 2} {\ frac {\ pi ^ {\ frac {n-1} {2}} R ^ {n}} {1 \ cdot 3 \ cdot \ dots \ cdot ikke}}}
|
---|
Følgende tabell gir volumverdiene til de første 8 kulene i dimensjon n og radius 1:
ikke |
Volumverdi
|
---|
nøyaktig |
nærmet seg
|
---|
1 |
2{\ displaystyle 2} |
2{\ displaystyle 2}
|
2 |
π{\ displaystyle \ pi} |
3.14159{\ displaystyle 3 {,} 14159}
|
3 |
43π{\ displaystyle {\ frac {4} {3}} \ pi} |
4.18879{\ displaystyle 4 {,} 18879}
|
4 |
12π2{\ displaystyle {\ frac {1} {2}} \ pi ^ {2}} |
4.93480{\ displaystyle 4 {,} 93480}
|
5 |
815π2{\ displaystyle {\ frac {8} {15}} \ pi ^ {2}} |
5.26379{\ displaystyle 5 {,} 26379}
|
6 |
16π3{\ displaystyle {\ frac {1} {6}} \ pi ^ {3}} |
5.16771{\ displaystyle 5 {,} 16771}
|
7 |
16105π3{\ displaystyle {\ frac {16} {105}} \ pi ^ {3}} |
4.72478{\ displaystyle 4 {,} 72478}
|
8 |
124π4{\ displaystyle {\ frac {1} {24}} \ pi ^ {4}} |
4.05871{\ displaystyle 4 {,} 05871}
|
Volumet til en slik ball er maksimalt for n = 5. For n > 5 synker volumet når n øker og grensen ved uendelig er null:
limikke→∞Vikke=0{\ displaystyle \ lim _ {n \ to \ infty} V_ {n} = 0}.
Den hyperkube omskrevet til enheten hypersphere har kanter av lengde 2, og et volum på 2 n ; forholdet mellom volumene til en ball og den innskrevne hyperkuben (sideveis ) øker som en funksjon av n .
2/ikke{\ displaystyle 2 / {\ sqrt {n}}}
Område
Det område av hypersphere av dimensjon n -1 og radius R kan bestemmes ved å ta den deriverte med hensyn til radien R av volumet V n :
Sikke-1=dVikkedR=ikkeVikkeR=2πikke2Rikke-1Γ(ikke2){\ displaystyle S_ {n-1} = {\ frac {\ mathrm {d} V_ {n}} {\ mathrm {d} R}} = {\ frac {nV_ {n}} {R}} = {\ frac {2 \ pi ^ {\ frac {n} {2}} R ^ {n-1}} {\ Gamma ({\ frac {n} {2}})}}.
Sikke=2πikke+12RikkeΓ(ikke+12){\ displaystyle S_ {n} = {\ frac {2 \ pi ^ {\ frac {n + 1} {2}} R ^ {n}} {\ Gamma ({\ frac {n + 1} {2}} )}}}.
|
n selv |
n rart
|
---|
Sikke{\ displaystyle S_ {n}} |
2ikke2+1πikke2Rikke1⋅3⋯(ikke-1){\ displaystyle 2 ^ {{\ frac {n} {2}} + 1} {\ frac {\ pi ^ {\ frac {n} {2}} R ^ {n}} {1 \ cdot 3 \ cdots ( n-1)}}} |
πikke+12Rikke12(ikke-12)!{\ displaystyle {\ frac {\ pi ^ {\ frac {n + 1} {2}} R ^ {n}} {{\ frac {1} {2}} \, \ left ({\ frac {n- 1} {2}} \ høyre)!}}}
|
---|
Den n- enhetskule har derfor i området:
Sikke{\ displaystyle \ mathbb {S} ^ {n}}
2πikke+12Γ(ikke+12) .{\ displaystyle {\ frac {2 \ pi ^ {\ frac {n + 1} {2}}} {\ Gamma ({\ frac {n + 1} {2}})}} ~.}Følgende tabell gir verdiene til arealet til de første 7 n -sfærene med radius 1:
ikke |
Område Sikke{\ displaystyle \ mathbb {S} ^ {n}}
|
---|
nøyaktig |
nærmet seg
|
---|
1 |
2π{\ displaystyle 2 \ pi} |
6.28318{\ displaystyle 6 {,} 28318}
|
2 |
4π{\ displaystyle 4 \ pi} |
12.56637{\ displaystyle 12 {,} 56637}
|
3 |
2π2{\ displaystyle 2 \ pi ^ {2}} |
19.73920{\ displaystyle 19 {,} 73920}
|
4 |
83π2{\ displaystyle {\ frac {8} {3}} \ pi ^ {2}} |
26.31894{\ displaystyle 26 {,} 31894}
|
5 |
π3{\ displaystyle \ pi ^ {3}} |
31.00627{\ displaystyle 31 {,} 00627}
|
6 |
1615π3{\ displaystyle {\ frac {16} {15}} \ pi ^ {3}} |
33 07336{\ displaystyle 33 {,} 07336}
|
7 |
13π4{\ displaystyle {\ frac {1} {3}} \ pi ^ {4}} |
32 46969{\ displaystyle 32 {,} 46969}
|
Arealet til n- enhetssfæren er maksimalt for n = 6. For n > 6 avtar området når n øker og grensen ved uendelig er null:
limikke→∞Sikke=0{\ displaystyle \ lim _ {n \ to \ infty} S_ {n} = 0}.
Relaterte artikler
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">