Identiteten til de åtte Degen-rutene

I matematikk , og mer spesifikt i algebra , viser identiteten til Degens åtte firkanter at produktet av to tall, som hver er en sum av åtte firkanter, i seg selv er en sum av åtte firkanter.

Degen Identity

Hvis a i og b j er heltall, reelle eller komplekse tall, eller mer generelt elementer i en kommutativ ring , har vi:

{\ displaystyle (a_ {1} ^ {2} + a_ {2} ^ {2} + a_ {3} ^ {2} + a_ {4} ^ {2} + a_ {5} ^ {2} + a_ {6} ^ {2} + a_ {7} ^ {2} + a_ {8} ^ {2}) (b_ {1} ^ {2} + b_ {2} ^ {2} + b_ {3} ^ {2} + b_ {4} ^ {2} + b_ {5} ^ {2} + b_ {6} ^ {2} + b_ {7} ^ {2} + b_ {8} ^ {2}) = \,}

{\ displaystyle (a_ {1} b_ {1} -a_ {2} b_ {2} -a_ {3} b_ {3} -a_ {4} b_ {4} -a_ {5} b_ {5} -a_ {6} b_ {6} -a_ {7} b_ {7} -a_ {8} b_ {8}) ^ {2} + \,}

{\ displaystyle (a_ {1} b_ {2} + a_ {2} b_ {1} + a_ {3} b_ {4} -a_ {4} b_ {3} + a_ {5} b_ {6} -a_ {6} b_ {5} -a_ {7} b_ {8} + a_ {8} b_ {7}) ^ {2} + \,}

{\ displaystyle (a_ {1} b_ {3} -a_ {2} b_ {4} + a_ {3} b_ {1} + a_ {4} b_ {2} + a_ {5} b_ {7} + a_ {6} b_ {8} -a_ {7} b_ {5} -a_ {8} b_ {6}) ^ {2} + \,}

{\ displaystyle (a_ {1} b_ {4} + a_ {2} b_ {3} -a_ {3} b_ {2} + a_ {4} b_ {1} + a_ {5} b_ {8} -a_ {6} b_ {7} + a_ {7} b_ {6} -a_ {8} b_ {5}) ^ {2} + \,}

{\ displaystyle (a_ {1} b_ {5} -a_ {2} b_ {6} -a_ {3} b_ {7} -a_ {4} b_ {8} + a_ {5} b_ {1} + a_ {6} b_ {2} + a_ {7} b_ {3} + a_ {8} b_ {4}) ^ {2} + \,}

{\ displaystyle (a_ {1} b_ {6} + a_ {2} b_ {5} -a_ {3} b_ {8} + a_ {4} b_ {7} -a_ {5} b_ {2} + a_ {6} b_ {1} -a_ {7} b_ {4} + a_ {8} b_ {3}) ^ {2} + \,}

{\ displaystyle (a_ {1} b_ {7} + a_ {2} b_ {8} + a_ {3} b_ {5} -a_ {4} b_ {6} -a_ {5} b_ {3} + a_ {6} b_ {4} + a_ {7} b_ {1} -a_ {8} b_ {2}) ^ {2} + \,}

{\ displaystyle (a_ {1} b_ {8} -a_ {2} b_ {7} + a_ {3} b_ {6} + a_ {4} b_ {5} -a_ {5} b_ {4} -a_ {6} b_ {3} + a_ {7} b_ {2} + a_ {8} b_ {1}) ^ {2} \,}

Denne identiteten, oppdaget av Carl Ferdinand Degen (da) rundt 1818, ble uavhengig gjenoppdaget av John Thomas Graves (en) (1843) og Arthur Cayley (1845). Sistnevnte fikk det mens de studerte en utvidelse av kvartioner , oktjonene ; Denne identiteten betyr faktisk at standarden på octonions er multiplikativ, det vil si, produktet standard to octonions er produktet av deres standarder: . Analoge identiteter er relatert til kvaternionsnormen ( identiteten til de fire kvadratene til Euler ) og til modulus av komplekse tall ( identiteten til Brahmagupta ${\ displaystyle \ | uv \ | = \ | u \ | \ | v \ |}$ ). Imidlertid viste Adolf Hurwitz i 1898 at sedenions ikke kunne brukes til å generalisere disse formlene ytterligere, og faktisk at det ikke var noen bilinær identitet for et annet antall ruter enn 1, 2, 4 og 8 ..

Merk at hver kvadrant koker ned til en variant av identiteten til de fire Euler-rutene :

{\ displaystyle (a_ {1} ^ {2} + a_ {2} ^ {2} + a_ {3} ^ {2} + a_ {4} ^ {2}) (b_ {1} ^ {2} + b_ {2} ^ {2} + b_ {3} ^ {2} + b_ {4} ^ {2}) = \,}

{\ displaystyle (a_ {1} b_ {1} -a_ {2} b_ {2} -a_ {3} b_ {3} -a_ {4} b_ {4}) ^ {2} + \,}

{\ displaystyle (a_ {1} b_ {2} + a_ {2} b_ {1} + a_ {3} b_ {4} -a_ {4} b_ {3}) ^ {2} + \,}

{\ displaystyle (a_ {1} b_ {3} -a_ {2} b_ {4} + a_ {3} b_ {1} + a_ {4} b_ {2}) ^ {2} + \,}

{\ displaystyle (a_ {1} b_ {4} + a_ {2} b_ {3} -a_ {3} b_ {2} + a_ {4} b_ {1}) ^ {2} \,}

{\ displaystyle (a_ {5} ^ {2} + a_ {6} ^ {2} + a_ {7} ^ {2} + a_ {8} ^ {2}) (b_ {1} ^ {2} + b_ {2} ^ {2} + b_ {3} ^ {2} + b_ {4} ^ {2}) = \,}

{\ displaystyle (a_ {5} b_ {1} + a_ {6} b_ {2} + a_ {7} b_ {3} + a_ {8} b_ {4}) ^ {2} + \,}

{\ displaystyle (a_ {5} b_ {2} -a_ {6} b_ {1} + a_ {7} b_ {4} -a_ {8} b_ {3}) ^ {2} + \,}

{\ displaystyle (a_ {5} b_ {3} -a_ {6} b_ {4} -a_ {7} b_ {1} + a_ {8} b_ {2}) ^ {2} + \,}

{\ displaystyle (a_ {5} b_ {4} + a_ {6} b_ {3} -a_ {7} b_ {2} -a_ {8} b_ {1}) ^ {2} \,}

og det samme for de to andre kvadranter.

Referanser

(fr) Denne artikkelen er delvis eller helt hentet fra den engelske Wikipedia- artikkelen med tittelen " Degen's eight-square identity " ( se forfatterlisten ) .
(no) Eric W. Weisstein , “ Degen's eight-square identity ” , på MathWorld

Pascal Boyer, liten følgesvenn av tall og deres applikasjoner , Calvage og Mounet,2019, 648 s. ( ISBN 978-2-916352-75-6 ) , I. Aritmetikk av ℤ, kap. 4.3. (“Hurwitzs teorem (1, 2, 4, 8)”), s. 67-70.

Se også

Relaterte artikler

Identiteten til de seksten rutene Pfister (in)
Hyperkompleksnummer

Eksterne linker