Sammenkoblinger mellom sannsynlighetsteori og statistikk

De sammenkoblinger mellom sannsynlighetsteori og statistikk (vitenskapen om statistikk) viser lenker og forskjellene mellom disse to matematiske felt som danner de vitenskaper tilfeldighets . Disse vitenskapene samhandler med andre matematiske disipliner, men også med naturvitenskap , økonomi og biovitenskap , etc.

La oss gi noen første generelle definisjoner: teorien om sannsynlighet er den matematiske studien av fenomener preget av tilfeldigheter og usikkerhet; den statistikken er å samle, behandle og tolke presentere et sett av data.

Disambiguation

La oss klassifisere homonymer for sannsynligheter og statistikk etter domene.

I sannsynligheter

Den sannsynlighetsteori (noen ganger kalt 'sannsynlighet', 'matematisk sannsynlighet 'eller' sannsynlighetsteori ") er felt matematiske fenomener som kjennetegnes av vilkårlighet og usikkerhet.
En sannsynlighet er vurderingen av sannsynligheten for en hendelse .

I artikkelen sannsynligheter (elementær matematikk) presenterer vi forestillingen om sannsynlighet og de første nyttige verktøyene i dette feltet.
Den betingede sannsynligheten for en hendelse er sannsynligheten for at hendelsen vet at en annen hendelse inntreffer.
Betegnelsene a priori sannsynlighet og posteriori sannsynlighet brukes i feltet Bayesian slutning for å betegne en beregning av sannsynligheter før eller etter et eksperiment.

I statistikk

I hverdagsspråket er statistikk i elementær matematikk resultatene av en undersøkelse som består i å observere en viss populasjon og bestemme fordelingen av en viss statistisk karakter (størrelse, antall barn, område osv.) I denne befolkningen.

Den statistikken (betegnet statistikk og også noen ganger kalt statistisk sannsynlighet og matematisk statistikk) er domene matematikk for å samle, behandle og tolke et sett av data. Merk at begrepene statistikk eller studier av statistikk noen ganger brukes (ved misbruk av språk) for dette matematiske feltet.
En statistikk (flertallsstatistikk) er en mengde beregnet fra et antall observasjoner (eller utvalg ). Vi snakker også om statistiske data.

Den statistiske slutningen (eller den utledende statistikken) er et sett med metoder for å trekke pålitelige konklusjoner fra statistiske dataprøver. Tolkningen av statistiske data er i stor grad nøkkelpunktet for statistisk slutning.
Den beskrivende statistikken er grenen av statistikk som inkluderer de mange teknikkene som brukes til å beskrive et sett relativt store data.
Den kontinuerlige grunnleggende statistikken er et felt av elementær matematikk som omhandler tilfelle der i en statistisk undersøkelse er den statistiske karakteren en kontinuerlig verdi.
Den diskrete elementære statistikken er et felt av elementær matematikk som omhandler hvor, i en statistisk undersøkelse, den statistiske karakteren tar et rimelig endelig antall verdier.
Den "matematiske" statistikken er grenen av statistikken der utfordringen er å finne fornuftige estimatorer (upartisk og effektiv). Analysen av de matematiske egenskapene til disse estimatorene er kjernen i arbeidet til matematikeren som spesialiserer seg på statistikk.

I sannsynlighet og statistikk

En sannsynlighetslov beskriver enten sannsynlighetene for hver verdi av en diskret tilfeldig variabel , eller sannsynligheten for at den kontinuerlige tilfeldige variabelen tilhører et vilkårlig intervall. Det er karakteriseringen av et tilfeldig fenomen. Loven om sannsynlighet studeres i sannsynlighetsteori og brukes i statistikk .

Mer detaljerte definisjoner

I sannsynlighetsteori er sannsynlighetene interessert i de teoretiske resultatene av et eksperiment styrt av tilfeldighet, tilfeldighet som vi modellerer etter adekvate lover , lover som vi anser å svare til den virkelige modellen. Vi kan snakke om " a priori kunnskap " siden studien er gjort uten data.

“Etter min mening er sannsynlighetsteori en veldig lik disiplin til geometri eller rasjonell mekanikk. Den sikter mot den systematiske beskrivelsen av visse virkelige fenomener og bruker en idealisert konstruksjon av abstrakte forestillinger og definisjoner. "

- Richard von Mises , 1932

I statistikk , statistikere studere empiriske data (dvs. dataene fra konkrete situasjoner). Ved å samle dem ( for eksempel under en undersøkelse ), ved å analysere dem kvalitativt og / eller kvantitativt ( for eksempel ved hjelp av datatabeller ), ved å tolke dem for å finne egenskapene deres, og deretter ekstrapolere dem for å gjøre antakelser om dem. Fremtidige data.
Vi kan snakke om ” a posteriori knowledge ” siden studien er utført etter datainnsamling.
- Noen bruker begrepet "statistisk sannsynlighet" for å referere til statistikk . I dette tilfellet regnes statistikk som en gren av sannsynlighetsteorien .
- For å analysere statistiske data brukes sannsynlighetsverktøy (som matematisk forventning eller avvik ), noen anser at sannsynlighetsteori bare er et verktøy for statistikk.

“Statistikk er en tenkemåte som gjør det mulig å samle inn, behandle og tolke dataene vi møter på forskjellige felt, og spesielt innen biovitenskap, fordi disse dataene har en vesentlig egenskap: variabiliteten. "

- Daniel Schwartz , 1994

Her anser vi sannsynlighet og statistikk som to områder av tilfeldig vitenskap som samhandler med hverandre.

“Sannsynlighetsteori og statistikk er to viktige felt, integrert i våre daglige aktiviteter. Verden av industri, forsikringsselskaper er i stor grad avhengig av sannsynlighetslover. Fysikken i seg selv er i hovedsak sannsynlig. Det samme gjelder grunnlaget for biologien. "

- Warren Weaver , 1963

“Du ønsket å vitne om at statistikere ikke anså matematikere som fiendens brødre: vær trygg på at disse gode følelsene er gjensidige. "

- Émile Borel , utdrag fra sin innledende tale for presidentskapet for SSP i 1922

Kobler gjennom et eksempel

La oss ta et enkelt eksempel: det med myntkast- spillet .

Et statistisk spørsmål vil være: Er mynten balansert? Det vil si, mer matematisk, er sannsynligheten for å få haler 1/2? (se denne delen )

La oss detaljere hvordan en statistisk test fungerer . Vi starter med å sette en statistisk hypotese : (H0) Sannsynligheten for å få haler er 1/2 . Vi gir oss selv en terskelrisiko, det vil si en prosentandel under hvilken vi aksepterer å avvise H0 . For eksempel aksepterer vi at i 5% av tilfellene hvor H0 er sant, hevder testen at H0 er falsk. Vi satte et betydelig antall eksperimenter som skal utføres for at den statistiske testen skal være gyldig (se for eksempel dette avsnittet ). Dette tallet må være lite nok til å være oppnåelig. Eksperimentene ble utført og resultatene samlet, det vil si at vi teller frekvensen av resultatet stabelen . En statistisk test brukes deretter til å sammenligne denne empiriske verdien med den virkelige forventede verdien: 1/2. Vi konkluderer med aksept eller avvisning av H0 som en funksjon av den faste terskelen.

Andel ansikt i et spill med hoder eller haler. For hvert av de 10.000 settene med 200 kast, inkluder andelen ansikt .
Kurve, kalt "bjelle", av normalloven som er den teoretiske representasjonen av ansiktsfrekvensen .

For en sannsynlighetsstudie vurderer vi at sannsynligheten for å få haler er 1/2. Deretter studerer vi en sannsynlighetslov eller verdien av en sannsynlighet fra det tilfeldige spillet. For eksempel: Når du gjør et uendelig antall kast, hva er sannsynligheten for bare å få halene? (se denne delen )

I dette tilfellet kjenner vi allerede sannsynlighetsloven knyttet til myntkastet. Med en null Kolmogorov-lov vet vi at denne sannsynligheten er enten 0 eller 1. Det er derfor 0 siden dens komplementære (få minst en gang ansikt ) er en positiv sannsynlighet.

Et annet sannsynlig spørsmål: Hvis N betegner nummeret på det første kastet som vises haler for første gang, hva er loven til N?

Når vi kjenner kastenes uavhengighet og sannsynligheten for å få haler (1/2), utleder vi at denne loven er en geometrisk lov . Det vil si at sannsynligheten for at N er k er (1/2 for N = 1, 1/4 for N = 2, 1/8 for N = 3 osv.). ${\ displaystyle \ scriptstyle 1/2 ^ {k}}$

Merknader og referanser

Merknader

Forskjellen her er bruken av en i stedet for den .

Referanser

“ Sannsynlighet og statistikk: mot et nytt sted i morgendagens verden. Et rundt bord ledet av Etienne Pardoux ” ,2010
" French Statistical Society nettsted " (åpnet 4. oktober 2011 )
Alan Rueg , Sannsynlighet og statistikk , Presses polytechniques et universitaire romandes,1994, 4 th ed. , 267 s. ( ISBN 2-88074-286-2 , leses online ) , Forord
[1] Richard von Mises , Theory of Probability. Fundament og applikasjoner, annaler av IHP, volum 3 n ° 2 (1932), p137-190.
" National Council of Universities website, section 26 " (åpnet 4. oktober 2011 )
[2] a priori og a posteriori termer, se også dette underavsnittet
[3] Jean-Claude Régnier, Formål og utfordringer med undervisningsstatistikk , halshs-00405986, versjon 1 - 23. juli 2009.