Inversjon (geometri)

Denne artikkelen er et utkast som gjelder geometri .

Du kan dele din kunnskap ved å forbedre den ( hvordan? ) I henhold til anbefalingene fra de tilsvarende prosjektene .

I geometri er en inversjon en transformasjon som inverterer avstandene fra et gitt punkt, kalt sentrum for inversjonen. I hovedsak betyr dette at bildet av et punkt er lenger fra sentrum av inversjonen jo nærmere opprinnelsespunktet er.

Generell definisjon i sammenheng med et euklidisk affinert rom

La være et euklidisk affinert rom , et poeng av og et ikke-null. E{\ displaystyle {\ mathcal {E}}}Ω{\ displaystyle \ Omega}E{\ displaystyle {\ mathcal {E}}}k{\ displaystyle k}

Definisjon  -  Pol- og forholdsinversjonen er anvendelsen av i seg selv som på et tidspunkt forbinder det unike punktet Ω{\ displaystyle \ Omega}k{\ displaystyle k}E∖{Ω}{\ displaystyle {\ mathcal {E}} \ setminus \ {\ Omega \}}M{\ displaystyle M}

M′∈(ΩM){\ displaystyle M '\ in (\ Omega M)}slik at (produkt av algebraiske tiltak ).ΩM¯×ΩM′¯=k{\ displaystyle {\ overline {\ Omega M}} \ times {\ overline {\ Omega M '}} = k} Demonstrasjon av eksistensen og unike av M′{\ displaystyle M '}

For ethvert punkt på linjen , IKKE{\ displaystyle N} (ΩM){\ displaystyle (\ Omega M)}

ΩM¯×ΩIKKE¯=k⇔ΩIKKE¯ΩM¯=kΩM2⇔ΩIKKE→=kΩM2ΩM→⇔IKKE=Ω+kΩM2ΩM→.{\ displaystyle {\ begin {align} {\ overline {\ Omega M}} \ times {\ overline {\ Omega N}} = k & \ Lefttrightarrow {\ frac {\ overline {\ Omega N}} {\ overline { \ Omega M}}} = {\ frac {k} {\ Omega M ^ {2}}} \\ & \ Leftrightarrow {\ overrightarrow {\ Omega N}} = {\ frac {k} {\ Omega M ^ { 2}}} {\ overrightarrow {\ Omega M}} \\ & \ Leftrightarrow N = \ Omega + {\ frac {k} {\ Omega M ^ {2}}} {\ overrightarrow {\ Omega M}}. \ slutt {justert}}}

Tenk på sfæren med sentrum og radius . S{\ displaystyle {\ mathcal {S}}}Ω{\ displaystyle \ Omega}r{\ displaystyle r}

Definisjon  -  Inversjonen med hensyn til er inversjonen av pol og forhold . S{\ displaystyle {\ mathcal {S}}}Ω{\ displaystyle \ Omega}k=r2{\ displaystyle k = r ^ {2}}

Eiendommer

• En inversjon som ikke er null, er bindende .
• En inversjon er en involusjon  : den er dens egen gjensidige sammenheng .
• Inversjon i forhold til en kule etterlater kulepunktene faste, og de indre og ytre punktene byttes ut. Inversjon er den "sfæriske" versjonen av refleksjon .S{\ displaystyle {\ mathcal {S}}}
• Vi kaller sfæren for inversjon (eller sirkel av inversjon i planet) sfæren for sentrum og radius . Det er alltid globalt invariant , og det er løst ( punkt for punkt invariant ) når forholdet er positivt. Enhver inversjon av positivt forhold er inversjonen med hensyn til dens inversjon .Ω{\ displaystyle \ Omega}|k|{\ displaystyle {\ sqrt {| k |}}}
• De hyperplanes passerer gjennom er også globale invarianter.Ω{\ displaystyle \ Omega}

Hovedinteressen for inversjoner er transformasjonen av hyperplaner (rette linjer) til hypersfærer (sirkler) og omvendt, samtidig som vinklene bevares:

Teorem  -  Enhver inversjon av sentrum og ikke-null-forhold sender: Ω{\ displaystyle \ Omega}

• hypersfærer (sirkler) som går gjennom (ekskludert) til hyperplaner (rette linjer) som ikke går gjennom , og omvendt;Ω{\ displaystyle \ Omega}Ω{\ displaystyle \ Omega}
• hypersfærer (sirkler) som ikke går gjennom hypersfærer (sirkler) som ikke passerer gjennom  ;Ω{\ displaystyle \ Omega}Ω{\ displaystyle \ Omega}
• de (hyper) flyene (rette linjene) som går gjennom seg selv (de er uforanderlige).Ω{\ displaystyle \ Omega}

Settet som består av hypersfærer og hyperplaner er derfor stabilt av inversjon.

Så hvis du er i planen , og er de respektive bildene , og ved en inversjon sentrum nonzero rapporterer da , og er collinear hvis og bare hvis , , og er syklisk, som er den underliggende årsaken til likestilling og Ptolemaios 'ulikhet . PÅ′{\ displaystyle A '}B′{\ displaystyle B '}VS′{\ displaystyle C '}PÅ{\ displaystyle A}B{\ displaystyle B}VS{\ displaystyle C}Ω{\ displaystyle \ Omega}PÅ′{\ displaystyle A '}B′{\ displaystyle B '}VS′{\ displaystyle C '}Ω{\ displaystyle \ Omega}PÅ{\ displaystyle A}B{\ displaystyle B}VS{\ displaystyle C}

Teorem  -  inversjoner som ikke er null, bevarer (orienterte) vinkler.

Således er for eksempel to linjer som ikke passerer vinkelrett hvis og bare hvis bildesirklene deres er vinkelrette (to sirkler sies å være vinkelrette hvis tangentene deres i skjæringspunktene er slik). Ω{\ displaystyle \ Omega}

Avstander

Hvis og er de respektive bildene av og ved en inversjon av relasjonssenteret ( ), har vi forholdet mellom avstandene PÅ′{\ displaystyle A '}B′{\ displaystyle B '}PÅ{\ displaystyle A}B{\ displaystyle B}Ω{\ displaystyle \ Omega}k{\ displaystyle k}≠0{\ displaystyle \ neq 0}

PÅ′B′=|k|PÅBΩPÅ×ΩB{\ displaystyle A'B '= | k | \, {\ frac {AB} {\ Omega A \ times \ Omega B}}}. Demonstrasjon

La og være enhetlig slik at og . Så, u→,v→{\ displaystyle {\ overrightarrow {u}}, {\ overrightarrow {v}}}på,b>0{\ displaystyle a, b> 0}ΩPÅ→=påu→{\ displaystyle {\ overrightarrow {\ Omega A}} = en {\ overrightarrow {u}}}ΩB→=bv→{\ displaystyle {\ overrightarrow {\ Omega B}} = b {\ overrightarrow {v}}}

PÅ′B′=‖ΩB′→-ΩPÅ′→‖=‖kv→b-ku→på‖=|k|påb‖påv→-bu→‖=|k|ΩPÅ×ΩBPÅB{\ displaystyle A'B '= \ left \ | {\ overrightarrow {\ Omega B'}} - {\ overrightarrow {\ Omega A '}} \ right \ | = \ left \ | {\ frac {k {\ overrightarrow {v}}} {b}} - {\ frac {k {\ overrightarrow {u}}} {a}} \ right \ | = {\ frac {| k |} {ab}} \ left \ | a { \ overrightarrow {v}} - b {\ overrightarrow {u}} \ right \ | = {\ frac {| k |} {\ Omega A \ times \ Omega B}} AB}

fordi

‖påv→-bu→‖2=på2+b2-2påb⟨u→,v→⟩=‖bv→-påu→‖2=PÅB2{\ displaystyle \ left \ | a {\ overrightarrow {v}} - b {\ overrightarrow {u}} \ right \ | ^ {2} = a ^ {2} + b ^ {2} -2ab \ langle {\ overrightarrow {u}}, {\ overrightarrow {v}} \ rangle = \ left \ | b {\ overrightarrow {v}} - en {\ overrightarrow {u}} \ right \ | ^ {2} = AB ^ {2 }}.

I planen

I det euklidiske affineplanet

I det euklidiske affinplanet er det inverse av et punkt konstruerbart med et kompass når vi kjenner inversjonssirkelen , noe som gjør det mulig å demonstrere:

Mohr og Mascheronis teorem  -  Enhver konstruksjon som bruker en linjal og et kompass kan bare gjøres med et kompass (med unntak av plottene med rette deler).

La oss også påpeke eksistensen av "inversjonsmaskiner", Peaucellier-omformeren , som brukes til å transformere en rettlinjet bevegelse til sirkulær bevegelse:

Omformeren er et mekanisk objekt med to stenger OP og OQ med fast lengde og 4 andre stenger MP, MQ, M'P, M'Q med faste lengder med svingepunktene i toppunktene på diamanten OMPQM '. r1{\ displaystyle r_ {1}}r2{\ displaystyle r_ {2}}

For et punkt av det affine euklidiske planet og et forhold , med , kan vi konstruere den geometriske inversen, for inversjon av sentrum og forhold , av hvilket som helst punkt i kronen sentrert i , av indre radius og av utvendig radius på følgende måte : O{\ displaystyle O}k=r12-r22{\ displaystyle k = r_ {1} ^ {2} -r_ {2} ^ {2}}0<r2<r1{\ displaystyle 0 <r_ {2} <r_ {1}}O{\ displaystyle O}k{\ displaystyle k}O{\ displaystyle O}r1-r2{\ displaystyle r_ {1} -r_ {2}}r1+r2{\ displaystyle r_ {1} + r_ {2}}

• Et punkt i kronen som gis, det er to skjæringspunkter og sirkelen av sentrum og radius , og av sirkelen av sentrum og radiusM{\ displaystyle M}P{\ displaystyle P}Spørsmål{\ displaystyle Q}O{\ displaystyle O}r1{\ displaystyle r_ {1}}M{\ displaystyle M}r2{\ displaystyle r_ {2}}
• Så konstruerer vi det unike punktet slik at det er en rombe.M′{\ displaystyle M '}PMSpørsmålM′{\ displaystyle PMQM '}
• Programmet som samsvarer er ønsket inversjon.M{\ displaystyle M}M′{\ displaystyle M '}

I det komplekse planet

I det komplekse planet er en spesiell inversjon den med hensyn til enhetssirkelen; når det gjelder kompleks påføring, er den kodet av applikasjonen

z↦1z¯=z|z|2.{\ displaystyle z \ mapsto {\ frac {1} {\ overline {z}}} = {\ frac {z} {| z | ^ {2}}}.}

Vi ser dermed at denne inversjonen består av den komplekse konjugasjonen og av en homografi .

Det er faktisk et generelt resultat: en sirkel av inversjon gitt, man velger tre poeng på denne sirkelen, deretter den eneste homografien som sender henholdsvis videre . Deretter bekrefter vi at kartet , der det betegner den komplekse bøyningen, nettopp er den ettertraktede inversjonen, og dens skriving som består av en homografi og av den komplekse bøyningen følger av skrivingen av og som homografien. z1,z2,z3{\ displaystyle z_ {1}, z_ {2}, z_ {3}}f{\ displaystyle f}z1,z2,z3{\ displaystyle z_ {1}, z_ {2}, z_ {3}}0,1,∞{\ displaystyle 0,1, \ infty}f-1∘vs.∘f{\ displaystyle f ^ {- 1} \ circ c \ circ f}vs.{\ displaystyle c}f{\ displaystyle f}f-1{\ displaystyle f ^ {- 1}}

Deretter lager vi koblingen med den sirkulære gruppen , som er settet med transformasjoner, definert faktisk på den komplekse projiserende linjen , og som sender linjene og sirklene på linjer og sirkler; ved å identifisere den komplekse projiserende linjen med Riemann-sfæren , uttrykkes denne bevaringsegenskapen enklere: det er sirklene tegnet på denne sfæren som er bevart. Det er klart at inversjoner tilhører sirkulærgruppen; og relativt enkelt å vise at det er det samme for homografier. Vi kan da vise at den sirkulære gruppen faktisk genereres av inversjoner og homografier.

Anallagmatisk geometri

Den anallagmatiske geometrien er studien (som definert i Erlangen-programmet ) geometrien som gruppen invarianter er den sirkulære gruppen  ; det er også kjent under navnet Möbius geometri , eller (i rommet) konform geometri  (en) .

Se også

Relaterte artikler

• Möbius transformasjon
• Hart inverter

Eksterne linker

• "  Inversjon og dens egenskaper på Math Web, med bevis på 7 sirkels teorem, Ptolemaios teorem og Harts inverter  "
• Inversjon på BibM @ th
• Inverterende sirkler med GeoGebra
• Xavier Hubaut, “  En ikke-lineær transformasjon?  » , Om sekundær matematikk
• Xavier Hubaut, “  Circles and straight lines  ” , om videregående matematikk
• Hamza Khelif, "  Om den koniske inversjonen  " , om matematikkbilder ,juni 2016
• Invertere en kurve på MathCurve.

Bibliografi

• Michèle Audin , Geometry , EDP ​​Sciences ,2006, 3 e  ed. , 428  s. ( ISBN  978-2-7598-0180-0 , les online )
• Marcel Berger , Geometry [ detalj av utgaver ]( Volum 1)
• Jean-Denis Eiden, Klassisk analytisk geometri , Calvage & Mounet, 2009 ( ISBN  978-2-91-635208-4 )
• Liten leksikon om matematikk , Didier
• Jean Fresnel, Moderne metoder i geometri
• D. Lehmann og Rudolf Bkouche , Initiation à la géometry , PUF , 1988 ( ISBN  978-2-13-040160-5 )

<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">