I ekte eller kompleks analyse er Cesàro-gjennomsnittet av en sekvens ( a n ) sekvensen oppnådd ved å ta det aritmetiske gjennomsnittet av de første n- begrepene i sekvensen.
Navnet på Cesàro kommer fra den italienske matematikeren Ernesto Cesàro (1859-1906), men teoremet er allerede demonstrert i Cauchy's Cours d'Analyse (en) (1821) .
Den teoremet Cesàro eller lemma Cesàro sier at når resultatet ( en n ) har en grense, har den gjennomsnittlige Cesàro den samme grense.
Imidlertid er det tilfeller der sekvensen ( a n ) ikke har noen grense, og hvor Cesàro-gjennomsnittet er konvergent. Det er denne egenskapen som rettferdiggjør bruken av Cesàro middel som en metode for å summere divergerende serier .
Enten en fortsettelse . Da er Cesàro gjennomsnittet sekvensen av generelle termer:
Begrepet indeks n er altså det aritmetiske gjennomsnittet av de første n termer av .
Cesàros teorem - Vurder en sekvens av reelle eller komplekse tall . Hvis den konvergerer mot ℓ , betyr sekvensen til Cesàro, generelt
,konvergerer også, og grensen er ℓ .
Hvis en sekvens med reelle tall har en grense på + ∞ eller –∞ , er det den samme for sekvensen til dets Cesàro-middel.
DemonstrasjonAnta for eksempel at . For alle reelle A > 0, eksisterer det en sekvens slik at (for eksempel :) . Sekvensen av midlene konvergerer mot A i henhold til forrige avsnitt, og reduserer den for midlene til , som derfor er> A / 2 fra en viss rang. Dette, gyldig for alle A > 0, beviser at sekvensen faktisk har grensen + ∞ .
Det omvendte av Cesàros lemma er falsk: det er divergerende sekvenser som Cesàro betyr konvergerer for. Dette er for eksempel tilfellet med den periodiske sekvensen
divergerende, men som har for gjennomsnittlig Cesàro 1/2.
En påstand som tilsvarer Cesàros teorem (også i tilfelle ℓ uendelig ovenfor ) er: for en hvilken som helst sekvens , hvis u n - u n –1 → ℓ så u n / n → ℓ (vi går fra en påstand til l den andre ved å teleskopere , ved å posere og omvendt, a n = u n - u n –1 ). Det er denne uttalelsen som vises i Cauchy 1821 , s. 59.
Cesàro-middelet gir en metode for å oppsummere visse divergerende serier i vanlig forstand.
Den Grandi serien er serie forbundet med fortsettelsen
hvis delsummer er
.Grandi-serien er divergerende, men Cesàro-gjennomsnittet av delsummene konvergerer til 1/2 ( se ovenfor ).
Summen er deretter knyttet til Grandi-serien .
Euler foreslo resultatet 1/2 med en annen metode: hvis vi antar at summen er veldefinert, la oss skrive den ned , så
derfor
og så
.Det uprøvde poenget er da eksistensen av , dvs. relevansen av utførte beregninger. Innsatsen til arbeidet med den divergerende serien består nettopp i å vise at den tildelte verdien har en matematisk betydning (for eksempel at den ikke avhenger av den anvendte metoden).
En bemerkelsesverdig bruk av Cesàro-gjennomsnittet gjøres innenfor rammene av Fourier-serien : Fejér-summene er Cesàro-midlene til de delvise summene av Fourier-serien. For Fourier-serien er konvergenssetningene delikate; tvert imot verifiserer Fejér-summene veldig sterke konvergensresultater, beskrevet av Fejers teorem .
Den Cauchy produkt av to konvergerende serie er en konvergent serie for Cesàro summeringsprosessen.
Cesàro-gjennomsnittet er en metode for summering av divergerende serier, spesielt brukt i teorien om Dirichlet-serien .
Hvis en sekvens ( x n ) av strengt positive realer har en grense ℓ ∈ [0, + ∞] , viser Cesàros lemma på en n = log ( x n ) at sekvensen til dens geometriske betyr n √ x 1 ... x n har en tendens til ℓ . Hva blir omskrevet: hvis en sekvens ( y n ) av strengt positive realer er slik at y n +1 / y n → ℓ så n √ y n → ℓ .
Det er flere generaliseringer av Cesàro middel, gjennom Stolz-Cesàro teoremet og Riesz middel . Cesàros prosess kalles ofte gjennomsnitt (C, 1). For hvert heltall k eksisterer det et Cesàro-gjennomsnitt av orden k , som tillater å summere visse divergerende serier som prosessene (C, n ) ikke summerer for n <k .
Det er mange andre summeringsmetoder , for eksempel Borels .