Parakohærent logikk

I matematisk logikk er en parakonsistent logikk (også kalt parakonsistent logikk ) et logisk system som tåler motsetninger , i motsetning til systemet for klassisk logikk . Logikk som er tolerant mot inkonsekvenser har blitt studert siden minst 1910 , med skisser som trolig dateres tilbake til Aristoteles tid . Begrepet paracohérent - ( ved siden av den sammenhengende , parakonsistente engelsken) - har blitt brukt til 1976 av filosofen peruansk Francisco Miró Quesada Cantuarias  (i) .

Definisjon

Parakoherente logikker skiller seg fra klassisk logikk ved sin tilnærming til egenskapen til logisk sammenheng . I klassisk logikk (men også i intuisjonistisk logikk og i de fleste andre logikker) gjør motsetningen det mulig å utlede en hvilken som helst annen formel for logikk. Det er prinsippet om eksplosjon eller ex contradictione sequitur quodlibet ( latin , "fra en motsetning er utledet hva som helst"). Kort fortalt er eksplosjonsprinsippet et resonnementsdiagram som viser at ut fra en logisk motsetning, det vil si fra en formel med formen P og ikke P , for eksempel "alle katter er grå og alle katter er ikke grå", ved å anvende de klassiske slutningsreglene kan vi utlede hvilken som helst formel for logikk, for eksempel “Jeg er et eple”.

Uansett hva proposisjon A kan være , og hvis proposisjon P og dens negasjon ¬ P begge skal være sanne, så er proposisjon P eller A sanne (ifølge definisjonen av disjunksjon ), vel vitende om at P ikke er sant, er det nødvendig at A være sant (ved hjelp av disjunktiv syllogism argument ).

Således, etter eksplosjonsprinsippet, så snart en teori inneholder en inkonsekvens , er enhver formel for denne teorien i klassisk logikk trivielt en setning . Den karakteristiske egenskapen til en parakohærent logikk er at den ikke tillater denne typen resonnement. Parakoherente logikker kan derfor gjøre det mulig å jobbe med usammenhengende, men ikke-trivielle teorier.

Formell tilnærming

Sammenligning med klassisk logikk

Parakoherente logikker er, fra beregningens synspunkt , svakere proposisjoner enn klassisk logikk  ; det er derfor færre slutninger og derfor færre teoremer . Dette demonstreres ved å ta i betraktning at ingen utvidelse av klassisk logikk (det vil si en logikk som beviser alle teoremene som klassisk logikk kan demonstrere) er parakherent. I denne forstand er parakoherente logikker mer forsiktige når det gjelder slutninger. På den annen side kan språk, i betydningen Alfred Tarski , parakherente være mer uttrykksfulle , særlig ved å ta hensyn til deres klassiske analog i hierarkiet av metallspråk skapt av Alfred Tarski et al. Ifølge Solomon Feferman [1984]: “  ... det naturlige språket bugner av direkte eller indirekte selvhenvisende, men tilsynelatende ufarlige uttrykk - som alle er ekskludert fra Tarskian-rammen.  " ( " Uttrykk direkte eller indirekte selvhenvisende og tilsynelatende ufarlig florerer i naturlig språk - de er alle ekskludert fra det teoretiske rammeverket Tarski " ). Begrensninger knyttet til selvreferanse , et viktig begrep i vitenskapshistorien fordi det gir opphav til mange paradokser, kan omgåes i denne typen logikk.

Motivasjon

Hovedmotivasjonen for utvikling og studie av parakoherente logikker er overbevisningen om at det er mulig å resonnere i nærvær av motstridende informasjon på en kontrollert og diskriminerende måte. Eksplosjonsprinsippet forhindrer det, og må derfor forlates i dette perspektivet. I en parakonsekvent logikk er det bare en inkonsekvent teori: triviell teori der alle formlene er teoremer. Parakoherente logikker gjør det mulig å diskriminere teorier som inneholder motsetninger og resonnere med dem.

Utviklingen av parakonsistent logikk var opphavet til den filosofiske skolen for dialethéisme (hvis mest ivrige talsmann er Graham Priest  (in) ), noe som innebærer at reelle motsetninger virkelig eksisterer, for eksempel grupper av mennesker som har forskjellige synspunkter på moralske spørsmål. En rasjonell dialetiker innebærer aksept av en form for parakohærent logikk, på smerte ved å falle i trivialisme , det vil si å akseptere at alle motsetninger eller alle proposisjoner er sanne. Det omvendte er imidlertid ikke nødvendigvis sant, og det er ikke nødvendig å forplikte seg til eksistensen av sanne teorier eller til ekte motsetninger for å akseptere en studie av parakherente logikker, innebærer ikke aksept av dialetisme. For eksempel med en empirisk visjon som vil begrense seg til å merke seg at empirisk parakherente logikker tilstrekkelig modellerer visse former for menneskelig resonnement. Dette er tilfelle med Bas van Fraassens forestilling om empirisk tilstrekkelighet . For eksempel kan deres evne til å akseptere paradoksale setninger fra naturlige språk som "Jeg lyver", løgnerens paradoks , uten problemer sammenlignes med evnen til å resonnere i naturlig språk uten bekymring til tross for muligheten for denne typen paradoks.

Filosofi

I klassisk logikk kan ikke loven om den ekskluderte tredje, loven om ikke-motsigelse og de tre lovene til Aristoteles ( ekskludert tredje , ikke-motsigelse og identitet ) dissosieres på grunn av gjensidig avhengighet av definisjonene av kontaktene. Videre er tradisjonelt tilstedeværelsen av motsetninger (i teorien eller i kunnskapsbasen) og trivialiteten (det faktum at en hvilken som helst formel er en konsekvens av teorien) antatt uatskillelig, så lenge negasjonen er definert. Disse prinsippene kan utfordres filosofisk nettopp fordi motsetning og andre mulige former for inkonsekvens ikke kan differensieres.

På den annen side er det mulig å gjenoppdage trivialitet ved å skille mellom sammenhenger og motsetninger hvis vi definerer disse forestillingene på en passende måte. Begrepene selv kan henvises til språket som er definert av logikk.

Kompromiss

Parakoherens innebærer et kompromiss om muligheten for slutninger. Spesielt krever forbud mot eksplosjonsprinsippet å forlate minst en av de helt naturlige lovene:

innføring av disjunksjon
disjunktiv syllogisme
Transitivitet av fradraget
eller "  Cut-off rule  "

Selv om spørsmålstegn ved hvert av disse prinsippene har blitt vurdert, er paralogikernes hovedtilnærming å avvise prinsippet om disjunktiv syllogisme. For en dialetist er det veldig fornuftig at denne regelen kan mislykkes: ideen uttrykt av denne regelen er at hvis ¬ A er sant, så kan A ikke være det. Så A ∨ B kan bare være sant hvis B også er sant . Men hvis det er mulig at A og ¬ A er sanne på samme tid, fungerer ikke dette resonnementet.

En annen tilnærming er ikke å inkludere introduksjonen av disjunksjonen, og å beholde den disjunctive syllogism and transitivity. Disjunksjon er definert som . Alle reglene for naturlig fradrag er da gyldige, bortsett fra bevis fra absurditet og innføring av disjunksjon. Dessuten betyr ikke nødvendigvis en annen forskjell med det naturlige trekk. Loven om den ekskluderte tredjedelen er også bevart, så vel som assosiativitet, kommutativitet, distribusjon, De Morgans lover og idempotens av sammenheng og disjunksjon i boolske uttrykk. Ved å definere involvering som det er et deduksjonssats, trekkesetningen paracohérent (in) . Carl Hewitt (in) er for denne tilnærmingen, fordi det å ha de vanlige boolske egenskapene, naturlig deduksjon og fradragssatsen er veldig viktig i applikasjonsområder som programvareteknikk .   

En enda annen tilnærming er å samle de to foregående. I mange relevante logiske systemer , så vel som i lineær logikk , er det to forskjellige kontakter for disjunksjon. Den ene tillater innføring av disjunksjonen, og den andre disjunctive syllogism. Åpenbart har denne tilnærmingen ulemper, for eksempel forvirringen mellom de to operatørene og kompleksiteten som skyldes at de er knyttet til hverandre.

De tre prinsippene nedenfor, samlet, resulterer i eksplosjonsprinsippet, så minst ett av dem må forlates:

Reductio ad absurdum
Regeldemping  (in)
eliminering av det dobbelte negative  (in)

De to første ble vurdert, uten særlig suksess. Dobbel negasjon bestrides, men av andre grunner. Ved å fjerne den og beholde de to andre, er det noen ganger mulig å bevise alle de negative proposisjonene fra en motsetning.

Eksempel på en parakohærent logikk: paradoksens logikk

En logisk system paracohérent den mest kjente er den som er kjent under tegnet LP ("Paradox of Logic", på engelsk " Logic of Paradox "), opprinnelig foreslått av den argentinske logikeren FG Asenjo  (i) i 1966 og popularisert av Priest et al. LP er bare en av de mange parakherente logikkene som foreslås. Det presenteres her som eksempel og illustrasjon om funksjonen til parakoherente logikker.

Relasjonsevaluering

En måte å presentere semantikken til LP er å erstatte den funksjonelle verdsettelsen av klassisk logikk med en relasjonell verdsettelse. Det binære forholdet matcher en formel til en sannhetsverdi: betyr at det er sant, og betyr at det er usant. En formel må være assosiert med minst én sannhetsverdi (men kanskje begge verdiene 0 eller 1). De semantiske klausulene om negasjon og disjunksjon blir deretter definert som:

Semantikk

Forholdet mellom logisk konsekvens blir da definert som bevaring av sannheten:

hvis og bare hvis er sant når hvert medlem av er sant.

La oss nå se på oppgaven som og uten . Det er lett å verifisere at denne oppgaven er et moteksempel på både eksplosjonen og den disjunktive syllogismen. Imidlertid er det også et moteksempel på modus ponens for den logiske implikasjonen av LP. Av denne grunn anser tilhengere av LP at det er bedre å utvide systemet til å omfatte en sterkere implikasjonskontakt som ikke kan defineres ved å bruke bare negasjon og disjunksjon i motsetning til klassisk implikasjon.

Det kan verifiseres at LP bevarer de fleste andre gyldige inferensskjemaer man måtte ønske, for eksempel De Morgans lover og reglene for naturlig fradrag for innføring og eliminering av negasjon, konjunktur og disjunktion. Overraskende nok er sannhetene ( tautologiene ) til LP akkurat den klassiske logikken. LP og klassisk logikk skiller seg bare i valg av slutninger som de anser som gyldige). Ved å slappe av forutsetningen om at hver formel er enten sant eller usant, resulterer det i den para-konsistente logikken kjent som FDE ( "First-Degree Entailment" ). I motsetning til LP inneholder FDE ikke tautologi.

Forholdet til annen logikk

En av de viktigste typene av parakohærent logikk er relevant logikk . En logikk sies å være relevant hvis den tilfredsstiller følgende egenskaper:

Eiendom:

Hvis A → B er et teorem, deler A og B en ikke-logisk konstant.

Det følger at en relevant logikk ikke kan ha en teorem for formen ( p ∧ ¬ p ) → q , og derfor under rimelige forutsetninger ikke kan validere resonnement som fra { p , ¬ p } beviser q .

Parakoherente logikker overlapper i stor grad med flerverdilogikk; Imidlertid er ikke alle parakherente logikker flerverdige, (og selvfølgelig er ikke alle flerverdige logikk parakherente). Dialeteistiske logikk, som er logikk med flere verdier, er parakohærent. Men det motsatte er ikke sant.

I en intuisjonistisk logikk er A ∨ ¬ A ikke nødvendigvis en sannhet, mens omvendt A ∧ ¬ A ikke nødvendigvis er falsk. Det virker derfor naturlig å se parakohærente logikker og intuisjonistiske logikker som dobbelt. Imidlertid er intuisjonistisk logikk et spesifikt logisk system, mens parakherente logikker danner en familie av systemer. I sammenheng, den doble oppfatningen av para sammenheng kalles para fullstendighet , og den doble av intuitionist logikk (en spesiell paracoherent logikk) er et system som kalles anti-intuitionist eller dobbel intuitionist logikk (noen ganger kalt brasiliansk logikk Brasiliansk logikk , av grunner historiske). Dualiteten sees godt i et rammeverk for beregning av sekvensene . Sekvensen er ikke forskjellig, mens det for sin dobbelte er sekvensen som ikke er det. På samme måten er ikke forskjellig mens er ikke forskjellig i det dobbelte. Dual-intuisjonist logikk har en kontakt som #kalles pseudo-forskjell, som er det dobbelte av intuisjonistisk implikasjon. Svært grovt kan A # B lese "  A men ikke B  ". Imidlertid #er den ikke funksjonell som man kan forvente av en 'men ikke' operatør; på samme måte kan intuisjonistisk implikasjon ikke behandles som ekvivalent med "  ¬ ( A ∧ ¬ B )  ". Denne logikken har også en kontakt ⊤som er ⊥intuisjonistens dobbelte : negasjonen kan defineres som ¬ A = (⊤ # A )

En fullstendig begrunnelse for denne dualiteten, inkludert en forklaring på hvorfor disse logikkene ikke sammenfaller, er i Brunner og Carnielli 2005 .

applikasjoner

Parakonsistente logikker har blitt brukt til å håndtere uoverensstemmelser på mange områder, inkludert:

Semantikk De er blitt foreslått som et middel for å gi definisjoner av sannhet som holder i møte med paradokser som løgnerparadokset . Imidlertid må disse systemene også unngå Curry-paradokset , som er mye vanskeligere fordi det i det vesentlige ikke innebærer sin egen negasjon. mengde teori og grunnlag for matematikk (se parakohærent matematikk [ ( d )  ] ). Noen mennesker tror At parakoherente logikker har en stor fremtid for tolkningen av Gödels ufullstendighetssetninger og Russells paradoks . epistemologi i tillegg til revisjon av troen , har denne logikken blitt foreslått som et middel til å resonnere med teorier som er uoverensstemmende med hverandre, og for modellering av trossystemer. kunnskapsadministrasjon og kunstig intelligens informatikere har brukt parakherente logikker som en mulighet til å håndtere informasjon som inneholder inkonsekvenser. deontisk logikk og metaetikk de er blitt foreslått som en mulighet til å håndtere etiske konflikter og andre normative konflikter. programvareteknikk de er blitt foreslått som en måte å håndtere inkonsekvenser i dokumentasjon, brukstilfeller og i kode for stor programvareinfrastruktur. Elektronisk i dette området brukes fireverdige logikker rutinemessig, med "høyimpedans (z)" og "ikke viktig (x)" verdier som spiller roller som "ukjent" og "sant og usant for" begge ", i tillegg til "true" og "false". Denne logikken ble utviklet uavhengig av feltet matematisk logikk.

Anmeldelser

Noe kritikk av dialetisme på oppgivelsen av de ene prinsippene for fradrag som det er nødvendig å forlate. Hvis eksplosjonsprinsippet kan være mot-intuitivt, er det også mot-intuitivt å forlate deduksjonsprinsipper som er så lite tvilsomme. Ved å balansere de to kan man vurdere at de grunnleggende prinsippene er viktigere enn fraværet av eksplosjonsprinsippet.

Andre kritikker, som for eksempel filosofen David Lewis , fokuserer på muligheten for en motsetning. En beslektet bemerkning gjelder arten av negasjon i parakonsistent logikk: det er utvilsomt ikke en negasjon i den sterkeste forstand av begrepet; det er enklere en operatør av underkontrolltypen .

Alternativer

Multivalued logikk

Ulike tilnærminger eksisterer, spesielt for slutning i nærvær av inkonsekvente oppfatninger som ikke bryter med noen av prinsippene for intuitivt deduksjon. De fleste av disse tilnærmingene bruker logikk med flere verdier  (in) forsynt med type inferens Bayesian og Dempster-Shafer , noe som tillater litt ikke-tautologisk tro på ikke å være helt ugjendrivelig (med en annen sannsynlighet på 1 per eksempel) fordi den er basert på ufullstendig, altfor abstrakte, (feiltolkede), sannsynligvis ubekreftede eller potensielt uriktige data. (Selvfølgelig inneholder den samme antagelsen, hvis den ikke er tautologisk, sin egen motbevisbarhet, hvis vi med "motbevisbarhet" mener vi "ikke helt (100%) ugjendrivelig".). Disse systemene forlater i praksis visse logiske prinsipper uten å forkaste dem i teorien.

Kontekstuell logikk

Den kontekstuelle logikken foreslår å integrere tenkningen i resonnementet formelt, ved å bruke formelen c → f (for c en elementær proposisjon av språk som symboliserer tanken, og f formel som beskriver den). Den oppnådde formalismen tilfredsstiller følgende egenskaper: hvis c 1 → f , hvis c 2 → g , og hvis f ∧ g → h , så kan en intelligent agent tro på { c 1 , f } og { c 2 , g } og ne ikke tro h . Denne observasjonen fører til å definere en ikke-monoton semantikk som respekterer de monotone reglene for syntaktisk produksjon av proposisjonslogikk . Det gjør det mulig å modellere og bruke samtidig i samme kunnskapsbase 2 sammenhenger c 1 og c 2 muligens inkonsekvente med hverandre.

Bemerkelsesverdige mennesker i felt

Noen navn som har bidratt eller fremdeles bidrar til utviklingen av parakherente logikker:

Merknader og referanser

Bibliografi

På fransk
  • Gilles Gaston Granger Det irrasjonelle , kapittel 5 Tilgangen til det irrasjonelle i logikken, side 139-179, Paris, Odile Jacob, 1998. Kapittelet er helt viet til parakonsistente logikker inkludert da Costa.
På engelsk
  • (en) Jean-Yves Béziau, Walter Carnielli og Dov Gabbay , Handbook of Paraconsistency , London, King's College,2007, 512  s. ( ISBN  978-1-904987-73-4 , ASIN  1904987737 )
  • Hiroshi Aoyama, “  LK, LJ, Dual Intuitionistic Logic, and Quantum Logic,  ” Notre Dame Journal of Formal Logic , vol.  45, n o  4,2004, s.  193–213 ( DOI  10.1305 / ndjfl / 1099238445 )
  • (en) Leopoldo, red. Bertossi , inkonsistensstoleranse , Berlin, Springer,2004( ISBN  3-540-24260-0 )
  • Andreas Brunner og Walter Carnielli , “  Anti-intuitionism and paraconsistency,  ” Journal of Applied Logic , vol.  3, n o  1,2005, s.  161–184 ( DOI  10.1016 / j.jal.2004.07.016 )
  • (en) Jean-Yves Béziau , Frontiers of Paraconsistent Logic , Baldock, Research Studies Press,2000( ISBN  0-86380-253-2 ) , “Hva er parakonsistent logikk? » , P.  95–111
  • (en) Manuel Bremer , En introduksjon til parakonsistent logikk , Frankfurt, Peter Lang ,2005, 249  s. ( ISBN  3-631-53413-2 )
  • (no) Bryson Brown , en ledsager til filosofisk logikk , Malden, Massachusetts, Blackwell Publishers,2002( ISBN  0-631-21671-5 ) , “Om parakonsistens” , s.  628–650
  • (en) Walter Carnielli , Marcelo E. Coniglio og J, Marcos , Handbook of Philosophical Logic, Volume 14 , The Netherlands, Kluwer Academic Publishers ,2007, 2 nd  ed. ( ISBN  1-4020-6323-7 ) , “Logics of Formal Inconsistency” , s.  1–93
  • Solomon Feferman, “  Journal of Symbolic Logic,  ” The Journal of Symbolic Logic , vol.  49, n o  1,1984, s.  75–111 ( JSTOR  2274093 )
  • Hewitt, Carl (2008a). "Storskala organisatorisk databehandling krever ustratifisert refleksjon og sterk parakonsistens" Koordinering, organisasjoner, institusjoner og normer i Agent Systems III 4780 , Jaime Sichman, Pablo Noriega, Julian Padget og Sascha Ossowski (red.) ( DOI : 10.1007 / 978-3 -540-79003-7 ). 
  • (en) Hewitt, Carl “  Sunn fornuft for samtidighet og inkonsistensstoleranse ved bruk av Direct Logic TM og Actor-modellen  ”, 2008b.
  • (no) David Lewis , Papers in Philosophical Logic , Cambridge, Cambridge University Press ,1998( 1 st  ed. 1982) ( ISBN  0-521-58788-3 ) , "Logic for Equivocators" , s.  97–110
  • Lorenzo Peña , “  Graham Priests 'Dialetheism': Er det helt sant?  », Sorites , vol.  7,1996, s.  28–56 ( lest online , åpnet 3. mai 2009 )
  • Graham Priest , håndbok for filosofisk logikk, bind 6 , Nederland, Kluwer akademiske forlag ,2002, 2 nd  ed. ( ISBN  1-4020-0583-0 ) , “Paraconsistent Logic. », P.  287–393
  • Graham Priest og Koji Tanaka, “  Paraconsistent Logic  ” , Stanford Encyclopedia of Philosophy , 1996, 2009 (åpnet 17. juni 2010 ) (Først publisert tirsdag24. september 1996, betydelig revisjon fredag 20. mars 2009)
  • BH Slater, “  Parakonsistent Logics?  ”, Journal of Philosophical Logic , vol.  24, n o  4,1995, s.  451–454 ( DOI  10.1007 / BF01048355 )
  • (en) John Woods , Paradox and paraconsistency: conflict resolution in the abstract sciences , Cambridge, Cambridge University Press ,2003, 362  s. ( ISBN  0-521-00934-0 )

Eksterne linker

Referanser

  1. Prest 2002 , s.  288, §3.3.
  2. (i) W. Carnielli og J. Marcos, "  Ex contradictione non sequitur Quodlibet  " , Proc. 2. konf. om resonnement og logikk ,2001( les online ) (Bucuresti, juli 2000)
  3. "  Hodges, Wilfrid, Tarskis sannhetsdefinisjoner  " , fra Stanford Encyclopedia of Philosophy
  4. Jennifer Fisher, om filosofien om logikk , læring av cengage,2007, 240  s. ( ISBN  978-0-495-00888-0 , leses online ) , s.  132–134
  5. Graham Priest, "Paraconsistency and Dialetheism" , i Dov M. Gabbay og John Woods, The Many Valued and Nonmonotonic Turn in Logic , Elsevier,2007( ISBN  978-0-444-51623-7 , leses online ) , s.  131
  6. Otávio Bueno, Philosophies of Sciences: A Guide , Fritz Allhoff / John Wiley & Sons,2010( ISBN  978-1-4051-9995-7 , leses online ) , “Logikkfilosofi”, s.  55
  7. Hewitt (2008b)
  8. Hewitt (2008a)
  9. Prest 2002 , s.  306.
  10. En gjennomgang av mulige tilnærminger kan leses i Bremer 2005 og i Priest 2002 er en stor familie av disse logikkene utviklet i Carnielli, Congilio og Marcos (2007).
  11. Vi kan også representere LP som trivialisert logikk ( true , false og begge deler ).
  12. Prest 2002 , §5.
  13. Prest 2002 , s.  310.
  14. Se Aoyama (2004).
  15. Disse eksemplene er diskutert i Bremer (2005) og Priest (2002).
  16. Se Sannhetsvedlikeholdssystemer ( resonnementvedlikeholdssystem [ ( d )  ]
  17. artiklene av Bertossi et al. (2004).
  18. se Lewis (1982).
  19. Se Slater (1995), Béziau (2000).

Relaterte artikler