Eksplosjonsprinsipp

Den prinsippet for eksplosjon , uttalte i Latin ex falso quodlibet eller ex contradictione sequitur quodlibet , "fra en selvmotsigelse, kan man utlede hva man ønsker" eller prinsippet om Pseudo-Scotus , er en lov av klassisk logikk , av intuitionist logikk og andre logikk, ifølge hvilken ethvert utsagn kan trekkes fra en motsetning. Enkelte andre logikker som ikke-monotone logikker , som prøver å håndtere bestemte tilfeller, minimal logikk eller parakherente logikker, har ikke eksplosjonsprinsipper og prøver å håndtere motsetninger annerledes.

Illustrasjon av prinsippet

Innenfor rammene av en formell resonnement vil vi utlede enhver annen bekreftelse fra alle men motstridende bekreftelser. Disse uttalelsene kan under gitte betingelser være sanne eller falske. Noen vanlig aksepterte regler for fradrag tillater logisk at andre uttalelser kan trekkes fra tidligere aksepterte uttalelser. Vi sier at reglene er gyldige hvis vi er sikre på at anvendelsen av disse reglene fra sanne uttalelser også gir sanne uttalelser.

En uformell illustrasjon og begrunnelse av prinsippet kan angis som følger.

La oss ta to motstridende uttalelser, som vil tjene som utgangspunkt:

• Alle sitroner er gule og
• noen sitroner er ikke gule .

Fra disse to utsagnene, antok både sant, vi vil vise at den julenissen finnes , som følger:

1. Vi vet at alle sitroner er gule , ved gjetning.
2. Vi utleder (2) Alle sitroner er gule eller julenissen eksisterer . Siden den første delen er sant, trenger vi ikke å verifisere den andre delen fordi det er tilstrekkelig at minst en av de to delene er sanne for at setningen skal være sant. For at "A eller B" skal være sant, er det tilstrekkelig at A er sant eller at B er sant.
3. Imidlertid, hvis noen sitroner ikke er gule , noe som også er hypotetisk sant, ugyldiggjør den første delen av fradraget (2).
   Vi utledet det fra en gyldig fradragsregel, så det er vist at det er sant i vårt resonnement. Det første alternativet som er i strid med hypotesen vår, det andre alternativet, julenissen eksisterer , må derfor nødvendigvis være sant for at uttalelsen skal verifiseres.

Så vi har demonstrert at julenissen eksisterer, og vi kan demonstrere ethvert krav på en lignende måte, inkludert julenissen ikke eksisterer , ganske enkelt ved først å anta to motstridende forslag. Derav den aktuelle regelen: Fra det falske kan man utlede hva som helst.

Symbolsk representasjon

Prinsippet om eksplosjon, på en litt mer formell måte, kan uttales (" " representerer forholdet mellom logisk deduksjon ): ⊢{\ displaystyle \ vdash}

{ϕ,¬ϕ}⊢ψ{\ displaystyle \ {\ phi, \ lnot \ phi \} \ vdash \ psi} eller ⊥→P{\ displaystyle \ bot \ til P}.

som kan leses hvis vi sier at en bekreftelse er sant ( ) og at negasjonen ( ) også er sant , kan vi utlede en hvilken som helst konklusjon ( ).ϕ{\ displaystyle \ phi \,}¬ϕ{\ displaystyle \ lnot \ phi}ψ{\ displaystyle \ psi}

Diskusjon om dette prinsippet

Et uformelt og beskrivende argument er gitt i innledningen. I mer formelle termer er det to typer argumenter for eksplosjonsprinsippet, en semantisk , den andre i bevisteori .

I semantikk

Det semantiske argumentet er hentet fra modellteori . I modellteori sier vi at en fortolkningsstruktur er en modell for en teori hvis teorien er sann i basissettet til denne strukturen. En proposisjon er i dette rammeverket en semantisk konsekvens av et sett med andre proposisjoner bare hvis hver av modellene av er en modell av . For å snakke om eksplosjonsprinsippet, vil man merke at det ikke er noen modell, det vil si struktur, av den motstridende helheten . A fortiori , det er ingen modell som er modell for . Derfor, ikke strengt tatt, er hver modell av en modell av . er derfor en semantisk konsekvens av . ψ{\ displaystyle \ psi}Γ{\ displaystyle \ Gamma}Γ{\ displaystyle \ Gamma}ψ{\ displaystyle \ psi}{ϕ,¬ϕ}{\ displaystyle \ {\ phi, \ lnot \ phi \}}{ϕ,¬ϕ}{\ displaystyle \ {\ phi, \ lnot \ phi \}}ψ{\ displaystyle \ psi}{ϕ,¬ϕ}{\ displaystyle \ {\ phi, \ lnot \ phi \}}ψ{\ displaystyle \ psi}ψ{\ displaystyle \ psi}{ϕ,¬ϕ}{\ displaystyle \ {\ phi, \ lnot \ phi \}}

I bevissteori

I bevisteori kan prinsippet illustreres med følgende bevis der navnet på reglene som er gitt er gitt i naturlig fradrag og Fitchs stil for naturlig deduksjon  :

La oss først ta den symbolske versjonen av argumentet fra innledningen

(1) ϕ∧¬ϕ{\ displaystyle \ phi \ wedge \ neg \ phi \,} hypotese (2) ϕ{\ displaystyle \ phi \,} fra (1) ved regelen om eliminering av sammenhengen (3) ¬ϕ{\ displaystyle \ neg \ phi \,} av (1) ved å eliminere sammenhengen (4) ϕ∨ψ{\ displaystyle \ phi \ vee \ psi \,} av (2) ved den innledende regel om disjunksjon (5) ψ{\ displaystyle \ psi \,} av (3) og (4) etter resolusjonsregelen (6) (ϕ∧¬ϕ)→ψ{\ displaystyle (\ phi \ wedge \ neg \ phi) \ til \ psi} av (5) ved å introdusere implikasjonen (eliminere hypotesen (1))

ϕ{\ displaystyle \ phi}er i vår innledning illustrert av "alle sitroner er gule" og er "julenissen eksisterer". Fra motsetningen "alle sitroner er gule og noen sitroner er ikke gule" (1), trekker vi først ut "alle sitroner er gule" (2) deretter "noen sitroner er ikke gule" (3); fra "alle sitroner er gule" (2), utleder vi "alle sitroner er gule eller julenissen eksisterer" (4); til slutt av "noen sitroner er ikke gule" (3) og fra forrige konsekvens (4), utleder vi "julenissen eksisterer" (5). Til slutt trekker vi ut i (6) at hvis alle sitroner er gule og hvis noen ikke er gule, så eksisterer julenissen. ψ{\ displaystyle \ psi}

Andre demonstrasjoner er mulig

1. ϕ∧¬ϕ{\ displaystyle \ phi \ wedge \ neg \ phi} : etter hypotese
2. ϕ{\ displaystyle \ phi} : fra (1) ved eliminering av sammenhengen
3. ¬ϕ{\ displaystyle \ neg \ phi \,} : fra (1) ved eliminering av sammenhengen
4. ¬ψ{\ displaystyle \ neg \ psi \,} : annen hypotese
5. ϕ{\ displaystyle \ phi \,} : gjentakelse av (2)
6. ¬ψ→ϕ{\ displaystyle \ neg \ psi \ to \ phi} : fra (4) og (5) ved trekksetningen  (i)
7. (¬ϕ→¬¬ψ){\ displaystyle (\ neg \ phi \ to \ neg \ neg \ psi)} : fra (6) ved kontraposisjon
8. ¬¬ψ{\ displaystyle \ neg \ neg \ psi} : fra (3) og (7) av modus ponens
9. ψ{\ displaystyle \ psi \,} : de (8) ved å eliminere den dobbelte negasjonen  (en)
10. (ϕ∧¬ϕ)→ψ{\ displaystyle (\ phi \ wedge \ neg \ phi) \ til \ psi} : fra (1) og (9) ved trekksetningen

Eller:

1. ϕ∧¬ϕ{\ displaystyle \ phi \ wedge \ neg \ phi \,} hypotese
2. ¬ψ{\ displaystyle \ neg \ psi \,} hypotese
3. ϕ{\ displaystyle \ phi \,} av (1) ved eliminering av sammenhengen
4. ¬ϕ{\ displaystyle \ neg \ phi \,} av (1) ved eliminering av sammenhengen
5. ¬¬ψ{\ displaystyle \ neg \ neg \ psi \,} av (3) og (4) av reductio ad absurdum (forbrukshypotese 2)
6. ψ{\ displaystyle \ psi \,} av (5) ved å eliminere den dobbelte negasjonen
7. (ϕ∧¬ϕ)→ψ{\ displaystyle (\ phi \ wedge \ neg \ phi) \ til \ psi} av (6) ved å introdusere implikasjonen (ved å konsumere (1))

Løs problemene med eksplosjonsprinsippet

Den paracohérentes logikk er laget for å tillate visse former for lave negations. Logikere som ser på logikk fra vinkelen til formell semantikk , for de fleste av dem, tror at det er modeller for det motstridende formelsettet og diskuterer semantikk som tillater deres eksistens. På en annen måte kan de også avvise ideen om at proposisjoner kan klassifiseres mellom sanne proposisjoner og falske proposisjoner. Semantikken til bevis i parakohærent logikk benekter vanligvis gyldigheten av prinsippet, ved å forhindre et av trinnene som er nødvendige for å oppnå det, typisk den disjunktive syllogismen, innføringen av disjunksjonen eller til og med demonstrasjonen av det absurde . {ϕ,¬ϕ}{\ displaystyle \ {\ phi, \ lnot \ phi \}}

Når det gjelder det semantiske nettet , der det er nesten umulig at det ikke er forskjellige motstridende kilder til informasjon, ettersom leverandørene er mange og ikke nødvendigvis er enige mellom dem, har det blitt foreslått av logikkene som eksisterer sammen to typer negasjoner , og hvor ikke-motsigelse bare er eksplisitt påkrevd.

applikasjoner

Den metamathematic Betydningen av prinsippet for eksplosjon er slik at, i en hvilken som helst logikk i hvilken det er bekreftet, et bevis på (enten falsk , eller en tilsvarende form, som ) ville slå alle sine formler inn i teoremer , noe som gjør den ubrukelig system. Eksplosjonsprinsippet er en av årsakene til eksistensen av ikke-motsigelsesprinsippet i klassisk logikk , og ikke å innlemme det ville gjøre noen sann bekreftelse gal. ⊥{\ displaystyle \ bot}ϕ∧¬ϕ{\ displaystyle \ phi \ land \ lnot \ phi}

Relaterte artikler

• Consequentia mirabilis  : Loven om Clavius
• Dialetisme  : tro på eksistensen av reelle motsetninger
• Prinsippet for den ekskluderte tredjeparten  : hvert forslag er enten sant eller usant
• Prinsippet om ikke-motsigelse  : ingen proposisjoner kan være sanne og falske samtidig
• Paracoherent logikk  : en modal logikk brukes til å administrere motsetninger
• Paradoks av resultatet  (in)  : et tilsynelatende paradoks avledet fra eksplosjonsprinsippet
• Resonnering av det absurde  : å demonstrere at en proposisjon er falsk fordi bekreftelse av den fører til en motsetning
• Trivialisme  : troen på at alle proposisjoner av formen "P eller ikke-P" er sanne
• 2 + 2 = 5  : fra denne falske forutsetningen ville logikeren Bertrand Russell ha gjort en retorisk demonstrasjon av eksplosjonsprinsippet.

Referanser

(fr) Denne artikkelen er delvis eller helt hentet fra Wikipedia-artikkelen på engelsk med tittelen "  Eksplosjonsprinsipp  " ( se listen over forfattere ) .

1. (i) Carnielli, W. og Marcos J., "  " Ex contradictione non sequitur Quodlibet "  " , Proc. 2. konf. om resonnement og logikk , Bucuresti,Juli 2001( les online )
2. (in) Anastasia Analysi, Grigoris Antoniou, Carlos Viegas Dam ASIO, Gerd Wagner, "  Negation and Negative information in the W3C Resource Description Framework  " , Annals of Mathematics, Computing & Teleinformatics (AMCT) ,2004( les online )

<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">