Fréchets lov

Fréchets lov
Sannsynlighetstetthet
Distribusjonsfunksjon
Innstillinger	α∈]0,∞[{\ displaystyle \ alpha \ in] 0, \ infty [} formparameter . (to valgfrie parametere) parameterskala (standard ) posisjonsparameter for minimum (standard ) s∈]0,∞[{\ displaystyle s \ in] 0, \ infty [} s=1{\ displaystyle s = 1 \,} m∈]-∞,∞[{\ displaystyle m \ in] - \ infty, \ infty [} m=0{\ displaystyle m = 0 \,}
Brukerstøtte	x>m{\ displaystyle x> m}
Sannsynlighetstetthet	αs(x-ms)-1-αe-(x-ms)-α{\ displaystyle {\ frac {\ alpha} {s}} \; \ left ({\ frac {xm} {s}} \ right) ^ {- 1- \ alpha} \; e ^ {- ({\ frac {xm} {s}}) ^ {- \ alpha}}}
Distribusjonsfunksjon	e-(x-ms)-α{\ displaystyle e ^ {- ({\ frac {xm} {s}}) ^ {- \ alpha}}}
Håp	{ m+sΓ(1-1α)til α>1 ∞Hvis ikke{\ displaystyle {\ begin {cases} \ m + s \ Gamma \ left (1 - {\ frac {1} {\ alpha}} \ right) & {\ text {for}} \ scriptstyle \ alpha> 1 \\ \ \ infty og {\ text {ellers}} \ end {cases}}}
Median	m+sLogge⁡(2)α{\ displaystyle m + {\ frac {s} {\ sqrt [{\ alpha}] {\ log _ {e} (2)}}}}
Mote	m+s(α1+α)1/α{\ displaystyle m + s \ left ({\ frac {\ alpha} {1+ \ alpha}} \ right) ^ {1 / \ alpha}}
Forskjell	{s2(Γ(1-2α)-(Γ(1-1α))2)til α>2 ∞Hvis ikke{\ displaystyle {\ begin {cases} \ scriptstyle s ^ {2} \ left (\ Gamma \ left (1 - {\ frac {2} {\ alpha}} \ right) - \ left (\ Gamma \ left (1 - {\ frac {1} {\ alpha}} right) \ right) ^ {2} \ right) & {\ text {for}} \ scriptstyle \ alpha> 2 \\\ \ infty & {\ text {ellers }} \ end {cases}}}
Asymmetri	se artikkelen
Normalisert kurtose	se artikkelen
Entropi	1+γα+γ+ln⁡(sα){\ displaystyle 1 + {\ frac {\ gamma} {\ alpha}} + \ gamma + \ ln \ left ({\ frac {s} {\ alpha}} \ right)}, hvor er Euler-Mascheroni-konstanten . γ{\ displaystyle \ gamma}
Moment-genererende funksjon	det K- th øyeblikket eksisterer dersomα>k{\ displaystyle \ alpha> k}
Karakteristisk funksjon	se Muraleedharan, Soares & Lucas (2011)

I sannsynlighetsteori og statistikk er Fréchets lov et spesielt tilfelle av generalisert ekstrumrett på samme måte som Gumbels lov eller Weibulls lov .

Navnet på denne loven skyldes Maurice Fréchet , forfatter av en artikkel om dette emnet i 1927. Senere arbeid ble utført av Ronald Aylmer Fisher og LHC Tippett i 1928 og av Emil Julius Gumbel i 1958.

Definisjon

Dens distribusjonsfunksjon er gitt av:

P(X≤x)={e-x-α hvis x>00 Hvis ikke{\ displaystyle \ mathbb {P} (X \ leq x) = {\ begin {cases} e ^ {- x ^ {- \ alpha}} & {\ text {si}} x> 0 \\ 0 & {\ tekst {ellers}} \ end {cases}}}

hvor er en formparameter . Denne loven kan generaliseres ved å innføre en posisjonsparameter m av minimum og en skalaparameter s > 0. Fordelingsfunksjonen er da: α>0{\ displaystyle \ alpha> 0}

P(X≤x)={e-(x-ms)-α hvis x>m0 Hvis ikke.{\ displaystyle \ mathbb {P} (X \ leq x) = {\ begin {cases} e ^ {- \ left ({\ frac {xm} {s}} \ right) ^ {- \ alpha}} & { \ text {si}} x> m \\ 0 og {\ text {ellers.}} \ end {cases}}}

Eiendommer

Øyeblikk

Den ene parameter Fréchet lov har standard øyeblikk : α{\ displaystyle \ alpha}

μk=∫0∞xkf(x)dx=∫0∞t-kαe-tdt{\ displaystyle \ mu _ {k} = \ int _ {0} ^ {\ infty} x ^ {k} f (x) dx = \ int _ {0} ^ {\ infty} t ^ {- {\ frac {k} {\ alpha}}} e ^ {- t} dt},

(med ) definert for  : t=x-α{\ displaystyle t = x ^ {- \ alpha}}k<α{\ displaystyle k <\ alpha}

μk=Γ(1-kα){\ displaystyle \ mu _ {k} = \ Gamma \ left (1 - {\ frac {k} {\ alpha}} \ right)}

hvor er Gamma-funksjonen . Γ(z){\ displaystyle \ Gamma \ left (z \ right)}

Spesielt :

• For det håp erα>1{\ displaystyle \ alpha> 1}E[X]=Γ(1-1α){\ displaystyle \ mathbb {E} [X] = \ Gamma (1 - {\ tfrac {1} {\ alpha}})}
• For at variansen er .α>2{\ displaystyle \ alpha> 2}Var(X)=Γ(1-2α)-(Γ(1-1α))2{\ displaystyle {\ text {Var}} (X) = \ Gamma (1 - {\ tfrac {2} {\ alpha}}) - {\ big (} \ Gamma (1 - {\ tfrac {1} {\ alfa}}) {\ big)} ^ {2}}

Kvantiler

Den orden quantile kan uttrykkes ved den inverse av fordelingsfunksjonen: qy{\ displaystyle q_ {y}}y{\ displaystyle y}

qy=F-1(y)=(-Logge⁡y)-1α{\ displaystyle q_ {y} = F ^ {- 1} (y) = \ left (- \ log _ {e} y \ right) ^ {- {\ frac {1} {\ alpha}}}}.

Spesielt er medianen :

q1/2=(Logge⁡2)-1α{\ displaystyle q_ {1/2} = (\ log _ {e} 2) ^ {- {\ frac {1} {\ alpha}}}}.

Den modusen av Fréchet lov er . (αα+1)1α{\ displaystyle \ left ({\ frac {\ alpha} {\ alpha +1}} \ right) ^ {\ frac {1} {\ alpha}}}

For Fréchet-loven med tre parametere er den første kvartilen og den tredje kvartilen . q1=m+sLogg⁡(4)α{\ displaystyle q_ {1} = \ scriptstyle m + {\ frac {s} {\ sqrt [{\ alpha}] {\ log (4)}}}}q3=m+sLogg⁡(43)α{\ displaystyle q_ {3} = \ scriptstyle m + {\ frac {s} {\ sqrt [{\ alpha}] {\ log ({\ frac {4} {3}})}}}

Asymmetri og kurtose

Den asymmetri av Fréchet lov er:

{ Γ(1-3α)-3Γ(1-2α)Γ(1-1α)+2Γ3(1-1α)(Γ(1-2α)-Γ2(1-1α))3til α>3 ∞Hvis ikke{\ displaystyle {\ begin {cases} \ {\ frac {\ Gamma \ left (1 - {\ frac {3} {\ alpha}} \ right) -3 \ Gamma \ left (1 - {\ frac {2} {\ alpha}} \ høyre) \ Gamma \ venstre (1 - {\ frac {1} {\ alpha}} \ høyre) +2 \ Gamma ^ {3} \ venstre (1 - {\ frac {1} {\ alfa}} \ høyre)} {\ sqrt {\ left (\ Gamma \ left (1 - {\ frac {2} {\ alpha}} \ right) - \ Gamma ^ {2} \ left (1 - {\ frac {1} {\ alpha}} \ right) \ right) ^ {3}}}} og {\ text {for}} \ alpha> 3 \\\ \ infty & {\ text {ellers}} \ end {cases }}}

den kurtosen er:

{ -6+Γ(1-4α)-4Γ(1-3α)Γ(1-1α)+3Γ2(1-2α)[Γ(1-2α)-Γ2(1-1α)]2til α>4 ∞Hvis ikke{\ displaystyle {\ begin {cases} \ -6 + {\ frac {\ Gamma \ left (1 - {\ frac {4} {\ alpha}} \ right) -4 \ Gamma \ left (1 - {\ frac {3} {\ alpha}} \ right) \ Gamma \ left (1 - {\ frac {1} {\ alpha}} \ right) +3 \ Gamma ^ {2} \ left (1 - {\ frac {2 } {\ alpha}} \ right)} {\ left [\ Gamma \ left (1 - {\ frac {2} {\ alpha}} \ right) - \ Gamma ^ {2} \ left (1 - {\ frac {1} {\ alpha}} \ right) \ right] ^ {2}}} og {\ text {pour}} \ alpha> 4 \\\ \ infty & {\ text {ellers}} \ end {cases} }}

applikasjoner

I hydrologi brukes Fréchets lov til ekstreme hendelser som årlig maksimal daglig nedbør eller elvestrøm. Den blå figuren illustrerer et anvendelig eksempel på Fréchets lov om årlig maksimal daglig nedbør i Oman , som også viser 90% konfidensbånd basert på binomiloven .

Koblinger til andre lover

• Hvis ( kontinuerlig enhetlig lov ) daX∼U(0,1){\ displaystyle X \ sim U (0,1) \,}m+s(-Logg⁡(X))-1/α∼Frechet(α,s,m){\ displaystyle m + s (- \ log (X)) ^ {- 1 / \ alpha} \ sim {\ textrm {Frechet}} (\ alpha, s, m) \,}
• Hvis daX∼Frechet(α,s,m){\ displaystyle X \ sim {\ textrm {Frechet}} (\ alpha, s, m) \,}kX+b∼Frechet(α,ks,km+b){\ displaystyle kX + b \ sim {\ textrm {Frechet}} (\ alpha, ks, km + b) \,}
• Hvis og daXJeg=Frechet(α,s,m){\ displaystyle X_ {i} = {\ textrm {Frechet}} (\ alpha, s, m) \,}Y=maks{X1,...,Xikke}{\ displaystyle Y = \ max \ {\, X_ {1}, \ ldots, X_ {n} \, \} \,}Y∼Frechet(α,ikke1αs,m){\ displaystyle Y \ sim {\ textrm {Frechet}} (\ alpha, n ^ {\ tfrac {1} {\ alpha}} s, m) \,}
• Hvis ( Weibulls lov ) daX∼Weibull(k=α,λ=m){\ displaystyle X \ sim {\ textrm {Weibull}} (k = \ alpha, \ lambda = m) \,}m2X∼Frechet(α,s,m){\ displaystyle {\ tfrac {m ^ {2}} {X}} \ sim {\ textrm {Frechet}} (\ alpha, s, m) \,}

Merknader og referanser

(fr) Denne artikkelen er helt eller delvis hentet fra Wikipedia-artikkelen på engelsk med tittelen "  Fréchet distribution  " ( se forfatterlisten ) .

1. (en) G. Muraleedharan, C. Guedes Soares og Cláudia Lucas, kap.  14 “Karakteristiske og øyeblikkelig genererende funksjoner av generalisert ekstrem verdifordeling (GEV)” , i Linda L. Wright, Sea Level Rise, Coastal Engineering, Shorelines and Tides , Nova Science Publishers ,2011( ISBN  978-1-61728-655-1 ) , s.  269-276/
2. (in) Stuart Coles, En introduksjon til statistisk modellering av ekstreme verdier , London, Springer-Verlag ,2001, 2 nd  ed. , 208  s. ( ISBN  978-1-85233-459-8 , les online ).

Se også

Bibliografi

• M. Fréchet, "Om loven om sannsynlighet for maksimalt avvik", Ann. Soc. Polon. Matte. , flygning. 6, nr .  3, 1927
• (en) RA Fisher og LHC Tippett, "Begrensende former for frekvensfordeling for det største og minste medlem av en prøve", Proc. Cambridge Phil. Soc. , flygning. 24, 1928, s.  180-190
• (no) EJ Gumbel, Statistics of Extremes , Columbia University Press, New York, 1958
• (no) S. Kotz og S. Nadarajah, Extreme Value Distributions: Theory and Applications , World Scientific, 2000 ( ISBN  1860942245 )

Eksterne linker

• (no) En anvendelse av en ny ekstrem verdifordeling på luftforurensningsdata
• Bøleanalyse for utmattelse og havografi

<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">