Poisson-ligning
I vektoranalyse , den Poisson-ligningen (så oppkalt etter den franske matematikeren og fysiker Siméon Denis Poisson ) er den følgende andre ordens elliptisk partiell differensialligning :
Δϕ=f{\ displaystyle \ displaystyle \ Delta \ phi = f}hvor er den laplaciske operatøren og er en generelt gitt fordeling.
Δ{\ displaystyle \ displaystyle \ Delta}f{\ displaystyle \ displaystyle f}
På et domene avgrenset av og med en vanlig grense, er problemet med å finne fra og tilfredsstille visse passende grensebetingelser et godt posert problem : løsningen eksisterer og er unik.
RIKKE{\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {N}}ϕ{\ displaystyle \ displaystyle \ phi}f{\ displaystyle \ displaystyle f}
Dette problemet er viktig i praksis:
ΔV=-ρε0.{\ displaystyle \ Delta V = - {\ rho \ over \ varepsilon _ {0}}.}ΔΦ=4πGρ{\ displaystyle \ displaystyle \ Delta \ Phi = 4 \ pi \, G \, \ rho}- I fluidmekanikk , for ukomprimerbare strømmer, er trykket relatert til hastighetsfeltet ved hjelp av en Poisson-ligning. For eksempel, i 2D, ved å merke komponentene i hastighetsfeltet , skrives forholdet:s{\ displaystyle p}u{\ displaystyle {\ boldsymbol {u}}}u=(ux,uy){\ displaystyle {\ boldsymbol {u}} = (u_ {x}, u_ {y})}
Δs=-1ρ((∂ux∂x)2+2∂ux∂y∂uy∂x+(∂uy∂y)2),{\ displaystyle \ Delta p = - {1 \ over \ rho} \ venstre (\ venstre ({\ frac {\ delvis u_ {x}} {\ delvis x}} \ høyre) ^ {2} +2 {\ frac {\ delvis u_ {x}} {\ delvis y}} {\ frac {\ delvis u_ {y}} {\ delvis x}} + \ venstre ({\ frac {\ delvis u_ {y}} {\ delvis y }} \ right) ^ {2} \ right),}
hvor er væskens tetthet.
ρ{\ displaystyle \ rho}
Betingelser til det ytterste
Poisson-ligningen er ufølsom for addisjonen på en funksjon som tilfredsstiller Laplace-ligningen (eller for eksempel en enkel lineær funksjon ), og en grensetilstand er nødvendig for å forvente at løsningen er unik: for eksempel Dirichlet- forholdene , de av Neumann eller blandet forhold på deler av grensen .
ϕ{\ displaystyle \ displaystyle \ phi}
To-dimensjonal Poisson-ligning
I kartesiske koordinater i , vurder en åpen , en kontinuerlig funksjon på og en kontinuerlig funksjon på grensen . Problemet er å finne en funksjon av to reelle variabler definert som tilfredsstiller de to relasjonene:
R2{\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {2}}Ω{\ displaystyle \ displaystyle \ Omega}f{\ displaystyle \ displaystyle f}Ω{\ displaystyle \ displaystyle \ Omega}g{\ displaystyle \ displaystyle g}∂Ω{\ displaystyle \ partial \ Omega}φ(x,y){\ displaystyle \ varphi (x, y)}Ω{\ displaystyle \ displaystyle \ Omega}
∂2∂x2φ(x,y)+∂2∂y2φ(x,y)=f(x,y){\ displaystyle {\ partial ^ {2} \ over \ partial x ^ {2}} \ varphi (x, y) + {\ partial ^ {2} \ over \ partial y ^ {2}} \ varphi (x, y) = f (x, y)}av og på
Ω{\ displaystyle \ displaystyle \ Omega}φ=g{\ displaystyle \ varphi = g}∂Ω.{\ displaystyle \ partial \ Omega.}
Denne formuleringen er en matematisk modell av det statiske problemet med en strukket og belastet elastisk membran (en trommeskinn ):
-
f{\ displaystyle \ displaystyle f}er ladetettheten (uttrykt for eksempel i Pa , dette til innenfor et mangfold som karakteriserer de elastiske egenskapene til membranen);
-
g{\ displaystyle \ displaystyle g} er dimensjonen (vertikal stigning) langs membranbindingsgrensen;
- løsningen indikerer karakteren av membranen i .φ(x,y){\ displaystyle \ varphi (x, y)}Ω{\ displaystyle \ displaystyle \ Omega}
Elementer av begrunnelse
En dimensjonal, det er en belastet elastisk ledning som er festet i begge ender.
På et lite element , vurder den statiske likevekten mellom de to trekkraftene og tauet (henholdsvis til venstre og til høyre), og deretter belastningskraften indusert av en lineær lasttetthet bemerket :
[x-δx,x+δx]{\ displaystyle \ displaystyle [x- \ delta x, x + \ delta x]}F→1{\ displaystyle {\ vec {F}} _ {1}}F→2{\ displaystyle {\ vec {F}} _ {2}}F→G{\ displaystyle {\ vec {F}} _ {G}}ρ(x){\ displaystyle \ displaystyle \ rho (x)}
- F→1=-(F1/δx)(δxφ(x)-φ(x-δx)),{\ displaystyle {\ vec {F}} _ {1} = - (F_ {1} / \ delta x) {\ begin {pmatrix} \ delta x \\\ varphi (x) - \ varphi (x- \ delta x) \ end {pmatrix}},}
- F→2=(F2/δx)(δxφ(x+δx)-φ(x)),{\ displaystyle {\ vec {F}} _ {2} = (F_ {2} / \ delta x) {\ begin {pmatrix} \ delta x \\\ varphi (x + \ delta x) - \ varphi (x ) \ end {pmatrix}},}
- F→G=(0-2ρ(x)δx).{\ displaystyle {\ vec {F}} _ {G} = {\ begin {pmatrix} 0 \\ - 2 \ rho (x) \ delta x \ end {pmatrix}}.}
Uten å begrense generalitet, hvilke faktorer og er delt på inn for å holde dem en ikke-differensial størrelse.
F1{\ displaystyle \ displaystyle F_ {1}}F2{\ displaystyle \ displaystyle F_ {2}}δx{\ displaystyle \ displaystyle \ delta x}
Vektorsummen av disse kreftene fører til likhetene:
-
F1=F2{\ displaystyle \ displaystyle F_ {1} = F_ {2}}som man kan kalle , en koeffisient uavhengig av siden alle de horisontale komponentene kompenseres for å reflekteres bare på festepunktene,2k{\ displaystyle 2 \ displaystyle k}x{\ displaystyle \ displaystyle x}
-
2kδx[φ(x+δx)-2φ(x)+φ(x-δx)]=2ρ(x)δx{\ displaystyle {2k \ over \ delta x} [\ varphi (x + \ delta x) -2 \ varphi (x) + \ varphi (x- \ delta x)] = 2 \ rho (x) \ delta x}som, når det har en tendens til 0, er skrevetδx{\ displaystyle \ delta x}kφ"(x)=ρ(x).{\ displaystyle k \, \ varphi '' (x) = \ rho (x).}
Dette siste forholdet er faktisk den endimensjonale Poisson-ligningen.
Svak formulering og løsning
La være et åpent og avgrenset domene hvis grense er tilstrekkelig regelmessig til å tilfredsstille avvikssetningen . La vektoren være normal mot og rettet utover.
Ω{\ displaystyle \ displaystyle \ Omega}RIKKE{\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {N}}∂Ω{\ displaystyle \ partial \ Omega}ikke{\ displaystyle \ mathbf {n}}∂Ω{\ displaystyle \ partial \ Omega}
La være en funksjon av , deretter og kontinuerlige funksjoner definert på .
f{\ displaystyle \ displaystyle f}L2(Ω){\ displaystyle \ displaystyle L ^ {2} (\ Omega)}g{\ displaystyle \ displaystyle g}α>0{\ displaystyle \ alpha> 0}∂Ω{\ displaystyle \ partial \ Omega}
Vi ser etter en løsning for hvert av følgende problemer:
ϕ{\ displaystyle \ displaystyle \ phi}
-Δϕ=f{\ displaystyle \ displaystyle - \ Delta \ phi = f} sikker
Ω{\ displaystyle \ displaystyle \ Omega}
oppfyller ett av vilkårene på :
∂Ω{\ displaystyle \ partial \ Omega}
- ϕ=0{\ displaystyle \ displaystyle \ phi = 0}
-
∇ϕ⋅ikke=g{\ displaystyle \ nabla \ phi \ cdot \ mathbf {n} = g}og (for å fikse additivkonstant av ubestemmelighet)∫ΩϕdV=0{\ displaystyle \ int _ {\ Omega} \ phi \, \ mathrm {d} V = 0}
- ∇ϕ⋅ikke+αϕ=0{\ displaystyle \ nabla \ phi \ cdot \ mathbf {n} + \ alpha \ phi = 0}
For enhver vanlig funksjon , forholdet
ψ{\ displaystyle \ displaystyle \ psi}
dJegv(ψ∇ϕ)=∇ϕ⋅∇ψ+ψΔϕ{\ displaystyle {\ mathrm {div}} (\ psi \, \ nabla \ phi) = \ nabla \ phi \ cdot \ nabla \ psi + \ psi \ Delta \ phi}og divergenssatsen innebærer
∫Ω∇ϕ⋅∇ψdV=-∫ΩψΔϕdV+∫∂Ωψ∇ϕ⋅ikkedS.{\ displaystyle \ int _ {\ Omega} \ nabla \ phi \ cdot \ nabla \ psi \, \ mathrm {d} V = - \ int _ {\ Omega} \ psi \, \ Delta \ phi \, \ mathrm { d} V + \ int _ {\ partial \ Omega} \ psi \, \ nabla \ phi \ cdot \ mathbf {n} \, \ mathrm {d} S.}Hvis løsningen på det foregående problemet med den betingede grensen beholdes, da
ϕ{\ displaystyle \ displaystyle \ phi}
- ∫Ω∇ϕ⋅∇ψdV=∫ΩfψdV{\ displaystyle \ int _ {\ Omega} \ nabla \ phi \ cdot \ nabla \ psi \, \ mathrm {d} V = \ int _ {\ Omega} f \, \ psi \, \ mathrm {d} V}
- ∫Ω∇ϕ⋅∇ψdV=∫ΩfψdV+∫∂ΩgψdS{\ displaystyle \ int _ {\ Omega} \ nabla \ phi \ cdot \ nabla \ psi \, \ mathrm {d} V = \ int _ {\ Omega} f \, \ psi \, \ mathrm {d} V + \ int _ {\ partial \ Omega} g \, \ psi \, \ mathrm {d} S}
- ∫Ω∇ϕ⋅∇ψdV+∫∂ΩαϕψdS=∫ΩfψdV{\ displaystyle \ int _ {\ Omega} \ nabla \ phi \ cdot \ nabla \ psi \, \ mathrm {d} V + \ int _ {\ partial \ Omega} \ alpha \, \ phi \, \ psi \, \ mathrm {d} S = \ int _ {\ Omega} f \, \ psi \, \ mathrm {d} V}
Ved å merke seg venstre og høyre side består den svake formuleringen av:
på(ϕ,ψ){\ displaystyle a (\ phi, \, \ psi)}b(ψ){\ displaystyle \ displaystyle b (\ psi)}
- definere et passende vektorrom der og er definert,H{\ displaystyle \ displaystyle H}på(.,.){\ displaystyle \ displaystyle a (.,.)}b(.){\ displaystyle \ displaystyle b (.)}
- søk som for alt .ϕ∈H{\ displaystyle \ displaystyle \ phi \ i H}på(ϕ,ψ)=b(ψ){\ displaystyle a (\ phi, \, \ psi) = b (\ psi)}ψ∈H{\ displaystyle \ psi \ i H}
Hvis den eksisterer, finnes den naturlige løsningen av disse formuleringene i Sobolev-rommet gitt sin norm.H1(Ω){\ displaystyle \ displaystyle H ^ {1} (\ Omega)}‖ψ‖H12=‖ψ‖L22+‖∇ψ‖L22.{\ displaystyle \ | \ psi \ | _ {H ^ {1}} ^ {2} = \ | \ psi \ | _ {L ^ {2}} ^ {2} + \ | \ nabla \ psi \ | _ {L ^ {2}} ^ {2}.}
Faktisk er for hvert problem en symmetrisk bilinær form definert på , og er en lineær form på .
på(.,.){\ displaystyle a (.,.)}H1(Ω)×H1(Ω){\ displaystyle H ^ {1} (\ Omega) \ times H ^ {1} (\ Omega)}b(.){\ displaystyle b (.)}H1(Ω){\ displaystyle \ displaystyle H ^ {1} (\ Omega)}
Proposition - La være et åpent og avgrenset domene for og med vanlig (eller stykkevis normal) grense , i , deretter og kontinuerlige funksjoner definert på .
Ω{\ displaystyle \ displaystyle \ Omega}RIKKE{\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {N}}∂Ω{\ displaystyle \ partial \ Omega}f{\ displaystyle \ displaystyle f}L2(Ω){\ displaystyle \ displaystyle L ^ {2} (\ Omega)}g{\ displaystyle \ displaystyle g}α>0{\ displaystyle \ alpha> 0}∂Ω{\ displaystyle \ partial \ Omega}
Så ble de tre tidligere problemer har en unik løsning på og som er kjennetegnet ved det tilsvarende svake formuleringen implementert i følgende områder:
ϕ{\ displaystyle \ displaystyle \ phi}H1(Ω){\ displaystyle \ displaystyle H ^ {1} (\ Omega)}
-
H=H01(Ω){\ displaystyle H = H_ {0} ^ {1} (\ Omega)}som er vedheft i uendelig differensierbare og kompakt støttede funksjoner iH1(Ω){\ displaystyle \ displaystyle H ^ {1} (\ Omega)}Ω.{\ displaystyle \ displaystyle \ Omega.}
- H={ϕ∈H1(Ω)|∫ΩϕdV=0}.{\ displaystyle H = \ left \ {\ phi \ in H ^ {1} (\ Omega) \, | \ int _ {\ Omega} \ phi \, \ mathrm {d} V = 0 \ right \}.}
- H=H1(Ω).{\ displaystyle \ displaystyle H = H ^ {1} (\ Omega).}
Berettigelse
Hvis vilkårene for kontinuitet og tvangsevne for antagelsene til Lax-Milgram-setningen er oppfylt, tillater sistnevnte å konkludere.
For kontinuiteten til de to formene er det et spørsmål om å vise eksistensen av positive konstanter bemerket generisk som
vs.{\ displaystyle \ displaystyle c}
|på(ϕ,ψ)|⩽vs.‖ϕ‖H1‖ψ‖H1,{\ displaystyle | a (\ phi, \, \ psi) | \ leqslant c \, \ | \ phi \ | _ {H ^ {1}} \ | \ psi \ | _ {H ^ {1}},}
|b(ψ)|⩽vs.‖ψ‖H1.{\ displaystyle | b (\, \ psi) | \ leqslant c \, \ | \ psi \ | _ {H ^ {1}}.}
Disse konstantene eksisterer per definisjon av normen for
og av kontinuiteten til sporoperatørene , som til en funksjon forbinder en funksjon definert av begrensningen på .
H1(Ω){\ displaystyle \ displaystyle H ^ {1} (\ Omega)}ψ∈H1(Ω){\ displaystyle \ psi \ i H ^ {1} (\ Omega)}L2(∂Ω){\ displaystyle L ^ {2} (\ partial \ Omega)}ψ{\ displaystyle \ displaystyle \ psi}∂Ω{\ displaystyle \ partial \ Omega}
Vi kan merke at kontinuiteten til skjemaene samtidig sikrer deres strenge definisjon. Spesielt for det andre problemet innebærer avgrenset kontinuitet av injeksjonen av inn i for normen , som rettferdiggjør definisjonen av det tilsvarende rommet .
Ω{\ displaystyle \ displaystyle \ Omega}L2(Ω){\ displaystyle \ displaystyle L ^ {2} (\ Omega)}L1(Ω){\ displaystyle \ displaystyle L ^ {1} (\ Omega)}‖.‖L1{\ displaystyle \ |. \ | _ {L ^ {1}}}H{\ displaystyle \ displaystyle H}
For tvangsmessighet er det et spørsmål om å vise eksistensen av en uavhengig konstant av slik at
på(.,.){\ displaystyle \ displaystyle a (.,.)}μ>0{\ displaystyle \ displaystyle \ mu> 0}ψ∈H{\ displaystyle \ psi \ i H}
- |på(ψ,ψ)|⩾μ‖ϕ‖H12.{\ displaystyle | a (\ psi, \, \ psi) | \ geqslant \ mu \, \ | \ phi \ | _ {H ^ {1}} ^ {2}.}
Denne egenskapen kommer fra den klassiske Poincaré-ulikheten for form og Poincaré-Wirtinger-ulikheten for form .
på1(.,.){\ displaystyle \ displaystyle a_ {1} (.,.)}på2(.,.){\ displaystyle \ displaystyle a_ {2} (.,.)}
Formens tvangsevne kan vises i det absurde. Legg merke til
på3(.,.){\ displaystyle \ displaystyle a_ {3} (.,.)}
d(ψ)=∫∂Ωαψ2dS,{\ displaystyle d (\ psi) = \ int _ {\ partial \ Omega} \ alpha \, \ psi ^ {2} \, \ mathrm {d} S,}anta at det er en tilfredsstillende
sekvensψikke∈H1(Ω){\ displaystyle \ psi _ {n} \ i H ^ {1} (\ Omega)}
‖ψikke‖H1=1{\ displaystyle \ | \ psi _ {n} \ | _ {H ^ {1}} = 1}og har en tendens til 0.
på3(ψikke,ψikke)=d(ψikke)+‖∇ψikke‖L22{\ displaystyle a_ {3} (\ psi _ {n}, \, \ psi _ {n}) = d (\ psi _ {n}) + \ | \ nabla \ psi _ {n} \ | _ {L ^ {2}} ^ {2}}Ved kompakthet av den kanoniske injeksjonen av inn i (når den er avgrenset), eksisterer det en konsekvens som konvergerer til en funksjon for normen . Denne sekvensen er derfor en Cauchy-sekvens i, og siden gradienten har en tendens til 0 in , er den også en Cauchy-sekvens som konvergerer mot og som bare kan være en konstant funksjon med . Dermed kan dets spor på (ved kontinuitet) bare være en konstant som ikke er null, noe som motsier .
H1(Ω){\ displaystyle \ displaystyle H ^ {1} (\ Omega)}L2(Ω){\ displaystyle \ displaystyle L ^ {2} (\ Omega)}Ω{\ displaystyle \ displaystyle \ Omega}ψ{\ displaystyle \ displaystyle \ psi}‖.‖L2{\ displaystyle \ |. \ | _ {L ^ {2}}}L2(Ω){\ displaystyle \ displaystyle L ^ {2} (\ Omega)}L2(Ω){\ displaystyle \ displaystyle L ^ {2} (\ Omega)}H1(Ω){\ displaystyle \ displaystyle H ^ {1} (\ Omega)}ψ∈H1(Ω){\ displaystyle \ psi \ i H ^ {1} (\ Omega)}‖ψ‖H1=1{\ displaystyle \ | \ psi \ | _ {H ^ {1}} = 1}∂Ω{\ displaystyle \ partial \ Omega}d(ψ)=0{\ displaystyle d (\ psi) = 0}
Vedtak
Det er forskjellige metoder for digital oppløsning. Den avslapping metode , en iterativ algoritme , er et eksempel. Metoder basert på Fourier-transformasjoner brukes nesten alltid i universell gravitasjon.
Historiske hensyn og oppløsningsforsøk
Poisson-ligningen er en berømt korreksjon av andregrads Laplace-differensialligning for potensialet :
∇2ϕ=-4πρ,{\ displaystyle \ nabla ^ {2} \ phi = -4 \ pi \ rho \;,}Vi kaller også denne ligningen: ligningen til teorien om potensial publisert i 1813. Hvis en funksjon av et gitt punkt ρ = 0, får vi Laplace-ligningen :
∇2ϕ=0.{\ displaystyle \ nabla ^ {2} \ phi = 0 \;.}I 1812 oppdaget Poisson at denne ligningen bare er gyldig utenfor en solid. Strengt bevis for masser med varierende tetthet ble først gitt av Carl Friedrich Gauss i 1839 . De to ligningene har sine ekvivalenter i vektoranalyse . Studiet av de skalære feltene φ av en divergens Gir:
∇2ϕ=ρ(x,y,z).{\ displaystyle \ nabla ^ {2} \ phi = \ rho (x, y, z) \;.}For eksempel en Poisson-ligning for et overflatelektrisk potensial Ψ, som viser dens avhengighet av tettheten til en elektrisk ladning ρ e på et bestemt sted:
∇2Ψ=∂2Ψ∂x2+∂2Ψ∂y2+∂2Ψ∂z2=-ρeεε0.{\ displaystyle \ nabla ^ {2} \ Psi = {\ partial ^ {2} \ Psi \ over \ partial x ^ {2}} + {\ partial ^ {2} \ Psi \ over \ partial y ^ {2} } + {\ partial ^ {2} \ Psi \ over \ partial z ^ {2}} = - {\ rho _ {e} \ over \ varepsilon \ varepsilon _ {0}} \;.}Fordelingen av en ladning i en væske er ukjent, og vi må bruke Poisson-Boltzmann-ligningen :
∇2Ψ=ikke0eεε0(eeΨ(x,y,z)kBT-e-eΨ(x,y,z)kBT),{\ displaystyle \ nabla ^ {2} \ Psi = {n_ {0} e \ over \ varepsilon \ varepsilon _ {0}} \ left (e ^ {e \ Psi (x, y, z) \ over k_ {B } T} -e ^ {- e \ Psi (x, y, z) \ over k_ {B} T} \ right) \;,}som i de fleste tilfeller ikke kan løses analytisk, men bare for bestemte situasjoner. I polarkoordinater er Poisson-Boltzmann-ligningen:
1r2ddr(r2dΨdr)=ikke0eεε0(eeΨ(r)kBT-e-eΨ(r)kBT),{\ displaystyle {1 \ over r ^ {2}} {d \ over dr} \ left (r ^ {2} {d \ Psi \ over dr} \ right) = {n_ {0} e \ over \ varepsilon \ varepsilon _ {0}} \ left (e ^ {e \ Psi (r) \ over k_ {B} T} -e ^ {- e \ Psi (r) \ over k_ {B} T} \ right) \; ,}som heller ikke kan løses analytisk. Selv om feltet φ ikke er skalert, er Poisson-ligningen gyldig, slik den kan være for eksempel i et firedimensjonalt Minkowski- rom:
◻ϕJegk=ρ(x,y,z,vs.t).{\ displaystyle \ square \ phi _ {ik} = \ rho (x, y, z, ct) \;.}Hvis ρ ( x , y , z ) er en kontinuerlig funksjon, og hvis for r → ∞ (eller hvis et punkt beveger seg uendelig ), går en funksjon φ til 0 tilstrekkelig raskt, er en løsning på Poisson-ligningen det newtonske potensialet til en funksjon ρ ( x , y , z ):
ϕM=-14π∫ρ(x,y,z)dvr,{\ displaystyle \ phi _ {M} = - {1 \ over 4 \ pi} \ int {\ rho (x, y, z) dv \ over r} \;,}hvor R er en avstand mellom elementet med det volum v og punktet M . Integrasjonen dekker hele rommet. Poisson-integralet ved å løse Greens funksjon for Dirichlet-problemet med Laplace-ligningen, hvis sirkelen er domenet av interesse:
ϕ(ξ,η)=12π∫02πR2-ρ2R2+ρ2-2Rρcos(ψ-χ)ϕ(χ)dχ,{\ displaystyle \ phi (\ xi, \ eta) = {1 \ over 2 \ pi} \ int _ {0} ^ {2 \ pi} {R ^ {2} - \ rho ^ {2} \ over R ^ {2} + \ rho ^ {2} -2R \ rho \ cos (\ psi - \ chi)} \ phi (\ chi) d \ chi \;,}eller:
ξ=ρcosψ,η=ρsyndψ.{\ displaystyle \ xi = \ rho \ cos \ psi \ ;, \ quad \ eta = \ rho \ sin \ psi \;.}φ (χ) er en foreskrevet funksjon på en sirkulær linje, som definerer grensebetingelsene for den nødvendige funksjonen φ til Laplace-ligningen. Likeledes definerer vi Greens-funksjonen for den Dirichlet problem for Laplace-ligningen 2 φ = 0 i plass, for et domene bestående av en kule med radius R . Denne gangen har Green funksjon:
G(x,y,z;ξ,η,ζ)=1r-Rr1ρ,{\ displaystyle G (x, y, z; \ xi, \ eta, \ zeta) = {1 \ over r} - {R \ over r_ {1} \ rho} \;,}hvor: er en avstand fra et punkt (ξ, η, ζ) fra midten av en kule, r en avstand mellom punktene ( x , y , z ), (ξ, η, ζ), r 1 er en avstand mellom punkt ( x , y , z ) og punktet ( R ξ / ρ, R η / ρ, R ζ / ρ), symmetrisk til punktet (ξ, η, ζ). Poisson-integralen har nå formen:
ρ=ξ2+η2+ζ2{\ displaystyle \ rho = {\ sqrt {\ xi ^ {2} + \ eta ^ {2} + \ zeta ^ {2}}}}
ϕ(ξ,η,ζ)=14π∫∫SR2-ρ2Rr3ϕds.{\ displaystyle \ phi (\ xi, \ eta, \ zeta) = {1 \ over 4 \ pi} \ int \! \! \! \ int _ {S} {R ^ {2} - \ rho ^ {2 } \ over Rr ^ {3}} \ phi ds \;.}
Merknader og referanser
Se også
(fr) Denne artikkelen er delvis eller helt hentet fra Wikipedia-artikkelen på
engelsk med tittelen
" Siméon Denis Poisson " ( se forfatterlisten ) .
Bibliografi
-
[Poisson 1813] Siméon-Denis Poisson , " Bemerkninger om en ligning som vises i teorien om sfæroidernes attraksjoner ", Nouveau bulletin des sciences: par la Société philomat (h) ique (de Paris) , Paris, J. Klostermann fils , t. III , n o 75,Des. 1813, s. 388-392 ( les online ).
-
[Godard og Boer 2020] Roger Godard og John de Boer , “Gauss and the Earth’s Magnetic Field Model” , i Maria Zack og Dirk Schlimm ( red. ), Forskning i matematikkens historie og filosofi : CSHPM2018bind [“Forskning i matematikkens historie og filosofi”], Cham, Birkhäuser , koll. " Proceedings of the Canadian Society for History and Philosophy of Mathematics / (Proceedings of the) Canadian Society of History and Philosophy of Mathematics ",Jan 2020, 1 st ed. , 1 vol. , XIII -172 s. , syk. , 15,6 × 23,4 cm ( ISBN 978-3-030-31196-4 , OCLC 1154674154 , DOI 10.1007 / 978-3-030-31298-5 , online presentasjon , les online ) , kap. 8 , s. 125-138.
-
[Solomentsev 1995] (en) ED Solomentsev , “Poisson-ligning” , i Michiel Hazewinkel ( red. ), Encyclopaedia of matematics : en oppdatert og kommentert oversettelse av sovjetisk matematisk leksikon [“Encyclopedia of matematics: en oppdatert og kommentert oversettelse av Encyclopedia of Soviet Mathematics ”], t. IV : Monge-Ampère-ligning - Ringer og algebras ["Monge-Ampère-ligning - Ringer og algebra"] , Dordrecht, Kluwer Academic , hors coll. ,Januar 1995, 1 st ed. , 1 vol. , IV -929 s. , syk. , 21 × 29,7 cm ( ISBN 1-556-08010-7 , EAN 9781556080104 , OCLC 36917086 , DOI 10.1007 / 978-1-4899-3791-9 , SUDOC 030253195 , online presentasjon , les online ) , sv Poisson-ligning [“Poisson ligning ”], s. 445.
-
[Taillet, Villain and Febvre 2018] Richard Taillet , Loïc Villain and Pascal Febvre , Dictionary of physics , Louvain-la-Neuve, De Boeck Supérieur , utenfor koll. / fysisk,Jan 2018, 4 th ed. ( 1 st ed. Mai 2008), 1 vol. , X -956 s. , syk. og fig. , 17 × 24 cm ( ISBN 978-2-8073-0744-5 , EAN 9782807307445 , OCLC 1022951339 , merknad BnF n o FRBNF45646901 , SUDOC 224228161 , online presentasjon , les online ) , sv Poisson (ligning av), s. 579-580.
-
Poisson-ligning på EqWorld: The World of Mathematical Equations .
- LC Evans, Partial Differential Equations , American Mathematical Society, Providence, 1998. ( ISBN 0-8218-0772-2 )
- AD Polyanin, håndbok for lineære partielle differensiallikninger for ingeniører og forskere , Chapman & Hall / CRC Press, Boca Raton, 2002. ( ISBN 1-58488-299-9 )
Relaterte artikler
Eksterne linker