Flere matematiske enheter er kvalifisert som eremitere med henvisning til matematikeren Charles Hermite .
La E være et komplekst vektorrom. Vi sier at et kart f definert på E x E i C er en venstre sesquilinear form hvis
Uansett hva vektorene X, Y, Z tilhører E og a, b er skalarer:
, og
.
En slik form sies å være Hermitisk (eller med Hermitisk symmetri) hvis i tillegg: eller, som tilsvarer :
Det sies å være positivt bestemt Hermitian hvis det er for en hvilken som helst vektor .
Et Hermitian dot-produkt er en klar positiv Hermitian-form.
Vi kaller et hermitisk rom et hvilket som helst komplekst vektorrom E med begrenset dimensjon utstyrt med et hermitisk skalarprodukt .
De to grunnleggende eksemplene på mellomrom utstyrt med Hermitian-skjemaer er , med
og for et intervall , med
(Vi vurderer funksjoner med komplekse verdier: i Fourier- seriteorien er det mer praktisk å arbeide med komplekse eksponensialer ( ) enn med ekte sinus- og cosinusfunksjoner, noe som forklarer intervensjonen av forestillingen om Hermitian-form i den spektrale Fourier-nedbrytningen.
De to grunnleggende egenskapene til et ekte prikkprodukt forblir:
En operatør u av et Hermitian-rom E sies å være Hermitian hvis:
Hermitiske operatører spiller en viktig rolle i kvantemekanikken , fordi de representerer fysiske størrelser. Egenverdiene (reelle) representerer mulige verdier for mengden og egenfunksjonene (eller vektorene) de tilknyttede tilstandene.
I en ortonormal basis omfatter en matriks av en endomorphism u og betegner: den transkonjugat matrise ( transponerte matrise av den konjugerte matrise eller adjungerte matrise ) av A . Det er ekvivalens mellom:
Elementene i en Hermitisk matrise (eller selv adjungerte) derfor tilfredsstille: .
Enhver Hermitian-matrise A er diagonaliserbar ved hjelp av en enhetlig passasjematrise , dens egenverdier er reelle og dens egne deler er to og to ortogonale . Med andre ord eksisterer det en enhetsmatrise U (hvis kolonner er egenvektorene til A ), og en diagonal matrise D (hvis koeffisienter er nøyaktig egenverdiene til A ), for eksempel:
(Dette er et spesielt tilfelle av Schurs nedbrytningssetning .)
Eksempel er en hermitisk matrise:Spesielt er en ekte elementmatrise Hermitian hvis og bare hvis den er symmetrisk .
Den tetteste stablingen av hypersfærer , i dimensjon n, gir strukturer som nærmer seg n -simplekser (det vil si trekant, tetraeder osv., Men også sekskant eller kuboktaheder). Disse n-simpleksene kan blant annet kjennetegnes av et n-hypervolum eller tall: de trekantede tallene har således formen a ( a +1) / 2, tetrahedraltallene: a ( a +1) ( a +2 ) / 6 osv. grensen for "antall" -forholdet på hypervolumet, for en tendens til + ∞, hevet til kraften 2 / n , gir Hermite-konstantene. Denne definisjonen er imidlertid ikke streng.
(en) Terence Tao , " 254A, Notes 3a: Eigenvalues and sums of Hermitian matrices " ,12. januar 2010
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">