Mekanikk for deformerbare faste stoffer

Den faste mekanikken er grenen av kontinuummekanikk som studerer den mekaniske oppførselen til faste materialer, spesielt deres bevegelser og deformasjoner under påvirkning av kraft , temperaturendringer , faseendring eller andre ytre eller indre handlinger.

En typisk anvendelse av deformerbar solid mekanikk er å bestemme ut fra en viss original solid geometri og belastningene som påføres den, om kroppen oppfyller visse krav til styrke og stivhet . For å løse dette problemet er det nødvendig å bestemme spenningsfeltet og spenningsfeltet til det faste stoffet. Ligningene som trengs for dette er:

de likevektsligninger som forbinder de indre påkjenninger i den faste til de belastninger som utøves (jf statisk likevekt );
de konstituerende lovene , som forbinder spenningene med stammene, og hvor andre mengder som temperatur, strekkhastighet, akkumulerte plaststammer, herdingsvariabler osv. kan også gripe inn;
kompatibilitetsligningene, hvorfra forskyvningene gjenopprettes som en funksjon av stammene og grenseforholdene .

Mekanikken til deformerbare faste stoffer er grunnleggende innen ingeniørfag for byggingeniør , mekanisk konstruksjon ( romfart , kjernefysisk , biomedisinsk etc.), materialvitenskap eller geologi . Det er spesifikke bruksområder innen mange andre felt, for eksempel å forstå anatomien til levende ting og designe kirurgiske proteser eller implantater . En av de vanligste praktiske anvendelsene av deformerbar solid mekanikk er Euler-Bernoulli bjelkeligningen . Solid mekanikk bruker omfattende tensorer for å beskrive spenninger , belastninger og forholdet mellom dem.

Mekanikken til deformerbare faste stoffer er et bredt felt på grunn av det store antallet tilgjengelige materialer, som stål , tre , betong , plast , elastomerer , tekstiler , komposittmaterialer eller biologiske stoffer .

Kinematikk av faste kontinuerlige medier (Lagrangian beskrivelse)

Vi beskriver transformasjonen av hvert punkt i midten av en funksjon (tilstrekkelig vanlig) slik at . $\ understreke {\ Phi} (M, t)$ $\ understrek {OM} = \ understrek {\ Phi} (M_ {0}, t)$

Man introduserer deretter begrepet deformasjon, for å måle variasjonen i avstanden mellom to punkter i det faste stoffet etter transformasjonen . $\ understreke {\ Phi}$

Vi prøver å ha et mål på . $\ | MN \ | ^ {2} - \ | M_ {0} N_ {0} \ | ^ {2}$

Men det har vi . Vi kan derfor skrive: $\ understrek {OM} = \ understrek {\ Phi} (M_ {0}, t)$

\ understrek {ON} = \ understrek {OM} + \ understrek {\ understrek {F}} \ cdot \ understrek {M_ {0} N_ {0}} + o (\ | \ understrek {M_ {0} N_ {0 }} \ |)

eller:

{\ displaystyle {\ understreket {\ understreket {F}}} = {\ understrek {\ understrek {\ operatorname {grad}}}} ({\ understrek {\ Phi}}) = {\ frac {\ delvis {\ understrek {\ Phi}}} {\ partial M_ {0}}}}

er transformasjonens gradient.

Vi får derfor:

{\ displaystyle \ | MN \ | ^ {2} - \ | M_ {0} N_ {0} \ | ^ {2} = {\ understrek {M_ {0} N_ {0}}} \ venstre ({\ understrek {\ understrek {F}}} ^ {T} \ cdot {\ understrek {\ understrek {F}}} - {\ understrek {\ understrek {Id}}} \ høyre) {\ understrek {M_ {0} N_ { 0}}}}

Vi spør:

{\ displaystyle {\ understreket {\ understreket {E}}} = {\ frac {1} {2}} \ venstre ({\ understreket {\ understreket {F}}} ^ {T} \ cdot {\ understreket {\ understrek {F}}} - {\ understrek {\ understrek {Id}}} \ høyre)}

hvor er operatøren av stammene til Green-Lagrange. $\ understreke {\ understreke {E}}$

Hvis vi introduserer forskyvningsvektoren , får vi: $\ understrek {u} (M_ {0}, t) = \ understrek {M_ {0} M}$

{\ displaystyle {\ understreket {\ understreket {E}}} = {\ frac {1} {2}} \ venstre ({\ frac {\ delvis {\ understreket {u}}} {\ delvis M_ {0}} } ^ {T} \ cdot {\ frac {\ partial {\ understrekning {u}}} {\ partial M_ {0}}} + {\ frac {\ partial {\ understreket {u}}} {\ partial M_ { 0}}} + {\ frac {\ partial {\ understrek {u}}} {\ partial M_ {0}}} ^ {T} \ right)}

Hvis man antar de små stammene, får man operatøren av de lineariserte stammene:

{\ displaystyle {\ understreket {\ understreket {\ varepsilon}}} = {\ frac {1} {2}} \ venstre ({\ frac {\ delvis {\ understreket {u}}} {\ delvis M_ {0} }} + {\ frac {\ partial {\ understreke {u}}} {\ partial M_ {0}}} ^ {T} \ right)}

Sil tensor

Hvis vi tegner en liten kube i materialet, vil denne kuben bli transformert til en parallellpiped etter deformasjon av delen (vi antar små deformasjoner). Vi vil derfor ha på den ene siden en annen forlengelse (eller sammentrekning) i henhold til de tre kantene ( ), men også en variasjon av den rette vinkelen for hver av de tre vinklene , som vil bli ( ). $\ epsilon _ {1}, \ epsilon _ {2}, \ epsilon _ {3}$ $\ pi / 2-2 \ gamma _ {1}, \ pi / 2-2 \ gamma _ {2}, \ pi / 2-2 \ gamma _ {3}$

Disse størrelsene gjør det mulig å definere tensoren til stammene som kan representeres i form av en 3 x 3 matrise hvis koeffisienter er disse størrelsene.

Stress tensor

Generelt sett utsettes et materialelement i hjertet av en del for påkjenninger i forskjellige retninger. Innenfor rammen av teorien om den første gradienten representerer man denne spenningstilstanden med en tensor av rekkefølge to (som man selv kan representere ved en 3 × 3- matrise ) kalt tensor av stressene .

Atferdslov

De konstituerende lovene modellerer faststoffers oppførsel etter empiriske lover som knytter to fysiske størrelser, hovedsakelig belastningene til stammene (til og med til belastningshastigheten).

Typer av deformerbare faste stoffer

Deformerbare faste stoffer skiller seg fra hverandre ved deres konstituerende lov. I henhold til den konstituerende loven som forbinder de relevante mekaniske og termodynamiske mengdene av det faste stoffet, skiller man følgende atferd:

den elastiske oppførsel oppstår når et fast stoff som er deformert øker dens indre energi (den elastisk potensiell energi ) uten å fremkalle termodynamiske transformasjoner irreversibel . Den viktigste egenskapen ved elastisk oppførsel er at den er reversibel: hvis kreftene som forårsaker deformasjonen opphører, kommer det faste stoffet, som en fjær, tilbake til utgangsstatusen før belastningen påføres. Det er flere undertyper av elastisk oppførsel:
- isotrop lineær elastikk , som for de fleste metaller som ikke er kalddeformerte og utsatt for små deformasjoner;
- ikke-isotrop linjær elastikk: komposittmaterialer som tre har en oppførsel som avhenger av orienteringen av fibrene; det er derfor et ortotropisk materiale (et spesielt tilfelle av ikke-isotropi);
- ikke-lineære elastikker, elastomerer som gummi eller betong for små trykkrefter, som går tilbake til utgangsposisjonen (unntatt skader), men hvis spenninger ikke er strengt proporsjonale med deformasjonene;
den elastoplastic oppførsel : når man når frem til plast feltet, er irreversibilitet; selv om kreftene der plastiske deformasjoner er produsert, opphører, kommer ikke det faste stoffet tilbake nøyaktig til den termodynamiske og deformasjonstilstanden det hadde før det ble påført. I sin tur er undertypene:
- ren plast, når materialet forlenger seg (vi snakker om plaststrøm) fritt fra et visst stressnivå;
- plast med stivherding , med en spenning som øker med plastisk deformasjon; det er derfor nødvendig å øke spenningen for å fortsette plaststrømmen;
- plast med svekkelse;
den viskøse oppførselen som oppstår når belastningshastigheten griper inn i den konstituerende loven, typisk øker belastningene med belastningshastigheten. Her kan man skille mellom følgende modeller:
- viskoelastisk oppførsel , der de elastiske belastningene er reversible. For vilkårlig lave belastningshastigheter, har denne modellen en tendens til en elastisk atferdsmodell;
- viskoplastisk oppførsel , med både en økning i spenninger som en funksjon av deformasjonshastigheten på grunn av viskositet og det mulige utseendet til irreversible plastiske deformasjoner.

I prinsippet er et fast stoff av et gitt materiale i stand til å utvise mer enn en av disse atferdene avhengig av spenningsområdet eller belastningen. Enten oppførselen vil avhenge av den spesifikke formen for den konstituerende loven som knytter viktige mekaniske parametere som spenning, tøyning (elastisk og plastisk), tøyningshastighet, samt parametere som konstanter elastisk, viskositet og termodynamiske parametere som temperatur eller entropi.

Forenklet tilnærming: stress, belastning og elastisitetskoeffisienter

Grunnlaget for mekanikken til kontinuerlige medier er studiet av deformasjoner og fenomener forbundet med en transformasjon av et medium. Begrepet deformasjon brukes til å kvantifisere hvordan lengdene er utvidet og vinklene har endret seg i mediet.

En enkel måte å forsøke å kvantifisere deformasjonen, er å se på den relative forlengelsen av et segment i det faste stoffet, eller variasjonen i vinkelen mellom to retninger.

For relativ forlengelse , også kalt belastning $\ varepsilon$

\ varepsilon = {\ frac {\ Delta l} {l_ {0}}} = {\ frac {l-l_ {0}} {l_ {0}}}

$l_ {0}$ å være den opprinnelige lengden og forlengelsen; er enhetløs. $\ Delta l$ $\ varepsilon$

Man vil være i stand til å legge merke til at det er positivt under en stressspenning, og at det under en kompresjon er negativt. $\ varepsilon$

Denne forestillingen introdusert her er "global" ved at man ser på den relative forlengelsen for et lengdesegment . $l_ {0}$

For å introdusere et lokalt begrep er det nødvendig å vurdere grensen for den relative forlengelsen når lengden på segmentet har en tendens til 0:

\ varepsilon = {\ mathop {\ lim _ {{\ ell \ to 0}}}} {\ frac {{\ delta} {\ ell}} {\ ell}}

Man skjønner da at begrepet relativ forlengelse er ganske dårlig, fordi man i hjertet av volumet til et fast stoff kan vurdere en uendelig retning av segmentene. Denne oppfatningen er imidlertid tilstrekkelig til å gripe studiet av bjelker .

Spenningene blir kvantifisert av begrepet stress , som er overflatekraften som utøves på en del av delen på et punkt av resten av delen. Denne spenningen, hvis det antas å være ensartet i seksjonen, kan sammenlignes med den gjennomsnittlige spenningen: $\ sigma$

\ sigma = {\ frac FS}

$\ sigma$ er homogent ved trykk og uttrykkes i mega pascal (MPa) eller newton per kvadratmillimeter (N / mm²).

Når man bruker og tillater å skrive lokale og ikke-globale lover, kan man skrive likevekten til hvert punkt i mediet og beskrive dets oppførsel (lov som forbinder stress og belastning). $\ sigma$ $\ epsilon$

Materialet er preget av elastisitetskoeffisienter , som representerer vanskeligheter med å deformere; rektor er Youngs modul , knyttet til stress og belastning gjennom Hookes lov : $E$

\ sigma = E \ cdot \ varepsilon

$E$ er homogent ved trykk og uttrykkes i megapascal (MPa), gigapascal (GPa) eller kilonewtons per kvadratmillimeter (kN / mm²).

Merknader og referanser

(fr) Denne artikkelen er helt eller delvis hentet fra Wikipedia-artikkelen på engelsk med tittelen " Solid mechanics " ( se listen over forfattere ) .

(es) Denne artikkelen er delvis eller helt hentet fra Wikipedia-artikkelen på spansk med tittelen “ Mecánica de sólidos deformables ” ( se forfatterliste ) .

(fr) Denne artikkelen er helt eller delvis hentet fra den franske Wikipedia- artikkelen med tittelen “ Mécanique des milieu continus ” ( se forfatterlisten ) .

Allan Bower, anvendt mekanikk av faste stoffer , CRC-press,2009( les online )

Se også

Eksterne linker