I matematikk er utmattelsesmetoden en eldgammel metode for å beregne arealer, volumer og lengder på komplekse geometriske figurer. Den kvadratur er letingen etter det område av en overflate, retting er at lengden av en kurve.
Når det gjelder beregning av arealet A til en plan figur, består utmattelsesmetoden av en dobbel resonnering av absurditet: vi antar at dens areal er strengt større enn A , så ender vi med en motsigelse; vi antar da at området er strengt mindre enn A , så ender vi opp med en annen motsetning. Det er dermed mulig å vise at arealet av figuren er A .
Forfatterskapet til denne prosessen tilskrives Eudoxus of Cnidus . Arkimedes illustrert dette briljant, gjør stor bruk av den aksiom som bærer hans navn (Arkimedes også brukt en metode for innramming som er relatert til ham). Selv om det var tungvint å implementere, forble det på sitt felt den eneste demonstrasjonsmetoden som ble ansett som virkelig streng, i flere århundrer. Selv utseendet på en udelelig metode på begynnelsen av XVII - tallet , blir ikke fullstendig foreldet. Imidlertid ble den forbigått, noen tiår senere, av suksessen til den uendelige kalkulatoren .
Det inspirerer fortsatt metoden for kutt, som Richard Dedekind bruker i 1858 for konstruksjon av reelle tall . Dette gir imidlertid et grunnlag for analysen helt uten geometriske hensyn, noe som ikke er tilfelle med utmattelsesmetoden.
Utmattelsesmetoden ble brukt i følgende problemer:
Proposisjon 2 i bok XII av elementene i Euclid viser at arealet til en plate er proporsjonal med kvadratet av diameteren. Den er basert på en analog egenskap relatert til polygoner innskrevet i en sirkel og tidligere demonstrert av Euklid: for to lignende polygoner med områdene C og C ' innskrevet i sirkler med respektive diametre D og D' har vi: C / C ' = D² / D'² .
Prinsippet for utmattelsesmetoden er som følger. La være en plate med diameter D og areal A , og en annen plate med diameter D ' og areal A' . Det er et spørsmål om å vise at A / A ' = D² / D'² .
Anta at dette ikke er tilfelle og at A / A ' > D² / D'² . La B være et område slik at B / A ' = D² / D'² . Det var derfor A > B . Beskriver under plateområdet A et mangekant-område C, slik at A > C > B og skiveområdet A ' et mangekant-område C' i likhet med den mangekant-området C . I følge proposisjonen vist på polygoner, har vi C / C ' = D² / D'² = B / A' . Eller C ' < A' . Så C < B , som er absurd. Vi kan derfor ikke ha A / A ' > D² / D'² .
Tilsvarende antar vi at A / A ' < D² / D'² , ender vi opp med en motsetning. Vi har derfor A / A ' = D² / D'² .
Archimedes demonstrerer deretter ved hjelp av den samme metoden at en sirkel avgrenser et område som er lik det til en rett trekant, hvorav den ene av sidene ved siden av den rette vinkelen er lik radiusen til denne sirkelen, og den andre er lik omkretsen av den. . Dette fastslår at forholdet mellom arealet til en plate og kvadratet til radiusen er det samme som forholdet mellom sirkelenes omkrets og dens diameter, et resultat som er opprinnelsen til tallet pi .
Kvadrering av parabolen består i å bestemme overflatearealet mellom en akkord og en del av en parabel. Det ble utført av Eudoxus , som foreslo en metode for å oppnå en serie med lavere grenser. Archimedes fullførte beregningen ved å foreslå en rekke øvre grenser.
Archimedes demonstrerer at amplituden til den oppnådde rammen reduseres med mer enn halvparten i hvert trinn i beregningen, og at ved å fortsette prosessen vil verdiene være så nær ønsket området.
Proposisjon 6 i bok XII av elementene i euklider viser at pyramider som har samme høyde og baser av samme område har samme volum. Euclid utleder deretter at volumet av pyramiden er en tredjedel av basen etter høyden. Demonstrasjonen av denne siste eiendommen, uttalt av Democritus , skyldes Eudoxus av Cnidus .
Påfølgende bevis på denne formelen krever alle metoder som er nært eller eksternt relatert til en integrert kalkulator, og ingen bevis ved å kutte pyramiden kunne bli funnet. Denne vanskeligheten førte til at Hilbert i 1900 satte dette spørsmålet på tredjeplass i listen over problemer .
I proposisjon 10 i bok XII utvides det forrige resultatet til kjeglene, den tredje av sylinderen med samme base og samme høyde.
Ved å nærme seg en sfære ved innskrevet polyhedra , er det vist i proposisjon 18 i bok XII av elementene i Euclid , at volumet på en ball er proporsjonalt med kuben med diameteren. Det er Archimedes som deretter bestemmer formelen for ballens volum.