En polyederet er et skjema geometrisk i tre dimensjoner (en geometrisk faststoff ) som har flater flat polygonale som oppstår i henhold til ett rette segmenter kalt kanter .
Ordet polyhedron , som betyr med flere ansikter , kommer fra de greske røttene πολύς ( polys ), "mye" og ἕδρα ( hedra ), "base", "sete" eller "ansikt". En polyhedron er et fast stoff hvis ansikter er polygoner. Sidene av disse polygonene kalles kanter. Endene på kantene er punkter som kalles hjørner.
Som mange andre begreper ble begrepet polyhedron formelt introdusert av grekerne . Studien deres har en veldig viktig plass i elementene i euklider og utgjorde, for matematikk, en av Platons viktige opptatter .
Imidlertid er det tilstrekkelig å tenke på pyramidene for å innse at denne forestillingen har blitt oppfattet siden enda tidligere tider.
Etter Platon, Euklid og Arkimedes i antikken har studiet av polyedre okkupert mange gode sinn i moderne tid, og spesielt de fra Kepler , Euler , Poincaré , Hilbert , etc.
Definisjonen gitt i innledningen kan virke klar nok for de fleste av oss. Det er ikke for en matematiker . Merkelig som det kan høres ut, siden begrepet polyhedron ikke refererer til dimensjonen til rommet der det er plassert, er det ingen allment enige definisjon av hva som gjør "noe" eller en polyhedron (hjertet av problemet kommer fra faktum at den intuitive forestillingen om polyhedron ikke er nøyaktig den samme, avhengig av om vi har en overflate eller et volum i ideen).
For å overvinne denne vanskeligheten introduserer vi forestillingen om simpleks . Det kan betraktes som ekvivalent med et polyeder i dimensjon 3, og det tillater generaliseringer til høyere dimensjoner. En polyhedron av dimensjon er da foreningen av et endelig sett med simplekser av dimensjon slik at hvert av fasene ( ) til en simpleks er et element av , og slik at krysset for ethvert par simplekser er tomt eller et -overflate felles for og .
Dermed representerer en simpleks en generaliserbar definisjon av den intuitive forestillingen om polyhedron. Det er foreningen av sine -flater, og skjæringspunktet mellom to -flater av en simpleks er enten tomt eller et ansiktsmål . For eksempel er en trekant, som er en 2-simpleks, foreningen av segmenter, og skjæringspunktet mellom to tilstøtende segmenter er et punkt som er et toppunkt for trekanten.
En polyhedron ser således ut til å være konstruert av forskjellige typer elementer eller enheter, og presenterer et annet antall dimensjoner:
Det følger av at objektet nedenfor ikke er et polyeder i betydningen av denne definisjonen. Faktisk er boksens øvre overflate ikke begrenset av en, men av to kretser av kanter: en som begrenser den utvendig og den andre som begrenser den internt.
Mer generelt i matematikk og andre disipliner brukes begrepet "polyhedron" til å referere til en rekke relaterte konstruksjoner, noen geometriske og andre rent algebraisk eller abstrakt.
Spesielt er en polytop en konveks og avgrenset polyhedron.
I Computational Geometry: An Introduction , Preparata (en) og Shamos (en) definerer polyhedraene med et endelig sett med plane polygoner slik at hver kant av en polygon deles av en annen polygon, og enhver annen delmengde av polygoner ikke eier denne egenskapen . Denne definisjonen innebærer strenge begrensninger: for eksempel må polyeder ikke utvise selvkryss.
Polyhedra er vanligvis navngitt etter antall ansikter. Nomenklaturen er basert på klassisk gresk. Vi har således for eksempel: tetraeder (4 ansikter), pentaheder (5 ansikter), heksaheder (6 ansikter), heptaheder (7 ansikter), triakontaheder (30 ansikter), og så videre. Denne betegnelsesmetoden har sin tilsvarende i nomenklaturen for polygoner.
Kanter har to viktige egenskaper (med mindre polyhedronen er kompleks ):
Disse to egenskapene er to .
En polyhedron sies å være konveks hvis noe punkt i et hvilket som helst segment som forbinder noen av punktene i polyhedronet, tilhører polyhedronet. Med andre ord, en polyhedron er konveks hvis alle diagonalene er fullstendig inneholdt i det indre. Det er mulig å gi en barsentrisk definisjon av en slik polyhedron: den er den konvekse konvolutten til et endelig sett med ikke- coplanar punkter .
La være en polyhedron. Hvis vi merker oss:
vi kaller Eulers karakteristikk nummeret
For en konveks polyhedron er denne karakteristikken alltid lik 2. Det er Euler-forholdet
For hver flerhet er det en dobbel flerhet som har ansikter i stedet for de opprinnelige toppunktene og omvendt. I de fleste tilfeller kan dual oppnås ved prosessen med sfærisk gjensidighet . Dual av en vanlig polyhedron kan konstrueres ved å bli med i sentrene til tilstøtende ansikter.
En polyhedron er en tredimensjonal form som består av et endelig antall polygonale flater som er deler av fly ; ansiktene møtes langs kantene som er segmenter av høyre , og kantene møtes på de punktene som er angitt topper. De kuber , de prismer og pyramider er eksempler på polyedre.
Ofte avgrenser polyeder et begrenset volum med tredimensjonalt rom. Noen ganger anses dette indre volumet å være en del av polyedronet; andre ganger blir bare overflaten vurdert. Tradisjonell polyhedra inkluderer de fem vanlige konvekse polyedrene som kalles platoniske faste stoffer : tetraeder (4 flater), terningen (eller heksaheder) (6 flater), oktaeder (8 flater), den vanlige dodekaeder (12 flater) og ikosaeder (20 flater) ). De andre tradisjonelle polyedrene er de fire vanlige ikke-konvekse polyedrene ( Kepler-Poinsot-faste stoffer ), de tretten konvekse faste arkimediske faststoffene (kuboktaeder, icosidodecahedron, avkortet tetraeder, avkortet terning, avkortet oktaeder, avkortet dodekahedron, trunkeret kubad , myk kube, myk dodekaeder og rombikosidodekaeder) og de resterende 53 ensartede polyedrene .
En polyhedron har minst 4 ansikter, 4 hjørner og 6 kanter. Den minste polyhedronen er tetraeder.
Vi kan definere forskjellige klasser av polyedre med bestemte symmetrier :
Vi kaller et jevnt solid et solid med alle ansiktene vanlige og alle hjørnene identiske. Det samme er alle de tidligere vanlige og semi-vanlige faste stoffer. Det er 75 i alt, som de to uendelige familiene av prismer og antiprismer må legges til .
Selvfølgelig er det lett å vri slike polyeder på en slik måte at de ikke lenger er symmetriske. Men når et polyhedronnavn er gitt, for eksempel icosidodecahedron , er alltid den mest symmetriske geometrien involvert, med mindre annet er oppgitt.
De symmetri gruppene polyhedrale er alle punktgrupper og omfatter:
Chiral symmetrisk polyhedra har ikke aksial symmetri og har derfor to enantiomorfe former som er refleksjoner av hverandre. Myk polyhedra har denne egenskapen.
Vanlig polyederEn vanlig polyhedron har vanlige ansikter og vanlige hjørner. Dual av en vanlig polyhedron er også vanlig.
La oss starte fra et toppunkt og ta punktene som ligger på en gitt avstand på hver av kantene. Koble disse punktene, vi får toppunktet polygon . Hvis denne er vanlig, sier vi at toppen er vanlig. En polyhedron er vanlig hvis den består av alle identiske og vanlige ansikter, og alle hjørnene er identiske. De er ni i antall, konvensjonelt delt inn i to familier:
De kvasi-vanlige polyedrene er vanlige flater med ensartet topp og ensartet kant . Det er to konvekse:
De kvasi-vanlige doble polyedrene har en jevn kant og et jevnt ansikt (i) . Det er to konvekse, i samsvar med de to foregående:
Semi-vanlige polyedere og deres dualerBegrepet semi-vanlig er forskjellig definert. En definisjon er "polyhedra med ensartet toppunkt med to eller flere typer polygonale ansikter". De er virkelig de ensartede polyedrene som verken er vanlige eller kvasi-vanlige.
En polyhedron er semi-regelmessig hvis ansiktene består av flere typer vanlige polygoner, og alle hjørnene er identiske. Det er for eksempel arkimediske faste stoffer , vanlige prismer og antiprismer. Terminologien ser ikke ut til å være helt løst. Noen ganger snakker vi om semi-vanlige faste stoffer av den første typen for å betegne de av disse faste stoffene som er konvekse , og om ensartede faste stoffer for det generelle tilfellet. De katalanske polyedrene er semi-vanlige, men har identiske ansikter og vanlige toppmøter. Slike polyeder er noen ganger sagt å være semi-vanlige av den andre typen .
Konveks polyhedra og deres dualer inkluderer settene med:
Konveks uniform | Dobbel konveks | Stjerneklar uniform | Dobbel stjerne | |
---|---|---|---|---|
Regelmessig | Platoniske faste stoffer | Kepler-Poinsot faste stoffer | ||
Nesten vanlig | Arkimediske faste stoffer | Katalanske faste stoffer | (ikke noe spesielt navn) | (ikke noe spesielt navn) |
Semi-vanlig | (ikke noe spesielt navn) | (ikke noe spesielt navn) | ||
Prismer | Diamanter | Stjerneprismer | Stjernediamanter | |
Antiprism | Trapeszohedra | Antiprismer fra stjerner | Star trapezohedra |
Det er også mange ikke-konvekse, ensartede polyedre , inkludert eksempler på forskjellige typer prismer.
Edel polyederEn edel polyhedron (en) er både isohedral (en) (like sider) og isogonal (hjørner like). I tillegg til vanlig polyhedra er det mange andre eksempler.
Den doble av en edel polyeder er også en edel polyeder.
Noen familier av polyeder, hvor hvert ansikt er en polygon av samme slag:
Det er ikke noe som heter et polyhedron med ansiktene som er like, og som er vanlige polygoner med seks eller flere sider, fordi treffpunktet til tre vanlige sekskanter definerer et plan. (se uendelig skrå polyeder for unntak).
DeltahedraEn deltaheder er en flerhed som har alle ensidige trekanter. Det er uendelig mange av dem, men bare åtte er konvekse:
Norman Johnson lette etter ikke-ensartede polyedre med vanlige ansikter. I 1966 publiserte han en liste over 92 konvekse faste stoffer, nå kjent som Johnson faste stoffer , og ga dem navn og nummer. Han beviste ikke at det bare var 92, men han antok at det ikke var flere. Victor Zalgaller (i) i 1969 beviste at Johnsons liste var komplett.
De pyramidene er autodual.
Stellasjoner og fasetteringDen stellation av et polyeder er i ferd med å utvide flater (i sine fly), det vil si de møtes for å danne en ny polyeder.
Det er den nøyaktige omvendelsen av fasettering som er prosessen med å fjerne deler av et polyhedron uten å skape noen nye hjørner. Fasettering gjør det mulig å skaffe blant annet mange nye semi-vanlige konkave faste stoffer. Vi bygger nye vanlige ansikter ved å gruppere kantene på et semi-vanlig polyhedron. Den enkleste er en heptaheder som er bygd fra oktaeder, bestående av tre firkantede ansikter og fire trekantede ansikter.
TrunkeringerDet er operasjonen som består i å planlegge et toppunkt eller en kant. Det bevarer symmetriene til det faste stoffet.
Trunkering av hjørnerDenne operasjonen gjør det mulig å oppnå syv av de arkimediske faste stoffene fra de platoniske faste stoffene. Vi merker faktisk at ved høvling mer og mer kantene av en kube får man suksessivt den avstumpet kube , den kuboktaeder , den avkortede octahedron og til slutt octahedron . Du kan også følge denne serien i den andre retningen.
Fra den vanlige dodecahedronen får vi den avkortede dodecahedronen , icosidodecahedronen , den avkortede icosahedronen (som gir fotballen sin form), deretter oktaederet .
Den tetraeder gir avstumpet tetraeder .
Vi kan bruke denne operasjonen på den store dodekaeder eller den store icosahedron og få konkav ensartede faste stoffer.
KantavkortingFra en kube gir denne operasjonen suksessivt en kuboktaeder , deretter en rombisk dodekaeder .
Fra en vanlig dodecahedron får vi icosidodecahedron og deretter den rhombiske triacontahedronen .
ForbindelseneDe polyhedrale forbindelsene er dannet som forbindelser av to eller flere polyeder.
Disse forbindelsene deler ofte de samme hjørnene som andre polyeder og dannes ofte av stellasjon. Noen er oppført i listen over modell polyhedron Wenninger (i) .
ZonohedraEn zonohedron er en konveks polyhedron der hvert ansikt er en polygon med omvendt symmetri eller, tilsvarende, 180 ° rotasjoner .
Ordet "polyhedron" har blitt brukt om en rekke gjenstander med strukturelle egenskaper som ligner på tradisjonelle polyeder.
En kompleks polyhedron (en) er en polyhedron som er bygget i et rom med tredimensjonskompleks. Dette rommet har seks dimensjoner: tre reelle dimensjoner som tilsvarer vanlig rom, med en imaginær dimensjon som følger hver.
Noen studieretninger tillater polyhedra å ha buede ansikter og kanter.
Sfærisk polyhedraOverflaten på en kule kan deles med buer av store sirkler (avgrensende regioner kalt sfæriske polygoner ) for å danne en sfærisk polyhedron . Dette synspunktet er veldig godt egnet for å demonstrere en stor del av teorien om symmetrisk polyhedra.
Den buede polyhedraen fyller rommetDe to viktige typene er:
Mer nylig har matematikere definert et polyhedron som et sett i et reelt affint (eller euklidisk ) rom av enhver dimensjon n som har flate sider. Det kan defineres som foreningen av et endelig antall konvekse polyedre, hvor en konveks polyhedron er hvilket som helst sett som er skjæringspunktet mellom et endelig antall halvrom . Det kan være avgrenset eller ubegrenset. I denne forstand er en polytop en avgrenset polyeder.
Alle tradisjonelle polyeder er generelle polyeder, og i tillegg er det eksempler som:
“ Originalsynd i teorien om polyeder går tilbake til Euclid, deretter gjennom Kepler, Poinsot , Cauchy , Hess (de) , Brückner ... [i dette] at forfatterne på hvert trinn ... ikke har definert hva“ er ”polyhedra“ ... "
. Se også Grünbaum 2003 .