Secant metode

I numerisk analyse er secant-metoden en algoritme for å finne null av en funksjon $f$ .

Metoden

Secant-metoden er en metode som kan sammenlignes med Newton , der vi erstatter med Vi oppnår gjentakelsesrelasjonen : $f '(x_ {n}) \,$ ${\ frac {f (x_ {n}) - f (x _ {{n-1}})} {x_ {n} -x _ {{n-1}}}}.$

x _ {{n + 1}} = x_ {n} - {\ frac {x_ {n} -x _ {{n-1}}} {f (x_ {n}) - f (x _ {{n -1}})}} f (x_ {n}).

Initialiseringen krever to punkter $x 0$ og $x 1$ , om mulig nær den søkt løsningen. Det er ikke nødvendig at $x 0$ og $x 1$ vedlegger en rot av $f$ . Secant-metoden kan også sees på som en generalisering av den falske posisjonsmetoden , der beregningene gjentas.

Demonstrasjon

Gitt $a$ og $b$ , konstruerer vi linjen som går gjennom $( a , f ( a ))$ og $( b , f ( b ))$ . Ligningen er:

yf (b) = {\ frac {f (b) -f (a)} {ba}} (xb).

Vi velger $c$ lik abscissen til ordinatpunktet $y = 0$ på denne linjen:

f (b) + {\ frac {f (b) -f (a)} {ba}} (cb) = 0.

Hvis vi trekker ut $c$ fra denne ligningen, finner vi gjentakelsesrelasjonen sitert ovenfor:

c = b - {\ frac {ba} {f (b) -f (a)}} f (b),

med

{\ displaystyle c = x_ {n + 1}, \, b = x_ {n}, \, a = x_ {n-1}.}

Konvergens

Hvis utgangsverdiene $x 0$ og $x 1$ er tilstrekkelig nær løsningen, vil metoden ha en konvergensrekkefølge på

\ varphi = {\ frac {1 + {\ sqrt {5}}} {2}} \ simeq 1.618

som er det gyldne forholdet .

Vi kan demonstrere dette resultatet under forutsetning av at funksjonen $f$ er to ganger kontinuerlig differensierbar, og løsningen er en enkel rot av $f$ .

Ingen av disse to forholdene er imidlertid nødvendige, verken for å anvende metoden eller for å sikre dens konvergens. Metoden kan absolutt ikke brukes hvis funksjonen ikke viser tegnendring mellom $x 0$ og $x 1$ ( f.eks: $f ( x ) = x 2$ mellom -1 og 1). Imidlertid, for enhver kontinuerlig funksjon som presenterer en endring av tegnet og innrømmer en enkelt rot i det vurderte intervallet, gjelder metoden og konvergerer i det minste lineært. Det er ikke nødvendig at $f$ kan differensieres: metoden kan brukes på en kontinuerlig funksjon som ikke kan differensieres, for eksempel Weierstrass-funksjonen .

Se også

Vurdering og referanse

Demonstrasjon i Nikolai Bakhvalov, Numeriske metoder , Moskva, Mir-utgavene ,1976, s. 402-403.

Bibliografi

Jean Dieudonné , Calculus infinitesimal [ detalj av utgaver ], kap. II