Prime Eisenstein nummer

I matematikk er et primtall Eisenstein- tall eller Eisenstein primtall et irreduserbart (eller tilsvarende primært ) element a + b ω av Eisenstein- ringen av heltall : det er ikke en av de seks enhetene (± 1, ± ω, ± ω 2 ) og dens eneste delere i ringen er enhetene og produktene til a + b ω av en enhet.

Her betegner ω den primitive kubiske roten til enhet (- 1 + $i$ √ 3 ) / 2.

Eisenstein-tallene ble oppkalt etter matematikeren Gotthold Eisenstein .

Besluttsomhet

De viktigste Eisenstein-tallene er:

de vanlige primtallene som er kongruente til –1 modulo 3 og deres produkter etter enheter;
Eisensteins heltall hvis norm ( kvadratmodulen ) er et vanlig primtal (som da nødvendigvis er lik 3 eller kongruent til 1 modulo 3).

Direkte demonstrasjon

I henhold til de generelle egenskapene til normen på en ring av kvadratiske heltall , blir primær Eisenstein-tallene oppnådd ved å dekomponere i usual [ω] de vanlige primtallene, og for et slikt primtall naturlig tall p er det n 'bare to muligheter :

ellers forblir p ikke reduserbart i ℤ [ω],
eller p = N (π) for et eller annet element π av ℤ [ω], som da ikke kan reduseres.

Det gjenstår å verifisere at disse to tilfellene tilsvarer de kunngjørte kongruensene.

Hvis p ≡ –1 mod 3, er vi i første omgang. Faktisk er enhver norm for et element π = a + b ω av ℤ [ω] et kvadratmod 3 , siden 4 N (π) = (2 a - b ) 2 + 3 b 2 .
Hvis p ≡ 1 mod 3, er vi i den andre. Et spesielt tilfelle av den kvadratiske gjensidighetsloven viser at –3 er et kvadratmod p , det vil si at det eksisterer et heltall x slik at p deler x 2 + 3. I ℤ [ω] kan p derfor ikke være irredusierbart ellers, ved å dele x 2 + 3 = ( x + $i$ √ 3 ) ( x - $i$ √ 3 ), vil det dele en av faktorene, noe som er umulig fordi tallene ( x + $i$ √ 3 ) / p = ( x + 1) / p + (2 / p ) ω og konjugatet er ikke i ringen (2 kan ikke deles med p ).
3 = N (2 + ω).

Demonstrasjon via idealer

ℤ [ω] å være prinsipiell, er dens viktigste elementer generatorene for dets ikke- primære idealer . Hver av disse idealene har seks ( tilknyttede ) generatorer . Den klassifisering av disse ideal i ringen av hele tall ℚ ( $\sqrt d$ ) for en hvilken som helst d ( jf detaljert artikkel), anvendt her for å d = -3, så viser at disse elementer er:

for ethvert primtall p > 3 modulo som –3 ikke er et kvadrat, de seks elementene assosiert med p ;
for ethvert primtall p > 3 modulo som –3 er et kvadrat, de tolv elementene i norm p ;
de seks elementene i standard 3.

I henhold til loven om kvadratisk gjensidighet er modulo et primtall p > 3, –3 et kvadrat hvis og bare hvis p ≡ 1 mod 3.

Eksempler

De ti minste (vanlige) primtallene som er kongruente til 2 modulo 3 er 2 , 5 , 11 , 17 , 23 , 29 , 41 , 47 , 53 og 59 . Fra og med 2007 er den største kjente 19 249 × 2 13 018 586 + 1, oppdaget av Konstantin Agafonov. Det er for øyeblikket (ifebruar 2015) det ellevte største kjente primtallet.

Med unntak av konjugasjon og produsert av de seks enhetene, er de eneste primære Eisenstein-tallene med modul mindre enn 7, i tillegg til 2 og 5: 2 + ω, 3 + ω, 4 + ω, 5 + 2ω, 6 + ω, 7 + 3ω og 7 + ω (av respektive standarder 3, 7, 13, 19, 31, 37 og 43). Eisenstein-tallene i norm 3 er bemerkelsesverdige ved at hvert er produsert av sitt konjugat av en enhet: 3 = (2 + ω) (2 + ω) = - (2 + ω) 2 .

Merknader og referanser

(fr) Denne artikkelen er delvis eller helt hentet fra den engelske Wikipedia- artikkelen med tittelen " Eisenstein prime " ( se forfatterlisten ) .

Denne ringen er euklidske derfor hoved og derfor faktoriell , det vil si at alle de ikke-reduserbare elementer er førsteklasses.
For de mindre 1000, se fortsettelsen A003627 av OEIS .
(i) Chris Caldwell, " The Top Twenty: Largest Known Primes " på Prime Pages .
De ti første større primtalene er Mersennes primtall oppdaget av GIMPS .