Hyperreal nummer

I matematikk utgjør det ordnede feltet av hyperreale tall en utvidelse * ℝ av de vanlige reelle tallene , noe som gjør det mulig å gi en streng mening til forestillingene om uendelig liten eller uendelig stor mengde. Vi kan da unngå bruk av grenseoverganger og uttrykk betinget av en verdi ε “så liten som vi vil”. Det er ikke noe unikt med settet * ℝ, men valget av en bestemt utvidelse har liten effekt i praksis.

Akkurat som vi kan bygge settet med reelle tall fra sekvenser av rasjonelle tall , kan vi bygge en modell av hyperreale tall fra sekvenser av reelle tall. Teknisk sett bruker vi en ultra-kraft for å bygge denne utvidelsen. På en tilsvarende måte kan man definere hyperreale tall ved hjelp av en ikke-standard modell av reelle tall.

Innledning: hvorfor hyperreal?

Den "  uendelige  " analysen fra XVII -  tallet , som systematisk ble utnyttet av Leibniz , Johann Bernoulli , Euler og andre, hadde vekket sterk kritikk , ganske lik den som ble forårsaket av innføringen av "  tall imaginære  " negative kvadrat. Men i motsetning til sistnevnte, kunne de tilsvarende tekniske problemene (som negasjonen av Archimedes ' aksiom ) ikke løses, noe som førte til at de uendelige simalene gradvis forsvant og ble erstattet av Bolzano , Cauchy og Weierstrass , av moderne forestillinger om grense , kontinuitet osv.

Imidlertid kunne vi fortsatt vurdere å legge til de virkelige nye objektene som gjør det mulig å gjøre resonnementet grundig med det uendelig små, og det ble gjort forskjellige forsøk i denne retningen (for eksempel av Hadamard og du Bois-Reymond ), men dette uten særlig suksess ., av grunner som bare matematisk logikk skal gjøre klart.

Allerede i 1930 viste imidlertid Skolems arbeid at en utvidelse av realene muliggjorde en sann uendelig minimal kalkyle. Det er faktisk flere av disse utvidelsene, men det eksakte valget av en av dem har ikke store praktiske konsekvenser (selv om de ikke alle er isomorfe); man kaller generelt "hyperrealistiske tall" noen av dem.

Et hyperrealistisk (ikke-reelt) tall kan således for eksempel representere en mengde "større enn hvilken som helst helhet" (derfor "uendelig stor") eller "mindre enn den inverse av en helhet" (derfor uendelig liten), eller til og med en mengde uendelig nær 1, men strengt mindre enn den.

Historisk

I 1948 definerte Edwin Hewitt , som en del av sitt arbeid med ringer av virkelige funksjoner, objekter som kan identifiseres med disse tallene, og ga dem navnet "  hyperreal  ". Jerzy Łoś  (en) viste i 1955 at disse kroppene hadde alle egenskapene til en elementær utvidelse  (en) av realer.

Det var på begynnelsen av 1960-tallet at Abraham Robinson , som en del av sitt arbeid med ikke-standardanalyse , måtte definere hyperrealistiske tall og gi dem deres nåværende navn, med en eksplisitt referanse til Hewitt-arbeidet. Robinson sluttet seg til bekymringene til Leibniz (og andre analytikere fra det XVII -  tallet ) som ønsket å gi mening om det uendelig små og uendelig store antallet, tall sett på å ha "nesten" alle egenskapene til ekte konvensjonell (eller standard).

Robinsons konstruksjon brukte hovedsakelig modellteori . En mer eksplisitt konstruksjon med ultra-produkter (og som ble med i konstruksjonene til Hewitt) ble oppdaget noen år senere, og det er den som vil bli eksponert her. Deretter ble en mer generell aksiomatisk tilnærming til ikke-standard analyse, Internal Set Theory (IST), foreslått av Edward Nelson  : den er basert på Zermelo-Fraenkel-aksiomatikken som det er lagt til tre nye aksiomer; den detaljerte beskrivelsen av disse aksiomene og deres konsekvenser er gitt i artikkelen: ikke-standard analyse . I denne siste tilnærmingen (som dessuten har mye mer generelle anvendelser enn konstruksjonen av uendelige dyr), skaper vi strengt tatt ikke nye realer, men vi skiller mellom realene en samling (som ikke er et sett) reelle standarder, de andre oppfører seg i forhold til disse som uendelig liten eller uendelig stor for eksempel.

Konstruksjon

Målet er å bygge en overbody * ℝ av ℝ som har uendelig store og uendelig små tall. Denne overkroppen må være fullstendig ordnet og verifisere at ethvert tall x som ikke er uendelig stort skrives x * + ε med x * et reelt tall og ε et uendelig stort tall.

Denne konstruksjonen involverer ganske naturlig sekvenser av reelle tall; dermed tolkes sekvensen som et uendelig lite tall og ( n 2 ) som et uendelig stort tall. De virkelige tallene er bevart i de konstante sekvensene. Tilsetning og multiplikasjon av sekvenser gir et godt grunnlag for å oppnå en kroppsstruktur. Dessverre mangler den totale rekkefølgen: det er ikke klart at det hyperrealistiske tallet som tilsvarer den oscillerende sekvensen (1; -1; 1; -1; ...) er strengt positivt eller strengt negativt. Vi observerer det sagt at det å få to serier med reelle tall, er settene med indekser der den ene er større enn den andre komplementære. Å velge en total rekkefølge på hyperreale tall tilsvarer derfor å velge en del av ℕ i hvert par av deler (A; ℕ \ A). Dette siste valget fører direkte til forestillingen om ultrafilter på ℕ, hvorfra følgende konstruksjon følger.

Konstruksjonen av hyperrealiteter gjøres fra et ultrafilter U på ℕ som ikke inneholder noen endelig del av ℕ (vi sier at det er et gratis ultrafilter ). Vi kan dessverre ikke vise en slik en ultrafilter U , hvis eksistens hviler på avgrensningen av filteret av delene co-ferdig ℕ av Zorns lemma , og derfor slutt på aksiom valg .

Vi konstruerer mengden M av reelle tall inkludert settet med indekser n hvor er et element i ultrafilteret. Vi kan skrive på en fortettet måte . Et slikt sett M er et maksimalt ideal for kommutativ ring av serie med reelle tall ℝ ℕ . Så kvotientringen ℝ ℕ / M er et ordnet kommutasjonsfelt som inneholder ℝ. Dette settet (utstyrt med lovene indusert av kvotienten) er et totalt ordnet overbody av ℝ. Den inneholder for eksempel det uendelig små (1; 1/2; 1/3;…; 1 / n  ;…) (eller mer presist ekvivalensklassen til denne sekvensen). På den annen side mister vi overgrenseteoremet på hyperrealistiske tall.

Vi bemerker at kardinalen til * ℝ er og derfor er dette settet ekvipotent til ℝ; det nøyaktige settet som oppnås, avhenger imidlertid av det valgte ultrafilteret: alle de hyperreale tallsystemene konstruert på denne måten er ikke nødvendigvis isomorfe for hverandre. De er imidlertid isomorfe hvis vi aksepterer kontinuumhypotesen .

Definisjoner

Det sies et hyperrealtall x

Spesielt uansett hva det reelle tallet er et strengt positivt, x et strengt positivt uendelig, og X et uendelig stort positivt, har vi: -X <-a <-x <0 <x <a <X .

For enhver merkbar x, eksisterer det en unik real, standarddelen (eller skyggen) av x, bemerket x *, slik at xx * er uendelig liten; skrivingen i x * + ε av et ikke-uendelig stort hyperrealtall kommer fra en enkel dikotomi (i ℝ) autorisert av totalordren på * ℝ. Faktisk er et ikke-uendelig stort hyperrealt tall inneholdt i et segment med reelle grenser; dette segmentet kuttes suksessivt i 2 for å ramme inn det hyperrealistiske tallet mer og mer presist. Ved de nestede segmentsætningen får vi dermed det unike reelle tallet x *.

Et eksempel på bruk

Med de forrige definisjonene uttrykkes mange forestillinger om klassisk analyse på en enklere måte: Hvis er en uendelig liten null, er derivatet av f at a skyggen (standarddelen) av det hyperrealistiske  : alt skjer som om vi trengte ikke lenger begrepet grense. Andre eksempler (og detaljer om gyldigheten av disse argumentene) finner du i artikkelen som ikke er standardanalyse .

Merknader og referanser

Merknader

  1. I virkeligheten krever vi også at alle egenskapene til ℝ holdes, noe som kan virke absurd (ℝ er faktisk det største arkimediske ordnede feltet), men endrer litt betydningen av egenskaper som den øvre grensen, konstruksjonen som følger gjør det mulig å lykkes, som Robinson viste.
  2. Det bør bemerkes likevel at mye enklere konstruksjoner nok til å få utvidelser av ℝ besittelse infinitesimals, for eksempel innen rasjonelle fraksjoner ℝ (X); men disse utvidelsene tillater ikke en ekte ikke-standard analyse; altså, i ℝ (X) har vi ikke en eksponentiell funksjon ...

Referanser

  1. (in) Edwin Hewitt, Rings of Continuous Real-Valued Functions .
  2. Robinson ( Non-standard Analysis , 1966, s. 278) snakker om ”  teorien om hyperreale felt (Hewitt [1948]) som […] kan tjene som ikke-standardiserte analysemodeller  ” . Se også (i) H. Jerome Keisler , "The hyperreal line" , i P. Ehrlich, Real Numbers, Generalizations of the Reals, and Theories of Continua , Kluwer Academic Publishers,1994( les online ) , s.  207-237.
  3. André Pétry, "En tur i ikke-standard analyse i fotsporene til A. Robinson" .
  4. Goldblatt 1998 , s.  33.
  5. Dette er en enkel konsekvens av et modellteori argument  ; se dette svaret (in) på matematikkflyt .

Vedlegg

Bibliografi

Relaterte artikler

Surrealistisk nummer