Negativt tall

Et negativt tall er et reelt tall som er mindre enn null , for eksempel −3 eller −π.

Historie

Det første kjente utseendet av negative tall er i de ni kapitlene om matematisk kunst ( Jiǔzhāng suanshu ), inkludert versjoner som har overlevd, stammer fra begynnelsen av Han-dynastiet ( II - tallet f.Kr. ) Uten det kan vi datere de originale versjonene, sannsynligvis eldre. De ni kapitlene bruker røde nummereringsstokker for positive tall og svart for negative tall. Dette tillot kineserne å løse et system med lineære ligninger med negative koeffisienter.

I India lager det sammenhengende regler for arbeid, og vi forstår deres betydning (samtidig som null ) i situasjoner som lån, som bevist av Brāhmasphuṭasiddhānta of Brahmagupta ( VII th century), men disse begrepene kan være tidligere. Brahmagupta bruker negative tall i den kvadratiske ligningen og løsningen; ordforrådet er det for handel (et negativt tall er gjeld, et positivt tall er formue).

Indiske konsepter spredte seg sakte vestover; Rundt år 1000 brukte arabisk-muslimske matematikere som Abu l-Wafa ofte null og negative tall (for å representere gjeld, igjen), og Vesten kom i kontakt med disse begrepene.

Begrepet negativ mengde forblir imidlertid sjokkerende i lang tid; når negative tall vises, blir de ansett som "absurde" eller falske. For eksempel Diofant ( III th -tallet) om ligning 4 x + 20 = 0, løsningen er -5, sa at det er "absurd". I India, Bhaskara ( XII th -tallet) bruker negative tall, men avviser de negative løsninger av den kvadratiske ligning; han anser dem for utilstrekkelige og umulige å tolke. Det vil også i Vesten i det minste til XVIII th århundre. Likevel er det autorisert å bruke, til og med kalle dem "absurde" som Nicolas Chuquet ( XV - tallet) som brukes som eksponent .

Vestlige matematikere motstår konseptet, bortsett fra i kommersiell sammenheng (fortsatt) hvor de kan tolkes som gjeld ( Fibonacci , kapittel 13 i Liber Abaci , 1202) eller tap (Fibonacci, Flos , 1225).

Negative tall får gradvis statsborgerskap i løpet av XIX - tallet, bare for å bli virkelig akseptert det XX - tallet.

Generell

Når vi snakker om positive eller negative tall , blir tallet null ofte ekskludert. Lexis-ordboken spesifiserer: "Negative tall, positive tall og null utgjør settet med relative tall" . Det franske akademiet , i den niende utgaven av sin ordbok , spesifiserer at et negativt tall er "mindre enn null og foran tegnet -" . For noen forfattere blir imidlertid adjektivene "positive" og "negative" tatt i vid forstand, det vil si at null er inkludert; null er således, ifølge denne betydningen, et tall (det eneste) samtidig positivt og negativt. Når et tall er negativt og ikke null, kan man spesifisere, for å unngå forvirring, at det er strengt negativt .

Negative heltall kan sees på som en utvidelse av naturlige heltall , slik at ligningen x - y = z har en meningsfull løsning for alle verdier av x og y ; settet med positive eller negative heltall kalles settet med relative heltall . De andre tallsettene kan deretter konstrueres som gradvis mer forseggjorte utvidelser eller som generaliseringer fra heltall.

Settet med negative relative heltall er vanligvis betegnet ; ${\ mathbb {Z}} _ {-}$
settet med strengt negative relative heltall er vanligvis betegnet ; ${\ mathbb {Z}} _ {-} ^ {*}$
settet med negative rasjonelle tall blir vanligvis notert ; ${\ mathbb {Q}} _ {-}$
settet med strengt negative rasjonelle tall blir vanligvis notert ; ${\ mathbb {Q}} _ {-} ^ {*}$
settet med negative reelle tall blir vanligvis notert ; ${\ mathbb {R}} _ {-}$
settet med strengt negative reelle tall blir vanligvis notert . ${\ mathbb {R}} _ {-} ^ {*}$

Et negativt tall skrives uten skilletegn etter minustegnet.

I regnskap representeres et negativt tall med et tall skrevet i rødt , eller med et tall i parentes.

Tolkning

Negative tall gir mening for:

representerer gjeld eller underskudd (i motsetning til positive eiendeler);
representerer tap eller mer generelt "mindre" variasjoner. Eksempel: nedstigninger (fra en stige eller fra en heis), i motsetning til stigninger representert med positive tall; ødeleggelse (kanselleringer, slettinger osv.) i motsetning til kreasjoner (økninger osv.) representert med positive tall;
beskrive verdier på en skala som faller under en tidligere fast referanse ( null ), slik som temperatur , markering av undergrunnenivå, nedsenkningsdybde under havnivå osv .;
tell en manglende mengde i forhold til en referanse. Eksempler: et tomrom i et solid objekt; mangel på en militær enhet sammenlignet med dens nominelle styrke; gradering av en skala uten platen som brukes til å inneholde gjenstandene som skal veies (den er på null med platen, derfor under når den fjernes).

Aritmetikk som involverer negative tall

Addisjon og subtraksjon

Å legge til et negativt tall tilsvarer å trekke det tilsvarende positive tallet:

5 + (−3) = 5 - 3 = 2 −2 + (−5) = −2 - 5 = −7

Å trekke et positivt tall fra et mindre positivt tall gir et negativt resultat:

4 - 6 = −2 (hvis du har 4 € i lommen og bruker 6 € , så har du en gjeld på 2 € ).

Å trekke et positivt tall fra et negativt tall gir et negativt resultat:

−3 - 6 = −9 (hvis du har en gjeld på € 3 og du fortsatt bruker € 6 , så har du en gjeld på € 9 ).

Å trekke et negativt tall tilsvarer å legge til det tilsvarende positive tallet:

5 - (−2) = 5 + 2 = 7 (hvis du har en nettoverdi på € 5 og blir kvitt en gjeld på € 2 , så har du en verdi på € 7 i lommen).

Også:

(−8) - (−3) = −5 (hvis du har en gjeld på € 8 og blir kvitt en gjeld på € 3 , vil du fortsatt ha en gjeld på € 5 ).

Multiplikasjon

Det produkt av et negativt tall med et positivt tall gir et negativt resultat: (-2) · 3 = -6.

Tolkning : Vi vil ha en multiplikasjon av denne typen når en negativ hendelse oppstår flere ganger (i eksemplet resulterer tredobling av en gjeld på 2 € i en gjeld på 6 € ), eller når en positiv mengde forsvinner (i eksemplet, tapet av 2 stipend på 3 euro).

Å multiplisere to negative tall gir et positivt resultat: (−2) · (−3) = 6.

Tolkning : det vil være en multiplikasjon av denne typen under forsvinningen (som er representert med et negativt tall, hvis kreasjonene telles positivt) av en negativ mengde (for eksempel en gjeld); for eksempel 3 gjeldssaneringer på 2 euro hver (vi har en berikelse på 6 euro), eller eliminering av 2 tomrom hver på 3 enheter (tilsvarende tillegg av 6 enheter ).

Vi finner fordelingen av multiplikasjon:

(3 + (−3)) · (−2) = 3 · (−2) + (−3) · (−2).

Venstre side av denne relasjonen er 0 · (−2) = 0. Den høyre siden er en sum av −6 + (−3) · (−2); for at begge sider skal være like, trenger vi (−3) · (−2) = 6.

Merknader og referanser

(fr) Denne artikkelen er helt eller delvis hentet fra Wikipedia-artikkelen på engelsk med tittelen “ Negativt nummer ” ( se listen over forfattere ) .

I henhold til alle klassiske franske ordbøker. Noen forfattere anser imidlertid også null som et negativt tall: se "Generelt" -delen.
(i) Dirk Jan Struik , A Concise History of Mathematics , Dover, 2012 ( 4 th ed.), P. 33 : “ I disse matrisene finner vi negative tall, som vises her for første gang i historien. "
(in) Robert KG Temple , The Genius of China: 3000 Years of Science, Discovery, and Invention (forord av Joseph Needham ), New York, Simon og Schuster, 1986 ( ISBN 978-0-671-62028-8 ) , s. 141 .
Modern regnskap bruk er nøyaktig det motsatte: positive tall er svart, rød representerer negative mengder.
(i) Britannica Concise Encyclopedia , 2007 algebra .
Nicolas Bourbaki , Elementer i matematikkens historie [ detalj av utgaver ], 2007, § Utviklingen av algebra, s. 70 ( s. 49 i den engelske utgaven 1998 ).
Se Manuscript Bakhshali og (in) John J. O'Connor og Edmund F. Robertson , "The Bakhshali manuscript" i MacTutor History of Mathematics archive , University of St. Andrews ( les online )..
(i) Alberto A. Martinez, Negativ matematikk: Hvordan matematiske regler kan bøyes positivt , Princeton University Press, 2006 [ les online ] (en historie med kontroverser om negative tall, hovedsakelig fra 1600-tallet til begynnelsen av XX - tallet).
Librairie Larousse, 1975.
Denise Laurent og Guy Barussaud, matematikkprøver , kupong , koll. " Offentlig tjenestekonkurranse ",2010( les online ) , s. 46.
Georges Alain, praksis i matematikk fra A til Å , Hatier ,2004( les online ) , s. 32.
G. Bonnefond, D. Daviaud, B. Revranche et al. , Alt-i-ett av de 5 th , Hatier , coll. "Ugle",2017( les online ) , s. 72.
Denne terminologien skiller seg derfor fra den angelsaksiske terminologien, der “ negative tall ” er strengt negative tall , hvor null hverken blir betraktet som et positivt tall eller som et negativt tall. Negative tall, sammen med null, kalles " ikke-positive tall " på engelsk.