Bessel-funksjon

I matematikk , og nærmere bestemt i analysen , Bessel-funksjoner , også noen ganger kalt sylindriske funksjoner, oppdaget ved den sveitsiske matematikere Daniel Bernoulli , bærer navnet på den tyske matematikeren Friedrich Wilhelm Bessel . Bessel utviklet analysen av disse funksjonene i 1816 som en del av sine studier av bevegelse av planeter indusert av gravitasjonsinteraksjon, og generaliserte Bernoullis tidligere funn. Disse funksjonene er kanoniske løsninger y ( x ) av Bessels differensialligning  :

x2d2ydx2+xdydx+(x2-α2)y=0{\ displaystyle x ^ {2} {\ frac {\ mathrm {d} ^ {2} y} {\ mathrm {d} x ^ {2}}} + x {\ frac {\ mathrm {d} y} { \ mathrm {d} x}} + (x ^ {2} - \ alpha ^ {2}) y = 0}

for ethvert reelt eller komplekst tall α. Oftest er α et naturlig heltall (da kalt rekkefølgen på funksjonen), eller et halvt heltall.

Det er to typer Bessel-funksjoner:

• Bessel-funksjoner av første slag, J N , oppløsninger av de ovennevnte differensialligningen som er definert ved 0;
• Bessel-funksjonene av den andre typen, Y n , løsninger som ikke er definert i 0 (men som har en uendelig grense i 0).

Grafiske fremstillinger av Bessel-funksjoner ligner de på sinus- eller cosinusfunksjonene, men de demper som om de var sinus- eller cosinusfunksjoner delt på et begrep av formen √ x .

Bessel-funksjoner er også kjent som sylindriske funksjoner eller sylindriske harmoniske , fordi de er en del av løsningene til Laplace-ligningen i sylindriske koordinater (involvert for eksempel i forplantningen av varme i en sylinder).

De er involvert i mange fysiske problemer med sylindrisk symmetri:

• de elektromagnetiske bølgene eller de akustiske bølgene i en sylindrisk føring (antenne eller rør);
• vibrasjonsmåtene til en tynn sirkulær eller ringformet membran ;
• studiet av optiske instrumenter som optiske fibre bestående av en konsentrisk kjerne og optisk kledning;
• den Bessel pendel  ;
• fenomenene diffraksjon ved en sirkulær spalte;
• studiet av frekvensmodulering i telekommunikasjon.

Uttrykk for Bessel-funksjoner

For heltallverdiene til α = n er Bessel-funksjonene av den første typen J n definert av følgende heltallserie (av uendelig konvergensradius ):

Jikke(x)=∑s=0∞(-1)ss!(ikke+s)!(x2)2s+ikke{\ displaystyle J_ {n} (x) = \ sum _ {p = 0} ^ {\ infty} {(- 1) ^ {p} \ over p! (n + p)!} {\ left ({x \ over 2} \ høyre)} ^ {2p + n}}. Demonstrasjon

Recall: . Jikke(x)=1π∫0πcos⁡(ikkeθ-xsynd⁡θ)dθ=1π∫0πcos⁡(ikkeθ)cos⁡(xsynd⁡θ)dθ+1π∫0πsynd⁡(ikkeθ)synd⁡(xsynd⁡θ)dθ{\ displaystyle J_ {n} (x) = {\ frac {1} {\ pi}} \ int _ {0} ^ {\ pi} \ cos (n \ theta -x \ sin \ theta) \, \ mathrm {d} \ theta = {\ frac {1} {\ pi}} \ int _ {0} ^ {\ pi} \ cos (n \ theta) \ cos (x \ sin \ theta) \, \ mathrm {d } \ theta + {\ frac {1} {\ pi}} \ int _ {0} ^ {\ pi} \ sin (n \ theta) \ sin (x \ sin \ theta) \, \ mathrm {d} \ theta}

La oss uttrykke cos og synd ved deres respektive heltallserier:

cos⁡(xsynd⁡θ)=∑k=0∞(-1)kx2k(2k)!synd2k⁡θ{\ displaystyle \ cos (x \ sin \ theta) = \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} (- 1) ^ {k} {x ^ {2k} \ over (2k)!} \ sin ^ {2k} \ theta} synd⁡(xsynd⁡θ)=∑k=0∞(-1)kx2k+1(2k+1)!synd2k+1⁡θ{\ displaystyle \ sin (x \ sin \ theta) = \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} (- 1) ^ {k} {x ^ {2k + 1} \ over (2k + 1)! } \ sin ^ {2k + 1} \ theta}

derfor :

Jikke(x)=1π∫0πcos⁡(ikkeθ)∑k=0∞(-1)kx2k(2k)!synd2k⁡θdθ+1π∫0πsynd⁡(ikkeθ)∑k=0∞(-1)kx2k+1(2k+1)!synd2k+1⁡θdθ{\ displaystyle J_ {n} (x) = {\ frac {1} {\ pi}} \ int _ {0} ^ {\ pi} \ cos (n \ theta) \ sum _ {k = 0} ^ { \ infty} (- 1) ^ {k} {x ^ {2k} \ over (2k)!} \ sin ^ {2k} \ theta \, \ mathrm {d} \ theta + {\ frac {1} {\ pi}} \ int _ {0} ^ {\ pi} \ sin (n \ theta) \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} (- 1) ^ {k} {x ^ {2k + 1} \ over (2k + 1)!} \ sin ^ {2k + 1} \ theta \, \ mathrm {d} \ theta}.

De to seriene og er større i absolutt konvergerende serier uavhengig av . Vi kan derfor bruke Fubinis teorem  : |∑k=0∞(-1)kx2k(2k)!cos⁡(ikkeθ)synd2k⁡θ|{\ displaystyle \ left | \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} (- 1) ^ {k} {x ^ {2k} \ over (2k)!} \ cos (n \ theta) \ sin ^ {2k} \ theta \ right |}|∑k=0∞(-1)kx2k+1(2k+1)!synd⁡(ikkeθ) synd2k+1⁡θ|{\ displaystyle \ left | \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} (- 1) ^ {k} {x ^ {2k + 1} \ over (2k + 1)!} \ sin (n \ theta ) \ \ sin ^ {2k + 1} \ theta \ right |}θ{\ displaystyle \ theta}

Jikke(x)=1π∑k=0∞(-1)kx2k(2k)!∫0πcos⁡(ikkeθ)synd2k⁡θdθ+1π∑k=0∞(-1)kx2k+1(2k+1)!∫0πsynd⁡(ikkeθ)synd2k+1⁡θdθ{\ displaystyle J_ {n} (x) = {\ frac {1} {\ pi}} \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} (- 1) ^ {k} {x ^ {2k} \ over (2k)!} \ int _ {0} ^ {\ pi} \ cos (n \ theta) \ sin ^ {2k} \ theta \, \ mathrm {d} \ theta + {\ frac {1} {\ pi}} \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} (- 1) ^ {k} {x ^ {2k + 1} \ over (2k + 1)!} \ int _ {0} ^ {\ pi} \ sin (n \ theta) \ sin ^ {2k + 1} \ theta \, \ mathrm {d} \ theta}.

La oss stille . Vi har da, med Eulers formel: z=eJegθ{\ displaystyle z = e ^ {i \ theta}}

Jikke(x)=1π∑k=0∞(-1)k(2Jeg)2k+1x2k(2k)!∫1-1(z2ikke+1)(z2-1)2kzikke+1+2kdz-Jegπ∑k=0∞(-1)k(2Jeg)2(k+1)x2k+1(2k+1)!∫1-1(z2ikke-1)(z2-1)2k+1zikke+2k+2dz{\ displaystyle J_ {n} (x) = {\ frac {1} {\ pi}} \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} {(- 1) ^ {k} \ over (2i) ^ {2k + 1}} {x ^ {2k} \ over (2k)!} \ Int _ {1} ^ {- 1} {\ frac {(z ^ {2n} +1) (z ^ {2} - 1) ^ {2k}} {z ^ {n + 1 + 2k}}} \, \ mathrm {d} z - {\ frac {i} {\ pi}} \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} {\ frac {(-1) ^ {k}} {(2i) ^ {2 (k + 1)}}} {x ^ {2k + 1} \ over (2k + 1)!} \ int _ {1} ^ {- 1} {\ frac {(z ^ {2n} -1) (z ^ {2} -1) ^ {2k + 1}} {z ^ {n + 2k + 2}}} \ , \ mathrm {d} z}.

De to funksjonene i z er holomorfe funksjoner som presenterer en pol i z = 0. Det er derfor mulig å beregne integralet på en kontur som defineres av enhetssirkelen sentrert ved z = 0. I henhold til residuet teoremet disse integraler skal ha de verdi 2iπRés ( f , z = 0), hvor Res ( f , z = 0) er verdien av resten av hver av disse funksjonene ved z = 0, dvs. verdien av koeffisienten til z -1 av deres respektive Laurent-utvidelser .

La oss først arbeide med saken om en jevn indeks, nemlig  : J2m{\ displaystyle J_ {2m}}

J2m(x)=1π∑k=0∞(-1)k(2Jeg)2k+1x2k(2k)!∫1-1(z4m+1)(z2-1)2kz2m+1+2k⏞f2m(z)dz-Jegπ∑k=0∞(-1)k(2Jeg)2(k+1)x2k+1(2k+1)!∫1-1(z4m-1)(z2-1)2k+1z2m+2k+2⏞g2m(z)dz{\ displaystyle J_ {2m} (x) = {\ frac {1} {\ pi}} \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} {(- 1) ^ {k} \ over (2i) ^ {2k + 1}} {x ^ {2k} \ over (2k)!} \ Int _ {1} ^ {- 1} \ overbrace {\ frac {(z ^ {4m} +1) (z ^ {2 } -1) ^ {2k}} {z ^ {2m + 1 + 2k}}} ^ {f_ {2m} (z)} \, \ mathrm {d} z - {\ frac {i} {\ pi} } \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} {\ frac {(-1) ^ {k}} {(2i) ^ {2 (k + 1)}}} {x ^ {2k + 1} \ over (2k + 1)!} \ int _ {1} ^ {- 1} \ overbrace {\ frac {(z ^ {4m} -1) (z ^ {2} -1) ^ {2k + 1} } {z ^ {2m + 2k + 2}}} ^ {g_ {2m} (z)} \, \ mathrm {d} z}

med

(z2-1)2k=∑s=02k(2ks)z2s(-1)2k-s{\ displaystyle (z ^ {2} -1) ^ {2k} = \ sum _ {p = 0} ^ {2k} {2k \ velg p} z ^ {2p} (- 1) ^ {2k-p} } ⇒f2m(z)=(z4m+1)(z2-1)2kz2m+2k+1=∑s=02k(2ks)z2s+2m-2k-1(-1)2k-s+∑s=02k(2ks)z2s-2m-2k-1(-1)2k-s{\ displaystyle \ Rightarrow f_ {2m} (z) = {\ frac {(z ^ {4m} +1) (z ^ {2} -1) ^ {2k}} {z ^ {2m + 2k + 1} }} = \ sum _ {p = 0} ^ {2k} {2k \ velg p} z ^ {2p + 2m-2k-1} (- 1) ^ {2k-p} + \ sum _ {p = 0 } ^ {2k} {2k \ velg p} z ^ {2p-2m-2k-1} (- 1) ^ {2k-p}}

Tatt i betraktning det for første sum: 2s+2m-2k-1=-1→k≥m{\ displaystyle 2p + 2m-2k-1 = -1 \ høyre pil k \ geq m}

Koeffisienten i z −1 for dette polynomet er med(2kk-m)(-1)k+m+(2kk+m)(-1)k-m{\ displaystyle {2k \ velg km} (- 1) ^ {k + m} + {2k \ velg k + m} (- 1) ^ {km}}k≥m{\ displaystyle k \ geq m}

Res(f2m,z=0)=(2kk-m)(-1)k+m+(2kk+m)(-1)k-m{\ displaystyle {\ text {Rés}} (f_ {2m}, z = 0) = {2k \ velg km} (- 1) ^ {k + m} + {2k \ velg k + m} (- 1) ^ {km}}(resten er null for )k<m{\ displaystyle k <m} ⇒∫Γf(z)dz=∫0π(e4Jegθm+1)(e2Jegθ-1)2keJegθ(2m+2k+1)JegeJegθdθ+∫π2π(e4Jegθm+1)(e2Jegθ-1)2keJegθ(2m+2k+1)JegeJegθdθ⇒∫0πcos⁡(2mθ)synd2k⁡θdθ=π(-1)m22k(2kk+m){\ displaystyle \ Rightarrow \ int _ {\ Gamma} f (z) dz = \ int _ {0} ^ {\ pi} {\ frac {(e ^ {4i \ theta m} +1) (e ^ {2i \ theta} -1) ^ {2k}} {e ^ {i \ theta (2m + 2k + 1)}}} dvs. ^ {i \ theta} d \ theta + \ int _ {\ pi} ^ {2 \ pi} {\ frac {(e ^ {4i \ theta m} +1) (e ^ {2i \ theta} -1) ^ {2k}} {e ^ {i \ theta (2m + 2k + 1)}} } dvs. ^ {i \ theta} d \ theta \ Rightarrow \ int _ {0} ^ {\ pi} \ cos (2m \ theta) \ sin ^ {2k} \ theta \, d \ theta = {\ frac {\ pi (-1) ^ {m}} {2 ^ {2k}}} {2k \ velg k + m}} med k≥m{\ displaystyle k \ geq m}

Med

(z2-1)2k=∑s=02k(2ks)z2s(-1)2k-s{\ displaystyle (z ^ {2} -1) ^ {2k} = \ sum _ {p = 0} ^ {2k} {2k \ velg p} z ^ {2p} (- 1) ^ {2k-p} } ⇒g2m(z)=(z4m-1)(z2-1)2k+1z2m+2k+2=∑s=02k+1(2k+1s)z2s+2m-2k-2(-1)2k+1-s-∑s=02k+1(2k+1s)z2s-2m-2k-2(-1)2k+1-s{\ displaystyle \ Rightarrow g_ {2m} (z) = {\ frac {(z ^ {4m} -1) (z ^ {2} -1) ^ {2k + 1}} {z ^ {2m + 2k + 2}}} = \ sum _ {p = 0} ^ {2k + 1} {2k + 1 \ velg p} z ^ {2p + 2m-2k-2} (- 1) ^ {2k + 1-p} - \ sum _ {p = 0} ^ {2k + 1} {2k + 1 \ velg p} z ^ {2p-2m-2k-2} (- 1) ^ {2k + 1-p}}

Dette polynomet inneholder ikke termer i z −1 . Resten av er derfor null inne i enhetssirkelen. Det følger: g2m(z){\ displaystyle g_ {2m} (z)}

J2m(x)=1π∑k≥m(-1)kx2k(2k)!∫0πcos⁡(2mθ)synd2k⁡θdθ=∑k≥mx2k(2k)!(-1)k+m22k(2kk+m)=∑k=0∞(x2)2m+2k(-1)k(2m+k)!k!{\ displaystyle J_ {2m} (x) = {\ frac {1} {\ pi}} \ sum _ {k \ geq m} (- 1) ^ {k} {\ frac {x ^ {2k}} { (2k)!}} \ Int _ {0} ^ {\ pi} \ cos (2m \ theta) \ sin ^ {2k} \ theta \, d \ theta = \ sum _ {k \ geq m} {\ frac {x ^ {2k}} {(2k)!}} {\ frac {(-1) ^ {k + m}} {2 ^ {2k}}} {2k \ velg k + m} = \ sum _ { k = 0} ^ {\ infty} \ left ({\ frac {x} {2}} \ right) ^ {2m + 2k} {\ frac {(-1) ^ {k}} {(2m + k) ! k!}}}

I tilfelle en merkelig indeks J2m+1{\ displaystyle J_ {2m + 1}}

J2m+1(x)=1π∑k=0∞(-1)k(2Jeg)2k+1x2k(2k)!∫1-1(z2(2m+1)+1)(z2-1)2kz2m+2+2k⏞f2m+1(z)dz-Jegπ∑k=0∞(-1)k(2Jeg)2(k+1)x2k+1(2k+1)!∫1-1(z2(2m+1)-1)(z2-1)2k+1z2m+2k+3⏞g2m+1(z)dz{\ displaystyle J_ {2m + 1} (x) = {\ frac {1} {\ pi}} \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} {(- 1) ^ {k} \ over (2i ) ^ {2k + 1}} {x ^ {2k} \ over (2k)!} \ Int _ {1} ^ {- 1} \ overbrace {\ frac {(z ^ {2 (2m + 1)} + 1) (z ^ {2} -1) ^ {2k}} {z ^ {2m + 2 + 2k}}} ^ {f_ {2m + 1} (z)} \, \ mathrm {d} z- { \ frac {i} {\ pi}} \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} {\ frac {(-1) ^ {k}} {(2i) ^ {2 (k + 1)}} } {x ^ {2k + 1} \ over (2k + 1)!} \ int _ {1} ^ {- 1} \ overbrace {\ frac {(z ^ {2 (2m + 1)} - 1) ( z ^ {2} -1) ^ {2k + 1}} {z ^ {2m + 2k + 3}}} ^ {g_ {2m + 1} (z)} \, \ mathrm {d} z}

Med: f2m+1(z)=(z2(2m+1)+1)(z2-1)2kz2m+2k+2=∑s=02k(2ks)z2s+2m-2k(-1)2k-s+∑s=02k(2ks)z2s-2m-2k-2(-1)2k-s{\ displaystyle f_ {2m + 1} (z) = {\ frac {(z ^ {2 (2m + 1)} + 1) (z ^ {2} -1) ^ {2k}} {z ^ {2m + 2k + 2}}} = \ sum _ {p = 0} ^ {2k} {2k \ velg p} z ^ {2p + 2m-2k} (- 1) ^ {2k-p} + \ sum _ { p = 0} ^ {2k} {2k \ velg p} z ^ {2p-2m-2k-2} (- 1) ^ {2k-p}}

Vi vil merke at det ikke har noen vilkår i z −1 . Resten av er derfor null inne i enhetssirkelen. f2m+1{\ displaystyle f_ {2m + 1}}f2m+1(z){\ displaystyle f_ {2m + 1} (z)}

På den annen side, for koeffisienten til z −1 er g2m+1{\ displaystyle g_ {2m + 1}}

(2k+1k-m)(-1)k+m+1+(2k+1k+m+1)(-1)k-m+1{\ displaystyle {2k + 1 \ velg km} (- 1) ^ {k + m + 1} + {2k + 1 \ velg k + m + 1} (- 1) ^ {k-m + 1}}med . Derfor:k≥m{\ displaystyle k \ geq m} Res(g2m+1,z=0)=(2k+1k-m)(-1)k+m+1+(2k+1k+m+1)(-1)k-m+1{\ displaystyle {\ text {Res}} (g_ {2m + 1}, z = 0) = {2k + 1 \ velg km} (- 1) ^ {k + m + 1} + {2k + 1 \ velg k + m + 1} (- 1) ^ {km + 1}} med: k≥m{\ displaystyle k \ geq m} ⇒∫Γg2m+1(z)dz=2Jegπ(-1)k+m+1((2k+1k-m)+(2k+1k+m+1))=4Jegπ(-1)k+m+1(2k+1k-m){\ displaystyle \ Rightarrow \ int _ {\ Gamma} g_ {2m + 1} (z) dz = 2i \ pi (-1) ^ {k + m + 1} \ left ({2k + 1 \ velg km} + {2k + 1 \ velg k + m + 1} \ høyre) = 4i \ pi (-1) ^ {k + m + 1} {2k + 1 \ velg km}} med k≥m{\ displaystyle k \ geq m} ⇒∫Γ(z2(2m+1)-1)(z2-1)2k+1z2m+3+2kdz=(2Jeg)2k+3∫0πsynd2k+1⁡θsynd⁡(2m+1)θdθ{\ displaystyle \ Rightarrow \ int _ {\ Gamma} {\ frac {(z ^ {2 (2m + 1)} - 1) (z ^ {2} -1) ^ {2k + 1}} {z ^ { 2m + 3 + 2k}}} dz = (2i) ^ {2k + 3} \ int _ {0} ^ {\ pi} \ sin ^ {2k + 1} \ theta \ sin (2m + 1) \ theta \ , d \ theta} ⇒∫0πsynd2k+1⁡θsynd⁡(2m+1)θdθ=π(-1)m22k+1(2k+1k-m){\ displaystyle \ Rightarrow \ int _ {0} ^ {\ pi} \ sin ^ {2k + 1} \ theta \ sin (2m + 1) \ theta \, d \ theta = {\ frac {\ pi (-1 ) ^ {m}} {2 ^ {2k + 1}}} {2k + 1 \ velg km}} med k≥m{\ displaystyle k \ geq m}

Vi kan utlede:

J2m+1(x)=1π∑k=0∞(-1)kx2k+1(2k+1)!∫0πsynd2k+1⁡θsynd⁡(2m+1)θdθ=1π∑k≥m(-1)k+mx2k+1(2k+1)!π(-1)m22k+1(2k+1k-m)=∑k=0∞(-1)kk!(2m+1+k)!(x2)2m+1+2k{\ displaystyle J_ {2m + 1} (x) = {\ frac {1} {\ pi}} \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} (- 1) ^ {k} {\ frac {x ^ {2k + 1}} {(2k + 1)!}} \ Int _ {0} ^ {\ pi} \ sin ^ {2k + 1} \ theta \ sin (2m + 1) \ theta \, d \ theta = {\ frac {1} {\ pi}} \ sum _ {k \ geq m} (- 1) ^ {k + m} {\ frac {x ^ {2k + 1}} {(2k + 1) !}} {\ frac {\ pi (-1) ^ {m}} {2 ^ {2k + 1}}} {2k + 1 \ velg km} = \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} {\ frac {(-1) ^ {k}} {k! (2m + 1 + k)!}} \ left ({\ frac {x} {2}} \ right) ^ {2m + 1 + 2k} }

Så for ethvert n heltall:

⇒Jikke(x)=∑k=0∞(-1)kk!(ikke+k)!(x2)ikke+2k{\ displaystyle \ Rightarrow J_ {n} (x) = \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} {\ frac {(-1) ^ {k}} {k! (n + k)!}} \ left ({\ frac {x} {2}} \ høyre) ^ {n + 2k}}.

Mer generelt, for ikke-heltall α, har vi den analoge utvidelsen

Jα(x)=∑s=0∞(-1)ss!Γ(s+α+1)(x2)2s+α{\ displaystyle J _ {\ alpha} (x) = \ sum _ {p = 0} ^ {\ infty} {\ frac {(-1) ^ {p}} {p! \, \ Gamma (p + \ alfa + 1)}} {\ venstre ({x \ over 2} \ høyre)} ^ {2p + \ alpha}}

hvor Γ ( z ) er gammafunksjonen , og generaliserer faktorfunksjonen til ikke-heltallverdier.

Bessel-funksjonene av den andre typen, også kalt Neumann-funksjoner eller Weber-Schläfli-funksjoner, er definert av:

Yikke(x)=limλ→ikkeJλ(x)cos⁡(λπ)-J-λ(x)synd⁡(λπ){\ displaystyle Y_ {n} (x) = \ lim _ {\ lambda \ to n} {J _ {\ lambda} (x) \ cos (\ lambda \ pi) -J _ {- \ lambda} (x) \ over \ sin (\ lambda \ pi)}}.

Bessel integraler

For heltallverdier på α = n kan Bessel-funksjoner representeres av integraler:

Jikke(x)=1π∫0πcos⁡(ikkeτ-xsynd⁡τ)dτ{\ displaystyle J_ {n} (x) = {\ frac {1} {\ pi}} \ int _ {0} ^ {\ pi} \ cos (n \ tau -x \ sin \ tau) \, \ mathrm {d} \ tau}

eller av:

Jikke(x)=12π∫-ππe-Jeg(ikkeτ-xsynd⁡τ)dτ{\ displaystyle J_ {n} (x) = {\ frac {1} {2 \ pi}} \ int _ {- \ pi} ^ {\ pi} {\ rm {e}} ^ {- \ mathrm {i } \, (n \ tau -x \ sin \ tau)} \, \ mathrm {d} \ tau}.

Dette er definisjonen gitt av Bessel, og som han brukte for å oppnå mange egenskaper til disse funksjonene (startende med differensiallikningen, som er resultatet av den ved differensiering under tegnet av integrasjon, etterfulgt av en integrering av deler). Denne definisjonen kan utvides til ikke-heltallstilfelle α (for Re ( x ) > 0), ved å legge til et annet begrep:

Jα(x)=1π∫0πcos⁡(ατ-xsynd⁡τ)dτ-synd⁡(απ)π∫0∞e-xsinh⁡(t)-αtdt{\ displaystyle J _ {\ alpha} (x) = {\ frac {1} {\ pi}} \ int _ {0} ^ {\ pi} \ cos (\ alpha \ tau -x \ sin \ tau) \ , {\ rm {d}} \ tau - {\ frac {\ sin (\ alpha \ pi)} {\ pi}} \ int _ {0} ^ {\ infty} {\ rm {e}} ^ {- x \ sinh (t) - \ alpha t} \, {\ rm {d}} t}.

Forholdet til hypergeometriske serier

Bessel-funksjoner kan også uttrykkes som en generalisert hypergeometrisk serie  (en) som

Jα(x)=(x/2)αΓ(α+1)0F1(α+1;-x24){\ displaystyle J _ {\ alpha} (x) = {\ frac {(x / 2) ^ {\ alpha}} {\ Gamma (\ alpha +1)}} \; _ {0} F_ {1} ( \ alpha +1; - {\ tfrac {x ^ {2}} {4}})}.

Dette uttrykket er knyttet til utviklingen av Bessel-funksjonene ved hjelp av funksjonen Bessel-Clifford  (in) .

Forholdet til Laguerre polynomer

Å merke seg den K- th Laguerre polynom , er Bessel-funksjoner kan uttrykkes som: Lk{\ displaystyle L_ {k}}

Jα(x)(x2)α=e-tα!∑k=0∞Lk(α)(x24t)(k+αk)tkk!{\ displaystyle {\ frac {J _ {\ alpha} (x)} {\ left ({\ frac {x} {2}} \ right) ^ {\ alpha}}} = {\ frac {{\ rm { e}} ^ {- t}} {\ alpha!}} \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} {\ frac {L_ {k} ^ {(\ alpha)} \ left ({\ frac { x ^ {2}} {4t}} \ høyre)} {k + \ alpha \ velg k}} {\ frac {t ^ {k}} {k!}}},

der uttrykket til høyre ikke er avhengig av t og krever, for å bli generalisert til ikke-heltall α, bruk av brøkderivater .

Egenskaper til J n

• Gjentakelsesforhold: Jikke+1(x)=ikkeJikke(x)x-Jikke′(x){\ displaystyle J_ {n + 1} (x) = {nJ_ {n} (x) \ over x} -J_ {n} '(x)}, Jikke+1(x)+Jikke-1(x)=2ikkexJikke(x){\ displaystyle J_ {n + 1} (x) + J_ {n-1} (x) = {2n \ over x} J_ {n} (x)}, Jikke+1(x)-Jikke-1(x)=-2Jikke′(x){\ displaystyle J_ {n + 1} (x) -J_ {n-1} (x) = - 2J_ {n} '(x)}.
• Vi kan utlede: J1(x)=-J0′(x){\ displaystyle J_ {1} (x) = - J_ {0} '(x)}, ddx(xikkeJikke(x))=xikkeJikke-1(x){\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} x}} (x ^ {n} J_ {n} (x)) = x ^ {n} J_ {n-1} (x )}.
• Orthogonality: λJeg{\ displaystyle \ lambda _ {i}}og å være to forskjellige nuller , har vi: .λj{\ displaystyle \ lambda _ {j}}Jikke{\ displaystyle J_ {n}}∫01xJikke(λJegx)Jikke(λjx)dx=0{\ displaystyle \ int _ {0} ^ {1} xJ_ {n} (\ lambda _ {i} x) J_ {n} (\ lambda _ {j} x) \, \ mathrm {d} x = 0}

J n defineres ofte via en Laurent-serie , tilsvarende den genererende funksjonen:

e(x/2)(t-1/t)=∑ikke=-∞∞Jikke(x)tikke{\ displaystyle {\ rm {e}} ^ {(x / 2) (t-1 / t)} = \ sum _ {n = - \ infty} ^ {\ infty} J_ {n} (x) t ^ {ikke}} ;

denne tilnærmingen er den fra Peter Andreas Hansen i 1843. Den kan generaliseres til ikke-heltallige ordrer n , for eksempel ved formidleren av konturintegraler .

Lignende utvikling; men ved hjelp av trigonometriske serier , skyldes Jacobi og Anger  ; vi har

eJegzcos⁡ϕ=∑ikke=-∞∞JegikkeJikke(z)eJegikkeϕ,{\ displaystyle {\ rm {e}} ^ {{\ rm {i}} z \ cos \ phi} = \ sum _ {n = - \ infty} ^ {\ infty} {\ rm {i}} ^ { n} J_ {n} (z) {\ rm {e}} ^ {{\ rm {i}} n \ phi},}

og

eJegzsynd⁡ϕ=∑ikke=-∞∞Jikke(z)eJegikkeϕ.{\ displaystyle {\ rm {e}} ^ {{\ rm {i}} z \ sin \ phi} = \ sum _ {n = - \ infty} ^ {\ infty} J_ {n} (z) {\ rm {e}} ^ {{\ rm {i}} n \ phi}.}

Asymptotisk utvikling

Bessel-funksjoner har følgende asymptotiske former (for positiv α). Nær 0 (og mer presist for ) har vi: 0<x≪α+1{\ displaystyle 0 <x \ ll {\ sqrt {\ alpha +1}}}

Jα(x)≈1Γ(α+1)(x2)α{\ displaystyle J _ {\ alpha} (x) \ approx {\ frac {1} {\ Gamma (\ alpha +1)}} \ left ({\ frac {x} {2}} \ right) ^ {\ alfa}} Yα(x)≈{2π[ln⁡(x2)+γ]hvis α=0-Γ(α)π(2x)αhvis α>0{\ displaystyle Y _ {\ alpha} (x) \ approx {\ begin {cases} \ displaystyle {\ frac {2} {\ pi}} \ left [\ ln \ left ({\ frac {x} {2} } \ right) + \ gamma \ right] & {\ text {si}} \ alpha = 0 \\\ displaystyle - {\ frac {\ Gamma (\ alpha)} {\ pi}} \ left ({\ frac { 2} {x}} \ right) ^ {\ alpha} & {\ text {si}} \ alpha> 0 \ end {cases}}}

hvor γ er Euler-Mascheroni-konstanten (0,577…) og Γ er gammafunksjonen . For x som har en tendens til uendelig (og mer presist for ), blir denne utviklingen: x≫|α2-1/4|{\ displaystyle x \ gg | \ alpha ^ {2} -1/4 |}

Jα(x)≈2πxcos⁡(x-απ2-π4){\ displaystyle J _ {\ alpha} (x) \ approx {\ sqrt {\ frac {2} {\ pi x}}} \ cos \ left (x - {\ frac {\ alpha \ pi} {2}} - {\ frac {\ pi} {4}} \ høyre)} Yα(x)≈2πxsynd⁡(x-απ2-π4){\ displaystyle Y _ {\ alpha} (x) \ approx {\ sqrt {\ frac {2} {\ pi x}}} \ sin \ left (x - {\ frac {\ alpha \ pi} {2}} - {\ frac {\ pi} {4}} \ høyre)}.

Bourget's gjetninger

Bessel hadde vist at ligningen J n ( x ) = 0 for n positivt heltall innrømmer en uendelig mengde løsninger. Grafene til J n ser imidlertid ut til å vise at disse nullene er forskjellige for forskjellige verdier av n , bortsett fra J n (0) = 0. Dette fenomenet kalles Bourget-formodningen  ; det ble demonstrert av Carl Siegel i 1929.

Merknader og referanser

(fr) Denne artikkelen er delvis eller helt hentet fra den engelske Wikipedia- artikkelen med tittelen "  Bessel-funksjon  " ( se forfatterlisten ) .

1. Albert Wangerin , “Sylindriske funksjoner eller Bessel-funksjoner”, i Encyclopedia of ren og anvendt matematisk vitenskap . Volum II. Femte bind , J. Molk (red.), Paris, Gauthier-Villars , 1912, s. 209 .
2. (in) UH Gerlach, "  Lineær matematikk i uendelige dimensjoner  " , i University of Ohio State ,2017, s.  337.
3. (i) Poul Olesen, "  Integrerte representasjoner av Bessel-funksjonen  " på Institute Niels-Bohr ,2000.
4. (i) GN Watson , en avhandling om teorien om Bessel funksjoner , to th ed. 1995, Cambridge University Press , [ lese online ] , s. 176 og 484-485.
5. (i) George B. Arfken  (i) og Hans J. Weber, Matematiske metoder for fysikere , 6 th utg., Harcourt, San Diego, 2005 ( ISBN  0-12-059876-0 ) .
6. (i) Gábor Szegő , ortogonale polynomer , 4 th ed., Providence, RI, AMS 1975.
7. (i) Annie Cuyt, Vigdis Petersen, Brigitte Verdonk, Haakon Waadeland og William B. Jones, Handbook of fortsatte fraksjoner for spesielle funksjoner , Springer, 2008, s. 344.
8. (De) F. Bessel, "Untersuchung des Theils der planetarischen Störungen", Berlin Abhandlungen , 1824, artikkel 14.
9. Justin Bourget , “  Memoir på den vibrerende bevegelse av sirkulære membraner  ”, Åsens , 1 st serie, vol.  3,1866, s.  55-95 ( les online ).

Se også

Relaterte artikler

• Modifisert Bessel-funksjon
• Sfærisk Bessel-funksjon
• Hankels funksjon
• FM-syntese

Eksterne linker

• Autoritetsjournaler  :
  • Nasjonalbiblioteket i Frankrike ( data )
  • Library of Congress
  • Nasjonalt diettbibliotek
• Merknader i generelle ordbøker eller leksikon  : Encyclopædia Britannica  • Gran Enciclopèdia Catalana