Phonon

I kondenserte fasers fysikk , en Phonon (den gamle greske φωνή / telefon , stemme) er et kvantesprang av energi av vibrasjon i en fast krystallinsk : når Crystal vibrasjon modus frekvens definert vc redere eller få i ' energi , det kan bare gjøre det ved å pakker med energi hν , h er Plancks konstant . Denne gjengen betraktes som en kvasi-partikkel , nemlig en fiktiv partikkel som kalles en fonon. Krystallet anses da å bytte fononer når det mister eller får energi. Konseptet tillater en analogi med lys som har lignende egenskaper: den manifesterer seg noen ganger som en bølge , noen ganger som en pakke med energi hν , som tilsvarer en elementær partikkel som kalles foton .

Fononet er en forestilling om kvantemekanikk som påkaller begrepet bølgepartikkel-dualitet : avhengig av den eksperimentelle konteksten, kan den manifestere seg enten som en bølge eller som en elementær pakke. Hvis studiet av fononer spiller en viktig rolle i fysikken til kondensert materie, er det fordi de spiller en viktig rolle i et stort antall fysiske egenskaper til faste stoffer, inkludert:

den varmekapasitet eller evne til å lagre varmen ;
den termiske ledningsevne , og evne til å lede varme;
den elektriske ledningsevnen eller evnen til å lede den elektriske strømmen ;
evnen til å forplante lyd.

Den klassiske mekanikken , som tar hensyn til vibrasjonsaspektet, er ikke i stand til å forklare alle disse egenskapene.

Introduksjon

Opprinnelsen til ordet "phonon"

Begrepet phonon ble opprettet av Igor Tamm i 1930, og ordet "phonon" ble laget i 1932 av Yakov Frenkel . Suffikset "-on", som dukker opp i navnet på mange enheter innen fysikk av kondensert materie (eksitoner, magnoner osv.), Ble modellert på slutten av ordet "elektron" (et ord laget av George Stoney i 1891).

Krystallinsk fast stoff i klassisk mekanikk

De fononer er ekvivalente kvantemekanikk av en bestemt kategori av vibrasjonsbevegelser som er kjent som den normale vibrasjonsmodi i klassisk mekanikk . En normal vibrasjonsmodus er en modus der hvert element i et nettverk vibrerer med samme frekvens . Disse modusene har stor betydning, spesielt fordi enhver bevegelse av vibrasjonstype i et fast stoff kan representeres som superposisjon av et visst antall normale moduser for vibrasjoner av forskjellige frekvenser: de kan forstås som de elementære vibrasjonene i nettverket.

Kvantifisering av vibrasjonsmodi

Selv om de normale vibrasjonsmodusene er bølgelignende enheter, kan de delvis tilegne seg partikkelignende oppførsel når gitteret studeres gjennom kvantemekanikkens lover (på grunn av bølgepartikkel dualiteten ). De kalles da fononer. Fononer er kvasi-partikler av spinn 0 ( bosoner følger derfor Bose-Einstein-statistikken ).

Definisjon av fononer

Telefoner eksisterer bare i et krystallgitter som inneholder et stort antall partikler, og de eneste kjente fysiske strukturene som oppfyller denne definisjonen er krystallinske faste stoffer . I det følgende vil vi derfor bare håndtere fononer i denne sammenheng, og for klarhetens skyld vil vi kalle partiklene som utgjør gitteret " atomer ", selv om de kan være ioner i et ionisk faststoff .

Mekaniske aspekter: bevegelse av partikler i et nettverk

I et fast stoff er det interaksjonskrefter ( van der Waals-kraft , kovalente krefter osv.) Som holder hvert atom nær en likevektsposisjon. Dette er hovedsakelig elektriske krefter, med magnetiske krefter generelt ubetydelige. Samspillet mellom hvert par atomer kan karakteriseres av en potensiell energifunksjon V som bare avhenger av avstanden mellom disse atomene og som er den samme for alle par av atomer. Den potensielle energien til nettverket som helhet er summen av de potensielle interaksjonsenergiene til hvert par:

E = {\ frac {1} {2}} \ sum _ {{i \ neq j}} V (r_ {i} -r_ {j}) \,

hvor r i er posisjonen til den i th atom, og faktoren 1/2 kompenserer for det faktum at hvert par med to ganger (som ( i , j ) og som ( j , i )).

Dette uttrykket, som er karakteristisk for et problem med N- kropper , egner seg ikke til en løsning verken i klassisk mekanikk eller i kvantemekanikk . Det er derfor nødvendig å gå tilnærminger for å fortsette analysen. De to tilnærmingene som vanligvis brukes er:

begrense summeringen til nærliggende atomer. Selv om de elektriske kreftene strengt tatt har et uendelig område i et virkelig fast stoff, er denne tilnærmingen gyldig fordi kreftene som utøves på fjerne atomer er screenet og derfor ubetydelige;
vurder at potensialet V er et harmonisk potensial , som er gyldig når atomene holder seg nær likevektsposisjonene. (Formelt gjelder denne antakelsen ved å utføre en Taylor-utvidelse av potensialet V rundt likevektsverdien og ved å bare holde den første ikke-konstante termen, som er i orden 2.)

Det er mulig å slappe av den ene eller den andre av hypotesene, for det første ved å vurdere samspillet med fjernere naboer og for det andre ved å legge til termer med høyere ordre. I de fleste tilfeller endrer inkluderingen av disse vilkårene ikke løsningen vesentlig.

Nettverket kan visualiseres som et ballsystem som er koblet sammen av fjærer . Figuren nedenfor illustrerer to typer nettverk beskrevet på denne måten. Figuren til venstre viser et kubisk gitter (gitter som tilsvarer et stort antall krystallinske faste stoffer, inkludert mange metaller ). Figuren til høyre viser en lineær kjede, et veldig enkelt nettverk som tillater en enkel tilnærming til modellering av fononer. For mer informasjon om krystallgitter, se artikkelen krystallografi .

Den potensielle energien til nettverket kan nå skrives:

E = {\ frac {1} {2}} \ sum _ {{i \ neq j (pv)}} {1 \ over 2} m \ omega ^ {2} (R_ {i} -R_ {j}) ^ {2}

ω er den naturlige pulsasjonen av de harmoniske potensialene;
m er massen av atomer;
R I er koordinatene for det i th atom, nå vurderes med hensyn til sin likevektstilling ;
symbolet pv indikerer at summeringen bare utføres på de nærmeste naboene.

Bølger i et nettverk

På grunn av de krefter som utøves mellom de forskjellige atomer i krystallgitteret , vil forskyvningen av ett eller flere atomer rundt sin likevektsstilling forårsake en serie av bølger av vibrasjoner som forplanter seg i gitteret. Figuren motsatt viser en vibrasjonsbølge i et nettverk. Den amplitude av bølgen er gitt av amplituden av forskyvningen av atomene rundt sin likevektsposisjon. Den bølgelengde tilsvarer den minste intervallet mellom to identiske gjentagelser av arrangement av atomer. Det er bemerket λ i figuren.

Ikke alle vibrasjonsbølgelengder er mulige. Spesielt er det en minimum bølgelengde gitt av avstanden mellom atomene a . Vi får se senere at en bølgelengde som er kortere enn a, faktisk er den samme som en bølgelengde som er lengre enn a .

Alle mulige nettverksvibrasjoner har ikke nødvendigvis en veldefinert bølgelengde (eller frekvens ). Dette er imidlertid tilfelle for de normale vibrasjonsmåtene (de elementære vibrasjonene i nettverket), som vi vil undersøke nærmere i de følgende avsnittene.

Telefoner i et 1D-nettverk

Tenk på en endimensjonal kjede som består av N- atomer som potensialene er harmoniske for . Dette systemet er den enkleste modellen for et krystallgitter . Den matematiske formalismen som vi vil utvikle i det følgende (innenfor rammen av kvantemekanikken ) kan lett generaliseres til to eller tredimensjonale systemer.

{\ mathbf {H}} = \ sum _ {{i = 1}} ^ {N} {P_ {i} ^ {2} \ over 2m} + {1 \ over 2} m \ omega ^ {2} \ sum _ {{\ {ij \} (pv)}} (X_ {i} -X_ {j}) ^ {2}

m er massen av atomer.
X i er posisjonsoperatør .
P i er impulsoperatøren .

En mer inngående beskrivelse av denne Hamiltonian er gitt i artikkelen quantum harmonic oscillator

Vi definerer:

2N + 1 “normale koordinater” Q k definert som Fourier-transformasjonene av de operatører posisjon X i ;
2N + 1 "konjugerte øyeblikk" Π k definert som Fourier-transformasjoner av momentumoperatorene P i .

${\ begin {matrix} X_ {j} & = & {1 \ over {\ sqrt {N}}} \ sum _ {{k}} Q_ {k} e ^ {{ikja}} \\ P_ {j} & = & {1 \ over {\ sqrt {N}}} \ sum _ {{k}} \ Pi _ {k} e ^ {{- ikja}} \\\ end {matrix}}$

Mengden k er bølgetallet til fononet, dvs. 2π delt på bølgelengden . Dette tallet tar kvantifiserte verdier fordi antall atomer i systemet er endelig. Kvantifiseringsformen avhenger av valget av grensebetingelsene . For enkelhets skyld pålegger vi i det følgende periodiske grensebetingelser (også kalt Born von Karman-forhold), dvs. vi anser at atomet N +1 tilsvarer det første atomet. Fysisk tilsvarer dette å danne en løkke med kjeden ved å bringe de to endene sammen. Resultatet av kvantifiseringen er:

$k = {n \ pi \ over Na} \ quad {\ hbox {for}} \ n = 0, \ pm 1, \ pm 2, ..., \ pm N$

Den øvre grensen for n kommer fra den valgte grensetilstanden (atomet i posisjon x 1 er identisk med atomet i posisjon x N + 1 ). k kan derfor ta 2N + 1 verdier.

Ved å invertere den Fourier-transformerte til å uttrykke Q k som en funksjon av X I og Π k som en funksjon av P i , og ved hjelp av den kanoniske kommuteringsspolene forholdet mellom X I og P i , kan vi vise at (se l (artikkel " Kvantemekanikk "):

\ left [Q_ {k}, \ Pi _ {{k '}} \ right] = i \ hbar \ delta _ {{kk'}} \ quad; \ quad \ left [Q_ {k}, Q _ {{ k '}} \ right] = \ left [\ Pi _ {k}, \ Pi _ {{k'}} \ right] = 0

Med andre ord, de normale koordinatene Q k og deres konjugerte øyeblikk bey k adlyder de samme kommuteringsforholdene som operatorene posisjonerer X i og momentum P i . I henhold til disse mengdene er Hamiltonian skrevet:

{\ mathbf {H}} = \ sum _ {k} \ left ({\ Pi _ {k} \ Pi _ {{- k}} \ over 2m} + {1 \ over 2} m \ omega _ {k } ^ {2} Q_ {k} Q _ {{- k}} \ høyre)

med

\ omega _ {k} = {\ sqrt {2 \ omega ^ {2} (1- \ cos (ka))}}

Koblingen mellom posisjonsvariablene er transformert. Hvis Q k og Π k var Hermitian (som ikke er tilfelle), beskriver den transformerte Hamiltonian N- oscillatorer harmoniske frakoblet . Faktisk beskriver denne Hamilton en kvantefeltsteori om ikke-interagerende bosoner .

Spekteret av de rene energiene i denne Hamilton oppnås ved hjelp av assistent opprettelse og utslettelse operatører en k † og en k definert som:

{\ begin {matrise} a_ {k} & = & {\ sqrt {m \ omega _ {k} \ over 2 \ hbar}} (Q_ {k} + {i \ over m \ omega _ {k}} \ Pi _ {{- k}}) \\ a_ {k} ^ {\ dolk} & = & {\ sqrt {m \ omega _ {k} \ over 2 \ hbar}} (Q _ {{- k}} - {i \ over m \ omega _ {k}} \ Pi _ {k}) \ end {matrix}}

For mer informasjon, se artikkelen Quantum harmonic oscillator . Assistentoperatører verifiserer identiteten:

{\ mathbf {H}} = \ sum _ {k} \ hbar \ omega _ {k} \ left (a_ {k} ^ {{\ dolk}} a_ {k} +1/2 \ right)

[a_ {k}, a _ {{k '}} ^ {{\ dagger}}] = \ delta _ {{kk'}}

[a_ {k}, a _ {{k '}}] = [a_ {k} ^ {{\ dolk}}, en _ {{k'}} ^ {{\ dolk}}] = 0.

Som i tilfelle med den kvanteharmoniske oscillatoren , kan vi vise at operatørene a k † og a k tilsvarer henholdsvis opprettelsen og utslettelsen av en eksitasjon av energi ℏω k . Denne eksitasjonen er en fonon.

Vi kan umiddelbart utlede to viktige egenskaper til fononer. For det første er fononer bosoner : hvilken som helst vibrasjonsmodus k kan se antall eksitasjon øke ved gjentatt anvendelse av etableringsoperatøren a k † . For det andre er hver fonon en "kollektiv modus" som tilsvarer bevegelsen til (nesten) alle atomene i gitteret. Denne andre konklusjonen sees i det faktum at assistentoperatørene inneholder summeringer på posisjonene og impulsene til alle atomer i gitteret.

Det er ikke åpenbart på forhånd at eksitasjonene som genereres av assistentoperatørene, er bokstavelig talt forskyvningsbølger av atomer i gitteret. Vi kan bli overbevist om dette ved å beregne korrelasjonsfunksjonen posisjon-posisjon . Enten | k > en tilstand som bare ett kvantum av modus k er begeistret for, det vil si:

{\ begin {matrise} | k \ rangle = a_ {k} ^ {\ dolk} | 0 \ rangle \ end {matrix}}

Vi kan da vise at for to atomer i og j :

\ langle k | x_ {i} (t) x_ {j} (0) | k \ rangle = {\ frac {\ hbar} {Nm \ omega _ {k}}} \ cos \ left [k (ij) a - \ omega _ {k} t \ right] + \ langle 0 | x_ {i} (t) x_ {j} (0) | 0 \ rangle

som er nøyaktig det forventede resultatet for en bølge av nettverket av pulsasjon ω k og av bølgetall k .

Telefoner i et 3D-nettverk

Den tredimensjonale generaliseringen av den forrige endimensjonale modellen er enkel (men ganske tungvint). Den bølgetallet k er erstattet av en tre-dimensjonal vektor , den bølgevektor . I tillegg er nå assosiert med tre normale koordinater. Hamilton har formen: ${\ vec k}$ ${\ vec k}$

{\ mathbf {H}} = \ sum _ {k} \ sum _ {{s = 1}} ^ {3} \ hbar \, \ omega _ {{k, s}} \ left (a _ {{k , s}} ^ {{\ dagger}} a _ {{k, s}} + {\ frac {1} {2}} \ right)

Den nye indeksen s = 1, 2, 3 tilsvarer polarisasjonen av fononene. I en endimensjonal modell kan atomer bare vibrere på en linje, og alle fononer tilsvarer en langsgående bølge . På den annen side i tre dimensjoner gjøres ikke vibrasjonen lenger bare i forplantningsretningen, men kan også være vinkelrett på den. Det tilsvarer da en tverrbølge . Dette gir opphav til ytterligere normale koordinater, som som uttrykket av Hamiltonian antyder, tilsvarer uavhengige fononarter.

Oppførsel og egenskaper til fononer

Spredningskurve

I diskusjonen om fononer i en endimensjonal modell fikk vi en ligning som relaterte pulsen til et fonon ω k med bølgetallet k :

\ omega _ {k} = {\ sqrt {2 \ omega ^ {2} (1- \ cos (ka))}}

Denne ligningen er kjent som dispersjonsforholdet . Kurven motsatt beskriver oppførselen.

Formasjonshastigheten til et fonon i nettverket, som spesielt tilsvarer lydens forplantningshastighet i et fast stoff, er gitt av dispersjonsforholdets helling: ∂ω k / ∂k. Med lave verdier på k (dvs. ved lange bølgelengder) er dispersjonsforholdet nesten lineært, og lydhastigheten er nær ωa, uavhengig av fononens frekvens. Som et resultat kan en bunke fononer med forskjellige (men store) bølgelengder forplante seg lange avstander i et nettverk uten at fononene skiller seg. Dette er grunnen til at lyd forplantes gjennom faste stoffer uten betydelig forvrengning (på en måte påvirkes ikke lang bølgelengde av materialets mikroskopiske struktur). Denne oppførselen gjelder ikke lenger for store verdier av k (dvs. korte bølgelengder), hvor forplantningshastigheten avhenger betydelig av bølgelengden.

Lydfysikken i faste stoffer er veldig forskjellig fra lydfysikken i luft , selv om begge er vibrasjonsbølger. Dette skyldes det faktum at lyd forplantes i en gass dannet av molekyler animert av tilfeldige bevegelser, og ikke i et organisert nettverk.

Akustiske fononer og optiske fononer

I et virkelig fast stoff er det to typer fononer: " akustiske " og " optiske " fononer . Akustiske fononer, som er de vi har beskrevet i forrige deler, tilsvarer vanligvis lydbølger i nettverket. Langsgående og tverrgående akustiske fononer skrives ofte forkortet henholdsvis LA og TA.

Optiske fononer er tilstede i faste stoffer som har flere atomer per celle . De kalles "optiske" fordi de i ioniske krystaller (som natriumklorid) blir veldig lett opphisset av lysbølger (i det infrarøde området). Dette skyldes det faktum at de tilsvarer vibrasjonsmåter der de positive og negative ionene som ligger på tilstøtende nettsteder beveger seg nærmere og lenger fra hverandre og skaper et elektrisk dipolmoment som pendler med tiden. Optiske fononer som samhandler med lys på denne måten sies å være aktive i infrarødt . Optiske fononer som er aktive i Raman-spektrometri kan også samhandle med lys gjennom Ramanspredning . Langsgående og tverrgående optiske fononer skrives ofte forkortet henholdsvis LO og TO.

Mer informasjon om vibrasjonsmodi finnes i artikler om gruppeteori .

Pseudo-impuls

Det er fristende å vurdere en bølgevektor fonon som om den hadde et momentum (eller momentum) , analogt med fotoner , eller alle bølgene som tilsvarer en partikkel ( bølge-partikkel dualitet ). Dette er ikke helt riktig, fordi det egentlig ikke er en fysisk impuls. Det kalles pseudo-impuls eller vibrasjonspuls . Dette skyldes det faktum at det bare bestemmes til et multiplum av konstant vektor nær, vektor av det gjensidige gitteret . For eksempel, i en endimensjonal modell, er de normale koordinatene Q og Π definert på en slik måte at: ${\ vec k}$ $\ hbar {\ vec k}$ $\ hbar {\ vec k}$ ${\ vec k}$

{\ mathrm {Q}} _ {k} \ equiv {\ mathrm {Q}} _ {{k + {\ mathrm {K}}}} \ quad; \ quad \ Pi _ {k} \ equiv \ Pi _ {{k + {\ mathrm {K}}}} \ quad {\ mbox {with}} \; {\ mathrm {K}} = 2n \ pi / a

uansett hele tallet n . Et fonon med bølgetall k tilsvarer derfor et uendelig antall andre fononer av samme familie av bølgetall k ± 2π / a , k ± 4π / a (etc). De Bloch elektroner adlyde samme type restriksjoner.

Generelt er det bare fononene til bølgevektorer i hver familie som har den "minste" vektoren som blir vurdert . Settet med disse vektorene definerer den første Brillouin-sonen . Andre Brillouin-soner kan defineres som kopier av den første sonen, forskjøvet av et mangfold av vektorer av det gjensidige gitteret. ${\ vec k}$ ${\ vec k}$

Termodynamiske egenskaper

Et krystallgitter ved absolutt null er i bakken, og ingen fonemodus er begeistret. I følge termodynamikkens lover , når et krystallgitter har en temperatur over absolutt null, er energien ikke konstant, men det svinger tilfeldig rundt en gjennomsnittsverdi. Disse energi svingningene skyldes tilfeldige vibrasjoner i gitteret, som kan sees som en gass av fononer (den tilfeldige bevegelse av atomene i gitteret tilsvarer varme ). Ettersom disse telefonene er relatert til temperaturen i nettverket, blir de noen ganger kalt "termiske fononer".

I motsetning til molekylene som danner en vanlig gass , kan termiske fononer opprettes eller utslettes av tilfeldige energisvingninger. Deres oppførsel er lik gassen fra fotoner produsert av et elektromagnetisk hulrom , som fotonene kan absorberes eller slippes ut av veggene i hulrommet. Denne likheten er ikke en tilfeldighet: Det elektromagnetiske feltet oppfører seg faktisk som en gruppe harmoniske oscillatorer (se svart kroppsstråling ). Begge gassene følger Bose-Einstein-statistikken , det vil si ved termisk likevekt er gjennomsnittlig antall fononer eller fotoner i en gitt tilstand:

\ langle n _ {{k, s}} \ rangle = {\ frac {1} {\ exp (\ hbar \ omega _ {{k, s}} / k_ {B} T) -1}}

ω k , s er pulsering av fonon eller foton i tilstanden;
k B er Boltzmanns konstant;
T er den absolutte temperaturen (i Kelvin ).

Vi kan merke at det kjemiske potensialet til en gass fra fotoner eller fononer er null.

Denne typen betraktning førte til at Debyes modell beskriver oppførselen til varmekapasiteten til krystallinske faste stoffer takket være fononene de inneholder. Denne modellen presenterer en bedre avtale med eksperimentelle resultater enn tidligere modeller: loven til Dulong og Petit og modellen til Einstein .

Merknader og referanser

Definisjon på Larousse-siden .
(in) CT Walker, GA Slack, " Hvem kalte -ON'S? », Am. J. Phys. 38, 1380 (1970); https://dx.doi.org/10.1119/1.1976141 .