Polycube

En polycube er en solid figur dannet ved å forbinde en eller flere like kuber ansikt til ansikt. Polycubes er de tredimensjonale analogene til plane polyominoer . Den Soma kube , den kuben Bedlam , den djevelsk Cube , den puzzle-Slothouber Graatsma og puslespill Conway er eksempler på spill matematikk og oppgaver basert på polycubes.

Oppregning

I likhet med polyominoer kan polycubes telles på to måter, avhengig av om chirale par polycubes telles som en polycube eller to. For eksempel har 6 tetracubes speilsymmetri og en er chiral, noe som resulterer i henholdsvis 7 eller 8 tetracubes. I motsetning til polyominoer telles polycubes vanligvis med par utmerkede speil, ettersom man ikke kan snu en polycube for å reflektere den som en kan med en polyomino. Spesielt bruker Soma-kuben begge former for den chirale tetrakuben.

Polycubes er klassifisert etter antall kubiske celler de har:

ikke Navn Ingen -polycube Antall n- polykuber ensidig
(refleksjoner regnes som forskjellige)
 Antall gratis n- polykuber
(refleksjoner telles sammen)
1 Monocube 1 1
2 Dicube 1 1
3 Tricube 2 2
4 Tetracube 8 7
5 Pentacubus 29 23
6 Hexacubus 166 112
7 Heptacube 1023 607
8 Octocube 6922 3811

Polycubes ble oppført opp til n = 16. Mer nylig har spesifikke familier av polycubes blitt studert.

Symmetrier

I likhet med polyominoer kan polycubes klassifiseres i henhold til antall symmetrier de har. Polycube-symmetrier (konjugasjonsklasser av undergrupper av achiral oktaedrisk gruppe) ble først oppført av WF Lunnon i 1972. De fleste polycubes er asymmetriske, men mange har mer komplekse symmetri-grupper, opp til gruppens fulle symmetri av kuben med 48 element. Mange andre symmetrier er mulige.

Sjef

Det generelle spørsmålet om en "hullfri" polykube, dvs. av slekten null, innrømmer at et mønster laget av firkanter er åpent.

Pentacubes

Tolv pentakuber er flate og tilsvarer pentominoene . Av de resterende 17 har fem speilsymmetri og de resterende 12 danner seks chirale par.

Grenseboksene til pentakubene har størrelsene 5x1x1, 4x2x1, 3x3x1, 3x2x1, 4x2x2, 3x2x2 og 2x2x2.

En polykube kan ha opptil 24 retninger i det kubiske gitteret, eller 48 hvis refleksjon er tillatt. Blant pentakubene har to skåler (5x1x1 og korset) speilsymmetri i de tre aksene; disse har bare tre retninger. Ti har speilsymmetri; disse har 12 retninger. Hver av de andre 17 pentakubene har 24 retninger.

Octacubes

Den tesseract ( fire-dimensjonal hyperkube ) har åtte terninger som dens fasetter, og på samme måte som kuben kan foldes inn i et hexamino , kan den tesseract foldes inn i en octacube. Spesielt en utfoldelse etterligner den velkjente utfoldelsen av en kube til et latinsk kors  : den består av fire kuber stablet oppå hverandre, med fire andre kuber festet til de eksponerte firkantede sidene til den andre fra høye kuben av stabelen, for å danne en tredimensjonal dobbel korsform. Salvador Dalí brukte denne formen i korsfestelsen ( Corpus hypercubus ) fra 1954. Den er også beskrevet i Robert A. Heinleins novelle fra 1940 " The Bizarre House ". Til ære for Dalí ble denne oktakuben kalt Dalís kors.

Mer generelt (svarer på et spørsmål spurt av Martin Gardner i 1966), ut av 3811 forskjellige frie oktakuber, er 261 utfoldelser av tesserakt.

Kubisk tilkobling

Selv om kubene i en polykube skal være koblet kvadrat til kvadrat, er det ikke nødvendig at kvadratene til hver kube kobles kant til kant. For eksempel er 26-kuben dannet ved å lage et rutenett på 3 × 3 × 3 kuber og deretter fjerne den sentrale kuben, er en gyldig polykube, der grensen for det indre tomrummet ikke er forbundet med den ytre grensen. Det er heller ikke nødvendig at grensen til en polykube danner en geometrisk manifold . For eksempel har en av pentakubene to kuber som møter kant til kant, så kanten mellom dem er siden av fire grenseruter. Hvis en polykube har den tilleggsegenskapen at dens komplement (settet med hele kuber som ikke tilhører polykuben) er forbundet med kubeveier som møter kvadrat til kvadrat, så er polykubens grenseplasser nødvendigvis også forbundet med baner av kvadrater som møter kanten til kant. Det vil si at i dette tilfellet danner grensen et polyominoid .

Hver k- kube med k <7 samt Dalí-korset (med k = 8 ) kan brettes ut til en polyomino som dekker flyet. Det er et åpent spørsmål om hver polykube med en tilkoblet grense kan brettes ut til en polyomino, eller hvis dette fortsatt kan gjøres med den tilleggsbetingelsen at polyomino dekker flyet.

Dobbel graf

Strukturen til en polykube kan visualiseres ved hjelp av en "dobbel graf" som har et toppunkt for hver kube og en kant for hver to kuber som deler en firkant. Dette er forskjellig fra forestillingene med samme navn om en dobbel av en polyhedron og for den dobbelte grafen for en overflateintegrert graf. To grafer har også blitt brukt til å definere og studere spesielle underklasser av polykuber, for eksempel de som har et dobbelt diagram.

Puslespill

Polycubes brukes i gåter som følgende.

Hjernetrim Oppfinner Antall brikker Antall løsninger
Soma kube Piet hein 7 240
Ond kube 6 1. 3
Bedlam's Cube Bruce bedlam 1. 3 19'186
Slothouber - Graatsma-puslespill Jan Slothouber og William Graatsma 9 1
Conway Puzzle John Horton Conway 18
Steinhaus kube Hugo steinhaus 6 2
Halvtimes kiste Stewart kiste 6 1

Referanser

  1. Weisstein, Eric W. "Polycube." Fra MathWorld
  2. W. F. Lunnon , Graph Theory and Computing , New York, Academic Press ,1972, 101–108  s. ( ISBN  978-1-4832-5512-5 )
  3. Polycubes, på The Poly Pages
  4. Antall tredimensjonale polyominoer (eller polykuber) med n celler.
  5. "Enumeration of Specific Classes of Polycubes", Jean-Marc Champarnaud et al, University of Rouen, Frankrike PDF
  6. "Dirichlet convolution and enumeration of pyramid polycubes", C. Carré, N. Debroux, M. Deneufchâtel, J. Dubernard, C. Hillairet, J. Luque, O. Mallet; 19. november 2013 PDF
  7. Oppgave 64: Polykuber med kantutfolding
  8. Aarts, Ronald M. "Pentacube." Fra MathWorld
  9. Martin Kemp , Dalis dimensjoner , vol.  391,1 st januar 1998( DOI  10.1038 / 34063 , Bibcode  1998Natur.391 ... 27K ) , kap.  27.
  10. David Fowler , Mathematics in Science Fiction: Mathematics as Science Fiction , vol.  84,2010, 48–52  s. ( JSTOR  27871086 ) , kap.  3

    "Robert Heinleins" And He Built a Crooked House ", utgitt i 1940, og Martin Gardners" The No-Sided Professor ", utgitt i 1946, er blant de første innen science fiction som introduserer leserne for Moebius-bandet, Klein-flasken, og hyperkuben (tesseract). "

    .
  11. Giovanna Diaz og Joseph O'Rourke , Hypercube utfolder seg som fliser og ( Bibcode  2015arXiv151202086D , arXiv  1512.02086 ).
  12. Stefan Langerman og Andrew Winslow , 19. japansk konferanse om diskret og beregningsgeometri, grafer og spill (JCDCG ^ 3 2016) ,2016.
  13. Peter Turney , Unfolding the Tesseract , Vol.  17,1984, 1–16  s. ( Matematikkanmeldelser  765344 ) , kap.  1.
  14. Amitabha Bagchi , Ankur Bhargava , Amitabh Chaudhary , David Eppstein og Christian Scheideler , Effekten av feil på nettverksutvidelse , vol.  39,2006, 903–928  s. ( DOI  10.1007 / s00224-006-1349-0 , Math Reviews  2279081 , arXiv  cs / 0404029 ) , kap.  6.
  15. Ronnie Barequet , Gill Barequet og Günter Rote , formler og veksthastighetene til høy-dimensjonale polycubes , vol.  30,2010, 257–275  s. ( DOI  10.1007 / s00493-010-2448-8 , Matematikkomtaler  2728490 ) , kap.  3.
  16. Greg Aloupis , Prosenjit K. Bose , Sébastien Collette , Erik D. Demaine , Martin L. Demaine , Karim Douieb , Vida Dujmovic , John Iacono , Stefan Langerman og Pat Morin , Computational geometri, grafer og applikasjoner , vol.  7033, Springer, Heidelberg, koll.  "Forelesningsnotater i Comput. Sci. ",2011, 44–54  s. ( DOI  10.1007 / 978-3-642-24983-9_5 , matematiske anmeldelser  2927309 ).
  17. Jean-Jacques Dupas, The storage of my cube box, Tangente, spesialutgave 39, Diskret og kombinatorisk matematikk, Pole edition, 2010

Eksterne linker

<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">