Dual av en polyhedron
I geometri er det flere måter (geometrisk, kombinatorisk) å sette polyeder i dualitet : vi kan klare oss uten geometrisk støtte og definere en forestilling om dualitet i rent kombinatoriske termer, som også strekker seg til polyeder og abstrakte polytoper. I hvert tilfelle, til et hvilket som helst polyhedron, er et polyhedron kalt det dobbelte av det første, for eksempel:
- den doble av den dobbelte polyederen er den første polyederen,
- ansiktene til den ene er i samsvar med toppunktene til den andre og respekterer egenskapene til nærhet.
Det enkleste eksemplet på dualitet oppnås for vanlig konveks polyhedra ved å koble sentrene til tilstøtende ansikter (se § Dualitet av platoniske faste stoffer ).
Man kan også bruke den såkalte Dorman Luke-konstruksjonen som er angitt nedenfor.
Mer generelt defineres en dualitet ved å vurdere operasjonen av konjugering med hensyn til den omskrevne sfæren .
Noen eiendommer
- Den doble av en konveks polyhedron er også en konveks polyhedron.
- En polyhedron og dens dobbel har de samme mulige symmetriene (med hensyn til et plan, en linje, et punkt).
Dobbel "klassisk" polyeder
Dualitet av platoniske faste stoffer
 |
|
| Dobbelten av kuben er oktaeder. | Dual av oktaeder er kuben. |
 |
|
| Dobbelten av dodekaeder er ikosaeder. | Dobbeltet av icosahedron er dodecahedron. |
| solid vanlig konveks | dobbel vanlig konveks | ||
|---|---|---|---|
| tetraeder |
|
tetraeder |
|
| terning |  |
oktaeder |
|
| oktaeder | |
terning |
|
| icosahedron |  |
vanlig dodekaeder |
|
| vanlig dodekaeder | |
icosahedron |
|
Dualitet av faste stoffer fra Kepler-Poinsot
Den lille stjernedodekaeder er den doble av den store dodekaeder, og den store stjernen dodekaeder er den doble av den store ikosaeder.
(Se Kepler-Poinsot- artikkelen Solid .)
| solid vanlig ikke-konveks | vanlig ikke-konveks dual | ||
|---|---|---|---|
| liten stjerne dodekaeder |  |
flott dodecahedron |
|
| stor stellate dodecahedron |  |
stor icosahedron |
|
Dualer av arkimediske faste stoffer, prismer og antiprismer
Dualene til de arkimediske faste stoffene er de katalanske faste stoffene .
Prisene til prismer er diamanter (eller bipyramider ).
Dualene til antiprismer er antidiamanter (eller trapezohedra ).
Dobbel geodetisk polyhedra
|
ikke-ensartet konveks solid , men alle hjørnene er i samme rekkefølge (3) |
dobbel konveks ikke-isohedral , men alle ansiktene er av samme rekkefølge (3) |
||
| bikake geode |  |
geode ved triangulering |
|
Bygging av Dorman Luke
For en ensartet polyhedron , kan ansiktene til den dobbelte polyhedronen bli funnet fra toppunktfigurene til den opprinnelige polyhedronen ved hjelp av den såkalte Dorman Luke-konstruksjonen .
Som et eksempel viser illustrasjonen nedenfor en toppunkt (rød) figur av kuboktaeder som ble brukt for å oppnå et (blått) ansikt på den rombiske dodekaederet .
Dorman Luke konstruksjonsdetaljer:
- tegne toppunktfiguren oppnådd ved å markere midtpunktene A, B, C, D for hver kant som kommer fra det betraktede toppunktet; - tegne sirkelen som er avgrenset til polygonen ABCD ; - spore tangentene til sirkelen som er avgrenset ved hvert toppunkt A , B , C , D ; - merk punktene E , F , G , H der hver tangent møter en tilstøtende tangent; EFGH- polygonet er et ansikt av dobbelt polyhedron.I dette eksemplet er sirkelen som er avgrenset til toppunktfiguren på korsfeltet, som også blir krysset til den doble rombiske dodekaederet.
Dorman Lukes konstruksjon kan bare brukes når et polyeder har en slik intersfære og toppunktfiguren er sirkulær. Spesielt kan den påføres på ensartede polyedre .
Se også
- Polarsett (generalisering av konseptet til et euklidisk rom)
- Dobbel polytop
Eksterne linker
- Dualitet (med Java-animasjoner) på En spasertur i polyederens verden
- Dual av en polyhedron på MathCurve
Merknader og referanser
- " dualitet " , på matematikk.ac-noumea.nc (åpnet 19. september 2020 )