I geometri kan polygoner assosieres i par av dualer , der toppunktene til den ene tilsvarer sidene til den andre.
De polygoner vanlige er selv dual, det vil si, de er sin egen dual polygon. Det dobbelte av en isogonal polygon er en isotoxal polygon . For eksempel, det rektangel (isogonal) og den rombe (isotoxal) er dobbel.
Kongruente sider i en polygon tilsvarer kongruente vinkler i sin dobbelte, og omvendt. For eksempel er det dobbelte av en stump likbenet trekant (dvs. med en stump vinkel ) en skarpt likebenet trekant (dvs. med alle tre vinkler spisse ).
Som et eksempel på vinkelsidedualiteten til polygoner, vil egenskapene til skrivbare firkant (innenfor en sirkel) bli sammenlignet med egenskapene til omgrensende firkant (med en sirkel).
Skrivbar firkant | Omskriver firkant |
---|---|
Omskrevet sirkel | Innskrevet sirkel |
De vinkelrette halveringene på sidene krysser seg i midten av den omskrevne sirkelen | Halveringslinjene skjærer seg i midten av den innskrevne sirkelen |
Summen av ett par motsatte vinkler er lik det andre paret. | Summen av ett par lengder på motsatte sider er lik det andre paret. |
Dualiteten er enda tydeligere når man sammenligner en likbenet trapes og en drage .
Isosceles trapes | Drage |
---|---|
To par tilstøtende vinkler av samme mål | To par tilstøtende sider med like lang lengde |
Et par tilstøtende sider av samme lengde | Et par tilstøtende vinkler av samme mål |
En symmetriakse som går gjennom to motsatte sider | En symmetriakse som går gjennom to motsatte vinkler |
Omskrevet sirkel | Innskrevet sirkel |
I prosjektiv dualitet er det dobbelte av et punkt et segment, og det for en linje er et punkt - så det dobbelte av et polygon er et polygon, med sidene av den opprinnelige polygonet som tilsvarer punktene for det dobbelte og omvendt.
Fra synspunktet til doble kurver , der tangenten er knyttet til dette punktet på alle punkter i kurven. Den prosjektive doble kan tolkes slik:
Kombinatorisk kan en polygon defineres som et sett med sider, et sett med hjørner og et forhold mellom forekomst (hvor hjørner og sider berører hverandre): to tilstøtende hjørner bestemmer en side, og på to måter bestemmer to tilstøtende sider en topp. Deretter oppnås den doble polygonen ved å invertere sider og hjørner.
Så for en trekant med hjørner (A, B, C) og som sider (AB, BC, CA), har den dobbelte trekanten for hjørner (AB, BC, CA), og for sider (B, C, A), hvor B forbinder AB og BC, og så videre.
(in) Dual Polygon Applet Don Hatch