Vanlig polygon

I euklidisk geometri er en vanlig polygon en polygon som både er ligesidig (alle sidene har samme lengde) og likevektig (alle vinklene har samme mål). En vanlig polygon er enten konveks eller stjerne .

Alle vanlige konvekse polygoner med samme antall sider er like . Enhver stjernemerket vanlig polygon på n sider har en konveks konvolutt på n sider, som er en vanlig polygon. Et helt tall n større enn eller lik 3 siden det er en konveks regelmessig polygon av n sider.

I noen sammenhenger vil alle polygoner som er vurdert være konvekse og regelmessige. Det er da vanlig å antyde de to epitetene "vanlig konveks". For eksempel må alle ansiktene til uniform polyhedra være konveks og regelmessig, og ansiktene vil bare bli beskrevet som en trekant , firkant , femkant ...

De mange egenskapene til vanlige polygoner har ført til deres matematiske studier siden antikken og til forskjellige symbolske , religiøse eller magiske tolkninger .

Generelle egenskaper

Karakteriseringer

En polygon er vanlig hvis og bare hvis den er både ensidig og skrivbar (i en sirkel ).Senteret og radiusen til denne sirkelen blir da kalt sentrum og radiusen til polygonen.

En polygon er vanlig hvis, og bare hvis det er en rotasjon som sender hvert toppunkt til det neste.Denne (unike) rotasjonen sender da også hver side til neste.

Enhver vanlig polygon er derfor ikke bare både ligesidig og likevektig (per definisjon), men til og med både isotoxal og isogonal .

En polygon med n sider er vanlig hvis og bare hvis symmeturgruppen er "så stor som mulig": av orden 2 n .Denne gruppen er da den tosidige gruppen D n , som består av rotasjonene til C n ( rotasjonssymmetri- gruppen av orden n - hvis n er jevn, har polygonet derfor et symmetrisenter) og av n aksiale symmetrier hvis akser går gjennom senteret. Hvis n er jevn, passerer halvparten av disse aksene gjennom to motsatte hjørner, og den andre halvparten gjennom midtpunktene på to motsatte sider. Hvis n er merkelig, passerer hver akse gjennom et toppunkt og midtpunktet til motsatt side.

Ytterligere egenskaper

Enhver vanlig polygon er autodual .Rotasjonen nevnt ovenfor karakteriserer faktisk polygonet ( nesten direkte likhet ).

Vanlige polygoner med n hjørner (betraktes med nær likhet) er i tilknytning til hovedtallene med n og mellom 1 og n / 2
(derfor er det for n > 2 φ ( n ) / 2, der φ betegner indikatoren Euler ) .Faktisk er rotasjonen av orden n, så vinkelen måler $2 k π / n$ rad for et bestemt heltall k prime med n . Videre gir to vinkler den “samme” polygonen hvis og bare hvis de er like eller motsatte.

Linjal- og kompasskonstruksjon

En vanlig polygon (konveks eller stjerne) med n kanter kan konstrueres med linjalen og kompasset hvis og bare hvis n er et produkt av en styrke på 2 med forskjellige Fermat-primtall ( jf. Artikkelen " Theorem of Gauss-Wantzel " ). De eneste kjente Fermat-primtallene er 3, 5, 17, 257 og 65.537.

Vanlige konvekse polygoner

Den vanlige konvekse polygonen med n sider tilsvarer rotasjonsvinkelen $2π / n$ .

Vinkler

For en vanlig konveks polygon med n sider.

Vinkel i sentrum:
De $n$ vinkler i sentrum er like, og deres sum er 360 °. En vinkel i sentrum har derfor verdien: $2π / ikke$ radianer , eller $360 / ikke$ grader .
Ekstern vinkel :
Av samme resonnement er en ekstern vinkel også verdt 360 ° / n .
Intern vinkel :
Den er i tillegg til den eksterne vinkelen (eller vinkelen i midten) og har derfor følgende verdi: ${\ displaystyle 180 - {\ frac {360} {n}} = {\ frac {(n-2) \ times 180} {n}}}$ grader eller $( n - 2) π / ikke$ radianer eller til og med $( n - 2) / 2 n$ svinger .

Apotem og stråle

Avstanden mellom polygonens sentrum og hver av sidene kalles apothem (dette er radiusen til den innskrevne sirkelen ).

Dataene fra en av de tre lengdene (side $a$ , radius $ρ$ eller apothem $h$ ) gjør det mulig å kjenne de to andre og derfor å karakterisere polygonet.

Hvis vi betegner med $c = a / 2$ halvparten av siden $a$ av en vanlig polygon med $n$ sider, er disse lengdene relatert av Pythagoras teorem :

h ^ {2} + c ^ {2} = \ rho ^ {2}

og ved hjelp av følgende trigonometriformler (vinklene uttrykkes i radianer):

{\ displaystyle h = \ rho \ cos \ left ({\ frac {\ pi} {n}} \ right) \ quad {\ rm {et}} \ quad c = \ rho \ sin \ left ({\ frac { \ pi} {n}} \ høyre) \ quad {\ rm {derfor}} \ quad c = h \ tan \ left ({\ frac {\ pi} {n}} \ høyre),}

som vi trekker ut henholdsvis:

{\ displaystyle \ rho = {\ frac {h} {\ cos (\ pi / n)}}, \ quad \ rho = {\ frac {a} {2 \ sin (\ pi / n)}} \ quad { \ rm {and}} \ quad h = {\ frac {a} {2 \ tan (\ pi / n)}}.}

Omkrets og område

Den omkretsen P av en regulær konveks mangekant med $n$ sider ( n ≥ 3) av lengde $en$ er selvsagt lik na . Når det gjelder området S , er det summen av områdene til n trekanter ( likbenede ) av høyden $h$ (apotemet) og basen $a$ , derfor:

{\ displaystyle P = na \ quad {\ text {et}} \ quad S = n {\ frac {ah} {2}} = {\ frac {Ph} {2}}}

Fra de foregående forholdene mellom $a$ , $h$ og polygonens radius $ρ,$ trekker vi deretter frem:

{\ displaystyle P = 2n \ sin \ left ({\ frac {\ pi} {n}} \ right) \ rho \ quad {\ text {et}} \ quad S = {\ frac {na ^ {2}} {4 \ tan \ left ({\ tfrac {\ pi} {n}} \ right)}} = {\ frac {n} {2}} \ sin \ left ({\ frac {2 \ pi} {n} } \ høyre) \ rho ^ {2}}

;

siste likestilling bruker også en trigonometrisk identitet : . ${\ displaystyle \ sin x \ times \ cos x = {1 \ over 2} \ sin {2x}}$

Siden $sin x$ er ekvivalent til $x$ i $x$ har en tendens til 0, omkretsen har en tendens til å $2n ρ$ som $n$ har en tendens til uendelig, og i området til $væreTI ρ 2$ . Vi finner sirkelens omkrets og skivearealet .

Vanlige konvekse polygoner har en bemerkelsesverdig egenskap, kjent siden grekerne . Blant alle polygonene med samme antall sider og samme omkrets har den som er vanlig konveks det største området. Dette området, alltid mindre enn sirkelen med samme radius, kommer nærmere det når $n$ blir større. Disse egenskapene er diskutert i artikkelen “ Isoperimetri ”.

Numeriske verdier

Sider	Etternavn	Nøyaktig område hvis $a$ = 1	Halv omkrets hvis $ρ = 1$
3	Likesidet trekant	${\ displaystyle {\ frac {3} {4 \ tan \ left ({\ tfrac {\ pi} {3}} \ right)}} = {\ frac {\ sqrt {3}} {4}}}$	2.5980762
4	Torget	${\ displaystyle {\ frac {4} {4 \ tan \ left ({\ tfrac {\ pi} {4}} \ right)}} = 1 \;}$	2.8284271
5	Vanlig femkant	${\ displaystyle {\ frac {5} {4 \ tan \ left ({\ tfrac {\ pi} {5}} \ right)}} = {\ frac {1} {4}} {\ sqrt {25 + 10 {\ sqrt {5}}}}}$	2.9389263
6	Vanlig sekskant	${\ displaystyle {\ frac {6} {4 \ tan \ left ({\ tfrac {\ pi} {6}} \ right)}} = {\ frac {3 {\ sqrt {3}}} {2}} }$	3.000000
7	Vanlig heptagon	${\ displaystyle {\ frac {7} {4 \ tan \ left ({\ tfrac {\ pi} {7}} \ right)}}$	3.0371862
8	Vanlig åttekant	${\ displaystyle {\ frac {8} {4 \ tan \ left ({\ tfrac {\ pi} {8}} \ right)}} = 2 + 2 {\ sqrt {2}}}$	3.0614675
9	Vanlig Enneagone	${\ displaystyle {\ frac {9} {4 \ tan \ left ({\ tfrac {\ pi} {9}} \ right)}}$	3.0781813
10	Vanlig dekagon	${\ displaystyle {\ frac {10} {4 \ tan \ left ({\ tfrac {\ pi} {10}} \ right)}} = {\ frac {5} {2}} {\ sqrt {5 + 2 {\ sqrt {5}}}}}$	3.0901699
11	Vanlig Hendecagon	${\ displaystyle {\ frac {11} {4 \ tan \ left ({\ tfrac {\ pi} {11}} \ right)}}$	3.0990581
12	Vanlig dodecagon	${\ displaystyle {\ frac {12} {4 \ tan \ left ({\ tfrac {\ pi} {12}} \ right)}} = 6 + 3 {\ sqrt {3}}}$	3,1058285
1. 3	Vanlig trekant	${\ displaystyle {\ frac {13} {4 \ tan \ left ({\ tfrac {\ pi} {13}} \ right)}}$	3,1111036
14	Vanlig tetradecagon	${\ displaystyle {\ frac {14} {4 \ tan \ left ({\ tfrac {\ pi} {14}} \ right)}}$	3,1152931
15	Vanlig femkant	${\ displaystyle {\ frac {15} {4 \ tan \ left ({\ tfrac {\ pi} {15}} \ right)}}$	3,1186754
16	Vanlig sekskant	${\ displaystyle {\ frac {16} {4 \ tan \ left ({\ tfrac {\ pi} {16}} \ right)}}$	3.1214452
17	Vanlig heptadecagon	${\ displaystyle {\ frac {17} {4 \ tan \ left ({\ tfrac {\ pi} {17}} \ right)}}$	3.1237418
18	Vanlig åttekant	${\ displaystyle {\ frac {18} {4 \ tan \ left ({\ tfrac {\ pi} {18}} \ right)}}$	3,1256672
19	Vanlig Enneadecagon	${\ displaystyle {\ frac {19} {4 \ tan \ left ({\ tfrac {\ pi} {19}} \ right)}}$	3,1272972
20	Vanlig Icosagon	${\ displaystyle {\ frac {20} {4 \ tan \ left ({\ tfrac {\ pi} {20}} \ right)}} = 5 \ ganger {\ frac {1 + {\ sqrt {5}} + {\ sqrt {10 - {\ sqrt {20}}}}} {1 + {\ sqrt {5}} - {\ sqrt {10 - {\ sqrt {20}}}}}}$	3,1286893
30	Vanlig triakontagon	${\ displaystyle {\ frac {30} {4 \ tan \ left ({\ tfrac {\ pi} {30}} \ right)}} = {\ frac {15} {2}} \ times {\ frac {{ \ sqrt {15}} + {\ sqrt {3}} + {\ sqrt {10 - {\ sqrt {20}}}}} {{\ sqrt {30 - {\ sqrt {180}}}} - {\ sqrt {5}} - 1}}}$	3.1358539
100	Hektagon vanlig	${\ displaystyle {\ frac {100} {4 \ tan \ left ({\ tfrac {\ pi} {100}} \ right)}}$	3.1410759
1000	Vanlig Chiliagon	${\ displaystyle {\ frac {1000} {4 \ tan \ left ({\ tfrac {\ pi} {1000}} \ right)}}$	3.1415875
10.000	Myriagone vanlig	${\ displaystyle {\ frac {10000} {4 \ tan \ left ({\ tfrac {\ pi} {10000}} \ right)}}$	3.1415926

Vi merker at hvis radiusen er lik 1, nærmer halv omkretsen seg mer og mer $π$ .

Vanlige ikke-konvekse polygoner

Et eksempel på en vanlig stjernepolygon (som tilsvarer " krysset regelmessig ", eller "ikke-konveks regulær") er pentagrammet , som har de samme hjørnene som den vanlige konvekse femkant , men som er forbundet med alternerende hjørner.

De første stjernepolygonene er:

Pentagram - {5/2}
Heptagrammer - {7/2}, {7/3}
Octagram (no) - {8/3}
Enneagrams - {9/2}, {9/4}
Dekagram - {10/3}

Polyhedra

En ensartet polyhedron er en polyhedron med vanlige polygoner for ansikter slik at det for hvert par av toppunktene er en isometri som påfører den ene over den andre. Ordet polygon kommer fra ordet poly (mange) og borte (vinkler).

Merknader og referanser

(fr) Denne artikkelen er delvis eller helt hentet fra Wikipedia-artikkelen på engelsk med tittelen " Regular polygon " ( se listen over forfattere ) .

Det er praktisk å tenke på digonet som en konveks polygon , selv om det ikke engang er enkelt .
Matematikk i jeans Ordliste .

Se også

Relaterte artikler

Eksterne linker

(no) Beskrivelse av vanlig polygon med interaktiv animasjon
( fr ) Krets av en vanlig polygon med interaktiv animasjon
( fr ) Område av en vanlig polygon Tre forskjellige formler, med interaktiv animasjon
Blomsters geometri med en regelmessig polygon Korrespondanser mellom figurene og omrisset av blomstene