Schur polynom
I matematikk er Schur-polynomer , oppkalt etter matematikeren Issai Schur , spesielle symmetriske polynomer , indeksert av partisjonene til heltall , og som generaliserer elementære symmetriske polynomer og fullfører homogene symmetriske polynomer . I representasjonsteori er dette tegnene til representasjoner polynom irredusible den generelle lineære gruppen . Schur-polynomer danner et grunnlag for rommet til alle symmetriske polynomer. Et produkt av Schur-polynomer kan skrives som en lineær kombinasjon av Schur-polynomer med naturlige heltallskoeffisienter ; verdiene til disse koeffisientene er gitt av Littlewood-Richardson-regelen .
Det er også venstre Schur-polynomer som er assosiert med par av partisjoner og som har egenskaper som ligner på Schur-polynomer.
Definisjon
Schur-polynomer indekseres av partisjonene av heltall eller mer nøyaktig, av de avtagende endelige sekvensene av naturlige heltall. Gitt en slik n -tuple λ = ( λ 1 , λ 2 ,…, λ n ) , der λ j er heltall og λ 1 ≥ λ 2 ≥ ... ≥ λ n ≥ 0 (denne endelige sekvensen kan sees på som en " Partisjon "av heltallet d = ∑ λ j, men i en bredere forstand siden det siste λ j er tillatt å være null), er følgende polynom alternerende (i) , det vil si at det transformeres i motsatt retning ved en transponering av variablene:
påλ(x1,x2,...,xikke)=det(x1λ1x2λ1...xikkeλ1x1λ2x2λ2...xikkeλ2⋮⋮⋱⋮x1λikkex2λikke...xikkeλikke).{\ displaystyle a _ {\ lambda} (x_ {1}, x_ {2}, \ dots, x_ {n}) = \ det {\ begin {pmatrix} x_ {1} ^ {\ lambda _ {1}} & x_ {2} ^ {\ lambda _ {1}} & \ prikker & x_ {n} ^ {\ lambda _ {1}} \\ x_ {1} ^ {\ lambda _ {2}} & x_ {2 } ^ {\ lambda _ {2}} & \ dots & x_ {n} ^ {\ lambda _ {2}} \\\ vdots & \ vdots & \ ddots & \ vdots \\ x_ {1} ^ {\ lambda _ {n}} & x_ {2} ^ {\ lambda _ {n}} & \ dots & x_ {n} ^ {\ lambda _ {n}} \ end {pmatrix}}.}![{\ displaystyle a _ {\ lambda} (x_ {1}, x_ {2}, \ dots, x_ {n}) = \ det {\ begin {pmatrix} x_ {1} ^ {\ lambda _ {1}} & x_ {2} ^ {\ lambda _ {1}} & \ prikker & x_ {n} ^ {\ lambda _ {1}} \\ x_ {1} ^ {\ lambda _ {2}} & x_ {2 } ^ {\ lambda _ {2}} & \ dots & x_ {n} ^ {\ lambda _ {2}} \\\ vdots & \ vdots & \ ddots & \ vdots \\ x_ {1} ^ {\ lambda _ {n}} & x_ {2} ^ {\ lambda _ {n}} & \ dots & x_ {n} ^ {\ lambda _ {n}} \ end {pmatrix}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/760f277b960339592115f8cd38f0ab85b5c8a525)
Det er derfor delbart med Vandermonde-determinanten , som tilsvarer n -upletten δ = ( n - 1, n - 2,…, 0) :
påδ(x1,x2,...,xikke)=det(x1ikke-1x2ikke-1...xikkeikke-1x1ikke-2x2ikke-2...xikkeikke-2⋮⋮⋱⋮11...1)=∏1≤j<k≤ikke(xj-xk).{\ displaystyle a _ {\ delta} (x_ {1}, x_ {2}, \ dots, x_ {n}) = \ det {\ begin {pmatrix} x_ {1} ^ {n-1} & x_ { 2} ^ {n-1} & \ prikker & x_ {n} ^ {n-1} \\ x_ {1} ^ {n-2} & x_ {2} ^ {n-2} & \ prikker & x_ {n} ^ {n-2} \\\ vdots & \ vdots & \ ddots & \ vdots \\ 1 & 1 & \ dots & 1 \ end {pmatrix}} = \ prod _ {1 \ leq j <k \ leq n} (x_ {j} - x_ {k}).}![{\ displaystyle a _ {\ delta} (x_ {1}, x_ {2}, \ dots, x_ {n}) = \ det {\ begin {pmatrix} x_ {1} ^ {n-1} & x_ { 2} ^ {n-1} & \ prikker & x_ {n} ^ {n-1} \\ x_ {1} ^ {n-2} & x_ {2} ^ {n-2} & \ prikker & x_ {n} ^ {n-2} \\\ vdots & \ vdots & \ ddots & \ vdots \\ 1 & 1 & \ dots & 1 \ end {pmatrix}} = \ prod _ {1 \ leq j <k \ leq n} (x_ {j} - x_ {k}).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/37e66e9773723cba052a0e3cd48c1492ba3a925d)
Schur-polynomet assosiert med λ er per definisjon kvotientpolynomet:
sλ=påλ+δpåδ,{\ displaystyle s _ {\ lambda} = {\ frac {a _ {\ lambda + \ delta}} {a _ {\ delta}}},}
hvor n -uples λ og δ blir tilsatt ledd for ledd . Det er symmetrisk, som et kvotient av to vekslende polynomer.
Schur-polynomene av grad d i n- variabler danner et grunnlag for rommet til homogene symmetriske polynomer av grad d i n- variabler.
Tilsvarende definisjoner
For en gitt partisjon kan Schur-polynomet også skrives som en sum av monomer, i form:
λ{\ displaystyle \ lambda}
sλ{\ displaystyle s _ {\ lambda}}![{\ displaystyle s _ {\ lambda}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d1ad7e5606ce090b9dafd6ab6e28b6fdb85acf05)
sλ(x1,x2,...,xikke)=∑TxT=∑Tx1t1⋯xikketikke{\ displaystyle s _ {\ lambda} (x_ {1}, x_ {2}, \ ldots, x_ {n}) = \ sum _ {T} x ^ {T} = \ sum _ {T} x_ {1 } ^ {t_ {1}} \ cdots x_ {n} ^ {t_ {n}}}![{\ displaystyle s _ {\ lambda} (x_ {1}, x_ {2}, \ ldots, x_ {n}) = \ sum _ {T} x ^ {T} = \ sum _ {T} x_ {1 } ^ {t_ {1}} \ cdots x_ {n} ^ {t_ {n}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9353d7f429ad59f88d625b286e8ef589ab9f27ec)
der summasjonen er relatert til de semi-standardiserte Young arrays of form ; eksponenter gir vekten av : med andre ord, hver teller forekomsten av tallet i . For eksempel, den monomial forbundet med matrisen er .
T{\ displaystyle T}
λ{\ displaystyle \ lambda}
t1,...,tikke{\ displaystyle t_ {1}, \ ldots, t_ {n}}
T{\ displaystyle T}
tJeg{\ displaystyle t_ {i}}
Jeg{\ displaystyle i}
T{\ displaystyle T}![T](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ec7200acd984a1d3a3d7dc455e262fbe54f7f6e0)
x1x3x43x5x6x7{\ displaystyle x_ {1} x_ {3} x_ {4} ^ {3} x_ {5} x_ {6} x_ {7}}![{\ displaystyle x_ {1} x_ {3} x_ {4} ^ {3} x_ {5} x_ {6} x_ {7}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/13a5a8059b3c2b1ad1d0551de11e93c1584addf6)
Uttrykket som vekten av Youngs arrays blir noen ganger tatt som en definisjon, for eksempel i Sagan 2001 .
Forholdet til andre baser uttrykkes ofte eksplisitt. En av grunnlagene som er vurdert er monomiske symmetriske funksjoner . Gitt en partisjon er polynomet per definisjon:
mμ{\ displaystyle m _ {\ mu}}
μ=(μ1,μ2,...,μikke){\ displaystyle \ mu = (\ mu _ {1}, \ mu _ {2}, \ ldots, \ mu _ {n})}
mμ{\ displaystyle m _ {\ mu}}![{\ displaystyle m _ {\ mu}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/951fae7cd04778b6159ca2491838a799c4cd3408)
mμ=∑xJeg1μ1xJeg2μ2⋯xJegikkeμikke{\ displaystyle m _ {\ mu} = \ sum x_ {i_ {1}} ^ {\ mu _ {1}} x_ {i_ {2}} ^ {\ mu _ {2}} \ cdots x_ {i_ { n}} ^ {\ mu _ {n}}}![{\ displaystyle m _ {\ mu} = \ sum x_ {i_ {1}} ^ {\ mu _ {1}} x_ {i_ {2}} ^ {\ mu _ {2}} \ cdots x_ {i_ { n}} ^ {\ mu _ {n}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/79a04d5c1451fe16aaa736c59820b79b53cb118f)
hvor summeringen er over alle permutasjoner av heltall fra 1 til . For eksempel får vi:
(Jeg1,Jeg2,...,Jegikke){\ displaystyle (i_ {1}, i_ {2}, \ ldots, i_ {n})}
ikke{\ displaystyle n}
μ=(2,1,0){\ displaystyle \ mu = (2,1,0)}![{\ displaystyle \ mu = (2,1,0)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/185d839976182514ae5d34aa980c7197442c8559)
m(2,1,0)=x12x2+x12x3+x1x22+x1x32+x22x3+x2x32{\ displaystyle m _ {(2,1,0)} = x_ {1} ^ {2} x_ {2} + x_ {1} ^ {2} x_ {3} + x_ {1} x_ {2} ^ {2} + x_ {1} x_ {3} ^ {2} + x_ {2} ^ {2} x_ {3} + x_ {2} x_ {3} ^ {2}}
.
Schur-polynomer er lineære kombinasjoner av symmetriske monomiale polynomer med naturlige heltallskoeffisienter notert og kalt Kostka-tall . Kostka-tallet (som avhenger av to partisjoner og ) er per definisjon lik antallet semi-standardiserte Young arrays av form og vekt .
Kλμ{\ displaystyle K _ {\ lambda \ mu}}
Kλμ{\ displaystyle K _ {\ lambda \ mu}}
λ{\ displaystyle \ lambda}
μ{\ displaystyle \ mu}
λ{\ displaystyle \ lambda}
μ{\ displaystyle \ mu}![\ mu](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9fd47b2a39f7a7856952afec1f1db72c67af6161)
Uttrykket av Schur-polynomer som en kombinasjon av monomiske symmetriske polynomer er:
sλ=∑μKλμmμ. {\ displaystyle s _ {\ lambda} = \ sum _ {\ mu} K _ {\ lambda \ mu} m _ {\ mu}. \}![{\ displaystyle s _ {\ lambda} = \ sum _ {\ mu} K _ {\ lambda \ mu} m _ {\ mu}. \}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ba3b7df8f83a1a4451439f85506af318854d246b)
De komplette homogene symmetriske polynomene
hk(x1,x2,...,xikke)=∑1≤Jeg1≤Jeg2≤⋯≤Jegk≤ikkexJeg1xJeg2⋯xJegk,{\ displaystyle h_ {k} (x_ {1}, x_ {2}, \ prikker, x_ {n}) = \ sum _ {1 \ leq i_ {1} \ leq i_ {2} \ leq \ cdots \ leq i_ {k} \ leq n} x_ {i_ {1}} x_ {i_ {2}} \ cdots x_ {i_ {k}},}![{\ displaystyle h_ {k} (x_ {1}, x_ {2}, \ prikker, x_ {n}) = \ sum _ {1 \ leq i_ {1} \ leq i_ {2} \ leq \ cdots \ leq i_ {k} \ leq n} x_ {i_ {1}} x_ {i_ {2}} \ cdots x_ {i_ {k}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9b896fe01d95ab2c9a58add549d90059a01ca96f)
det vil si summen av alle gradens monomier gir et annet eksempel. To formler som involverer determinanter er Jacobi -Trudi- formlene . Den første uttrykker Schur-polynomer som en determinant når det gjelder komplette homogene symmetriske polynomer :
k{\ displaystyle k}![k](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c3c9a2c7b599b37105512c5d570edc034056dd40)
sλ=detJeg,jhλJeg+j-Jeg.{\ displaystyle s _ {\ lambda} = \ det _ {i, j} h _ {\ lambda _ {i} + ji}.}![{\ displaystyle s _ {\ lambda} = \ det _ {i, j} h _ {\ lambda _ {i} + ji}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f3afd396972ca53dc6d4e58bc97109d07a278aa4)
For delingen av i en del har vi ganske enkelt
(d){\ displaystyle (d)}
d{\ displaystyle d}![d](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e85ff03cbe0c7341af6b982e47e9f90d235c66ab)
s(d)=hd{\ displaystyle s _ {(d)} = h_ {d}}![{\ displaystyle s _ {(d)} = h_ {d}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a451a40a6dd70f302e2f525bd32d4e468607045d)
.
Det siste forholdet er lett forståelig. Faktisk, hvis partisjonen bare inneholder ett begrep, har de tilknyttede Young-tabellene bare en rad med celler, fylt med heltall som øker i vid forstand. Hver tabell tilsvarer et begrep av det komplette homogene symmetriske polynomet .
ikke{\ displaystyle n}
hd{\ displaystyle h_ {d}}![{\ displaystyle h_ {d}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a4689b1326cea2bdd54ae33d92bc854b6f669c5d)
Den andre formelen uttrykker Schur-polynomer som en determinant når det gjelder elementære symmetriske polynomer . Vi betegner det elementære symmetriske polynomet som er summen av de forskjellige produktene av forskjellige variabler blant . Vi har :
ek(x1,...,xikke){\ displaystyle e_ {k} (x_ {1}, \ ldots, x_ {n})}
k{\ displaystyle k}
ikke{\ displaystyle n}![ikke](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a601995d55609f2d9f5e233e36fbe9ea26011b3b)
sλ=detJeg,jeλJeg′+j-Jeg{\ displaystyle s _ {\ lambda} = \ det _ {i, j} e _ {\ lambda '_ {i} + ji}}![{\ displaystyle s _ {\ lambda} = \ det _ {i, j} e _ {\ lambda '_ {i} + ji}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ba7d406c26f654c3b412f21aeb46bbf6016eddd4)
,
hvor er den doble partisjonen av . For partisjonen der alle delene er lik 1, får vi
λ′{\ displaystyle \ lambda '}
λ{\ displaystyle \ lambda}
(1)d{\ displaystyle (1) ^ {d}}![{\ displaystyle (1) ^ {d}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3e694d598c2b2a29aa3b645569d46c40392600ab)
s(1)d=ed{\ displaystyle s _ {(1) ^ {d}} = e_ {d}}![{\ displaystyle s _ {(1) ^ {d}} = e_ {d}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/74e445eda5a37763f1dce7944e5101deaac4afe8)
.
Også her er den siste formelen lett forståelig. Youngs tabeller består av en enkelt kolonne med celler, og heltallene som vises i dem øker strengt. Hver tabell gir derfor et monomium av det elementære symmetriske polynomet .
ikke{\ displaystyle n}
ed{\ displaystyle e_ {d}}![e_ {d}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9b1879b5ddaf95ac3b730a7de24afd722bb9824f)
Disse formlene kalles "determinant identities". En annen form av denne typen er formelen til Giambelli (in) , som uttrykker Schur-polynomet til en partisjon i form av kvadratiske partisjoner inneholdt i det tilsvarende Young-diagrammet. I Frobenius-notasjonen blir poengsummen notert
(på1,...pår|b1,...br){\ displaystyle (a_ {1}, ... a_ {r} | b_ {1}, ... b_ {r})}![{\ displaystyle (a_ {1}, ... a_ {r} | b_ {1}, ... b_ {r})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2cd1d60771dedeb946286f556c6f095037985653)
hvor, for hvert diagonale element, i posisjon , er heltallet antall celler til høyre og på samme rad, og er antall celler under og i samme kolonne (henholdsvis lengden på "armen" og " bein ").
(Jeg,Jeg){\ displaystyle (i, i)}
påJeg{\ displaystyle a_ {i}}
bJeg{\ displaystyle b_ {i}}![{\ displaystyle b_ {i}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/40a8c2db2990a53c683e75961826167c5adac7c3)
Giambellis identitet uttrykker poengsummen som determinant
s(på1,...pår|b1,...br)=det(s(påJeg|bj)){\ displaystyle s _ {(a_ {1}, ... a_ {r} | b_ {1}, ... b_ {r})} = \ det (s _ {(a_ {i} | b_ {j })})}![{\ displaystyle s _ {(a_ {1}, ... a_ {r} | b_ {1}, ... b_ {r})} = \ det (s _ {(a_ {i} | b_ {j })})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/82a16f90843e409493adbe284db77c2855c18c56)
.
Til slutt gir evalueringen av Schur-polynomet i (1,1, ..., 1) antall semi-standardiserte Young arrays of form med oppføringer i . Vi kan vise, ved å bruke for eksempel formelen til tegnene til Weyl (en) , at
sλ{\ displaystyle s _ {\ lambda}}
λ{\ displaystyle \ lambda}
{1,2,...,ikke}{\ displaystyle \ {1,2, \ ldots, n \}}
sλ(1,1,...,1)=∏1≤Jeg<j≤ikkeλJeg-λj+j-Jegj-Jeg.{\ displaystyle s _ {\ lambda} (1,1, \ prikker, 1) = \ prod _ {1 \ leq i <j \ leq n} {\ frac {\ lambda _ {i} - \ lambda _ {j } + ji} {ji}}.}![{\ displaystyle s _ {\ lambda} (1,1, \ prikker, 1) = \ prod _ {1 \ leq i <j \ leq n} {\ frac {\ lambda _ {i} - \ lambda _ {j } + ji} {ji}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2a1670bc3ccd1a3b7171c5452af6928529613ae8)
Eksempel
Følgende eksempel illustrerer disse definisjonene. Vi vurderer saken . Skilleveggene til helheten i de fleste deler er . Vi har
ikke=3,d=4{\ displaystyle n = 3, d = 4}
d=4{\ displaystyle d = 4}
ikke=3{\ displaystyle n = 3}
(2,1,1),(2,2),(3,1),(4){\ displaystyle (2,1,1), (2,2), (3,1), (4)}![{\ displaystyle (2,1,1), (2,2), (3,1), (4)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8a9ce9d45008c8263cfdfccc5f4dcf5196f51621)
s(2,1,1)(x1,x2,x3)=1Δdet(x14x24x34x12x22x32x1x2x3)=x1x2x3(x1+x2+x3){\ displaystyle s _ {(2,1,1)} (x_ {1}, x_ {2}, x_ {3}) = {\ frac {1} {\ Delta}} \; \ det {\ begin { pmatrix} x_ {1} ^ {4} & x_ {2} ^ {4} & x_ {3} ^ {4} \\ x_ {1} ^ {2} & x_ {2} ^ {2} & x_ { 3} ^ {2} \\ x_ {1} & x_ {2} & x_ {3} \ end {pmatrix}} = x_ {1} \, x_ {2} \, x_ {3} \, (x_ { 1} + x_ {2} + x_ {3})}
s(2,2,0)(x1,x2,x3)=1Δdet(x14x24x34x13x23x33111)=x12x22+x12x32+x22x32+x12x2x3+x1x22x3+x1x2x32{\ displaystyle s _ {(2,2,0)} (x_ {1}, x_ {2}, x_ {3}) = {\ frac {1} {\ Delta}} \; \ det {\ begin { pmatrix} x_ {1} ^ {4} & x_ {2} ^ {4} & x_ {3} ^ {4} \\ x_ {1} ^ {3} & x_ {2} ^ {3} & x_ { 3} ^ {3} \\ 1 & 1 & 1 \ end {pmatrix}} = x_ {1} ^ {2} \, x_ {2} ^ {2} + x_ {1} ^ {2} \, x_ {3} ^ {2} + x_ {2} ^ {2} \, x_ {3} ^ {2} + x_ {1} ^ {2} \, x_ {2} \, x_ {3} + x_ { 1} \, x_ {2} ^ {2} \, x_ {3} + x_ {1} \, x_ {2} \, x_ {3} ^ {2}}![{\ displaystyle s _ {(2,2,0)} (x_ {1}, x_ {2}, x_ {3}) = {\ frac {1} {\ Delta}} \; \ det {\ begin { pmatrix} x_ {1} ^ {4} & x_ {2} ^ {4} & x_ {3} ^ {4} \\ x_ {1} ^ {3} & x_ {2} ^ {3} & x_ { 3} ^ {3} \\ 1 & 1 & 1 \ end {pmatrix}} = x_ {1} ^ {2} \, x_ {2} ^ {2} + x_ {1} ^ {2} \, x_ {3} ^ {2} + x_ {2} ^ {2} \, x_ {3} ^ {2} + x_ {1} ^ {2} \, x_ {2} \, x_ {3} + x_ { 1} \, x_ {2} ^ {2} \, x_ {3} + x_ {1} \, x_ {2} \, x_ {3} ^ {2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ecd5c89877cc52facf5ca14a8e2a251ae7a014c8)
Og så videre. Den andre av Jacobi-Trudi-formlene gir uttrykk:
- s(2,1,1)=e1e3{\ displaystyle s _ {(2,1,1)} = e_ {1} \, e_ {3}}
![{\ displaystyle s _ {(2,1,1)} = e_ {1} \, e_ {3}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d21e15095b2d5636b9ec4b211e9b200db9c6d3bc)
- s(2,2,0)=e22-e1e3{\ displaystyle s _ {(2,2,0)} = e_ {2} ^ {2} -e_ {1} \, e_ {3}}
![{\ displaystyle s _ {(2,2,0)} = e_ {2} ^ {2} -e_ {1} \, e_ {3}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2d0ebf2d18e00f537e0e6342c57bf39aa2252d10)
- s(3,1,0)=e12e2-e22-e1e3+e4{\ displaystyle s _ {(3,1,0)} = e_ {1} ^ {2} \, e_ {2} -e_ {2} ^ {2} -e_ {1} \, e_ {3} + e_ {4}}
![{\ displaystyle s _ {(3,1,0)} = e_ {1} ^ {2} \, e_ {2} -e_ {2} ^ {2} -e_ {1} \, e_ {3} + e_ {4}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8f86e01e1141f179b916bd6c03eb29428ee59049)
- s(4,0,0)=e14-3e12e2+2e1e3+e22-e4.{\ displaystyle s _ {(4,0,0)} = e_ {1} ^ {4} -3 \, e_ {1} ^ {2} \, e_ {2} +2 \, e_ {1} \ , e_ {3} + e_ {2} ^ {2} -e_ {4}.}
![{\ displaystyle s _ {(4,0,0)} = e_ {1} ^ {4} -3 \, e_ {1} ^ {2} \, e_ {2} +2 \, e_ {1} \ , e_ {3} + e_ {2} ^ {2} -e_ {4}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/74b6c261d54e0c66d85700acfeb5138b1bb30f4f)
Ethvert symmetrisk homogent polynom av grad 4 i tre variabler uttrykkes på en unik måte som en lineær kombinasjon av disse fire Schur-polynomene. Tenk for eksempel på polynomet:
ϕ(x1,x2,x3)=x14+x24+x34{\ displaystyle \ phi (x_ {1}, x_ {2}, x_ {3}) = x_ {1} ^ {4} + x_ {2} ^ {4} + x_ {3} ^ {4}}![{\ displaystyle \ phi (x_ {1}, x_ {2}, x_ {3}) = x_ {1} ^ {4} + x_ {2} ^ {4} + x_ {3} ^ {4}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/23583329d09b4335feaba445d4bc3040c9f9ee21)
Det er faktisk et homogent symmetrisk polynom av grad 4 i tre variabler. Vi finner :
ϕ=s(2,1,1)-s(3,1,0)+s(4,0,0).{\ displaystyle \ phi = s _ {(2,1,1)} - s _ {(3,1,0)} + s _ {(4,0,0)}. \, \!}![{\ displaystyle \ phi = s _ {(2,1,1)} - s _ {(3,1,0)} + s _ {(4,0,0)}. \, \!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7ff1180c47289891a8befbd8392a75ee216f663c)
Forholdet til representasjonsteori
Schur-polynomer griper inn i teorien om representasjoner av symmetriske grupper, av den generelle lineære gruppen og av enhetsgrupper . Weyls karakterformel innebærer at Schur-polynomer er tegn på endelig grad irredusible representasjoner av generelle lineære grupper, og dette gjør at Schurs arbeid kan generaliseres til andre kompakte og semi-enkle Lie- grupper.
Flere uttrykk er konsekvenser av dette forholdet. Den viktigste er utvidelsen av Schur-funksjonen når det gjelder Newton-summer . Hvis vi betegner karakteren til den symmetriske gruppen indeksert av poengsummen evaluert i elementer hvis syklusstype er betegnet med poengsummen , såsλ{\ displaystyle s _ {\ lambda}}
sk=∑JegxJegk{\ displaystyle p_ {k} = \ sum _ {i} x_ {i} ^ {k}}
χρλ{\ displaystyle \ chi _ {\ rho} ^ {\ lambda}}
λ{\ displaystyle \ lambda}
ρ{\ displaystyle \ rho}![\ rho](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1f7d439671d1289b6a816e6af7a304be40608d64)
sλ=∑ρ=(1r1,2r2,3r3,...)χρλ∏kskrkrk!krk,{\ displaystyle s _ {\ lambda} = \ sum _ {\ rho = (1 ^ {r_ {1}}, 2 ^ {r_ {2}}, 3 ^ {r_ {3}}, \ prikker)} \ chi _ {\ rho} ^ {\ lambda} \ prod _ {k} {\ frac {p_ {k} ^ {r_ {k}}} {r_ {k}! k ^ {r_ {k}}}}, }![{\ displaystyle s _ {\ lambda} = \ sum _ {\ rho = (1 ^ {r_ {1}}, 2 ^ {r_ {2}}, 3 ^ {r_ {3}}, \ prikker)} \ chi _ {\ rho} ^ {\ lambda} \ prod _ {k} {\ frac {p_ {k} ^ {r_ {k}}} {r_ {k}! k ^ {r_ {k}}}}, }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a71f0fab44616b4d33bf31b872384cef9e6159ab)
hvor betyr partisjonen har deler i lengde .
ρ=(1r1,2r2,3r3,...){\ displaystyle \ rho = (1 ^ {r_ {1}}, 2 ^ {r_ {2}}, 3 ^ {r_ {3}}, \ prikker)}
ρ{\ displaystyle \ rho}
rk{\ displaystyle r_ {k}}
k{\ displaystyle k}![k](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c3c9a2c7b599b37105512c5d570edc034056dd40)
Venstre Schur-funksjoner
En venstre Schur-funksjon avhenger av to partisjoner og . Det kan defineres av eiendommen:
sλ/μ{\ displaystyle s _ {\ lambda / \ mu}}
λ{\ displaystyle \ lambda}
μ{\ displaystyle \ mu}![\ mu](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9fd47b2a39f7a7856952afec1f1db72c67af6161)
⟨sλ/μ,sν⟩=⟨sλ,sμsν⟩.{\ displaystyle \ langle s _ {\ lambda / \ mu}, s _ {\ nu} \ rangle = \ langle s _ {\ lambda}, s _ {\ mu} s _ {\ nu} \ rangle.}![{\ displaystyle \ langle s _ {\ lambda / \ mu}, s _ {\ nu} \ rangle = \ langle s _ {\ lambda}, s _ {\ mu} s _ {\ nu} \ rangle.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/98d8e3ca906ef59942ee4ef08a2bda43d7cebaf6)
Som med vanlige Schur-polynomer er det forskjellige måter å beregne dem på. De tilsvarende Jacobi-Trudi-identitetene er:
sλ/μ=(hλJeg-μj-Jeg+j),1≤Jeg,j≤l(λ){\ displaystyle s _ {\ lambda / \ mu} = (h _ {\ lambda _ {i} - \ mu _ {j} -i + j}), 1 \ leq i, j \ leq l (\ lambda) }![{\ displaystyle s _ {\ lambda / \ mu} = (h _ {\ lambda _ {i} - \ mu _ {j} -i + j}), 1 \ leq i, j \ leq l (\ lambda) }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fa8e71bc6dbe79a0d2909652ed12b0dbba241929)
,
sλ′/μ′=(eλJeg-μj-Jeg+j),1≤Jeg,j≤l(λ){\ displaystyle s _ {\ lambda '/ \ mu'} = (e _ {\ lambda _ {i} - \ mu _ {j} -i + j}), 1 \ leq i, j \ leq l (\ lambda)}![{\ displaystyle s _ {\ lambda '/ \ mu'} = (e _ {\ lambda _ {i} - \ mu _ {j} -i + j}), 1 \ leq i, j \ leq l (\ lambda)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/18adbb506bc59ec14d3ba487ca3bd3c936362d3e)
.
Det er også en kombinatorisk tolkning av venstre Schur-polynomer, nemlig som en sum over alle semi-standard Young arrays of form :
λ/μ{\ displaystyle \ lambda / \ mu}![\ lambda / \ mu](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/94fd7751f3b86d1e12a00860f051bf3dc29c39c0)
sλ/μ=∑xT{\ displaystyle s _ {\ lambda / \ mu} = \ sum x ^ {T}}![{\ displaystyle s _ {\ lambda / \ mu} = \ sum x ^ {T}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f7a2995d19e7bfba5495edc1ffa922231c496553)
hvor summeringen forholder seg denne gangen til semi-standard formtabeller .
λ/μ{\ displaystyle \ lambda / \ mu}![\ lambda / \ mu](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/94fd7751f3b86d1e12a00860f051bf3dc29c39c0)
Relaterte artikler
Merknader og referanser
(fr) Denne artikkelen er delvis eller helt hentet fra Wikipedia-artikkelen på
engelsk med tittelen
" Schur polynomial " ( se forfatterlisten ) .
Merknader
-
Dette er, ifølge Sagan 2002 , den opprinnelige definisjonen av Schur.
-
Lascoux 1984 , s. 1.
-
(it) " Nicola Trudi (1811 - 1884) " , på Mathematica Italiana .
-
Stanley 1999 , fransk horn. 7.17.5.
Bibliografi
- Alain Lascoux, “ Symmetrical functions ”, Lotharingian Seminar on Combinatorics , vol. 8,1984, s. 37-58, artikkel nr . B08f ( les online )
- (no) Ian G. Macdonald , symmetriske funksjoner og hallpolynomer , The Clarendon Press Oxford University Press, koll. "Oxford Mathematical Monograph",1995, 2 nd ed. , 475 s. ( ISBN 978-0-19-853489-1 , matematiske anmeldelser 1354144 )
- (en) Bruce E. Sagan (en) , The Symmetric Group: Representations, Combinatorial Algorithms, and Symmetric Functions , New York / Berlin / Heidelberg etc., Springer-Verlag , koll. " GTM " ( n o 203)2001, 2 nd ed. , 238 s. ( ISBN 0-387-95067-2 , online presentasjon )
- (en) Bruce E. Sagan , "Schur fungerer i algebraisk kombinatorikk" , i Michiel Hazewinkel , Encyclopædia of Mathematics , Springer ,2002( ISBN 978-1556080104 , les online )
- (no) Richard P. Stanley , Enumerative Combinatorics , vol. 2 [ detalj av utgaver ] ( online presentasjon )
- (en) Bernd Sturmfels , Algorithms in Invariant Theory , New York, Springer,1993( ISBN 0-387-82445-6 )
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">