Forkompakter plass

I topologi , en gren av matematikk , en metrisk rom E er precompact hvis, for alle ε> 0, kan vi dekke E med et endelig antall kuler med radius ε. Hovedegenskapen er at et metrisk område er kompakt hvis og bare hvis det er forhåndskompakt og komplett . Begrepet forkompasitet og dets egenskaper er generalisert til jevne mellomrom .

Definisjoner

La E være et metrisk område. Hvis en av de følgende tre egenskapene er sant, er alle tre og E sies å være forhåndskompakt.

For alle ε> 0 kan vi dekke E med et endelig antall baller med radius ε;
For alle ε> 0 kan vi dekke E med et endelig antall deler med diameter mindre enn ε;
Ethvert resultat i E har en påfølgende Cauchy .

Demonstrasjon

1. ⇒ 2: enhver ball med radius ε har en diameter mindre enn eller lik 2ε.
2. ⇒ 3 .: la x være en sekvens i et mellomrom E som tilfredsstiller 2. La oss dekke E med et endelig antall deler med diametre mindre enn 2 0 = 1. En av disse delene - la oss kalle det E 0 - inneholder en uendelig mengde av begrepene i sekvensen x , dvs. en sekvens ( x φ (0, n ) ). Vi kan også dekke E 0 med et endelig antall deler av E 0 med diametre mindre enn 2 −1, og en av dem, E 1 , vil inneholde en undersøkelse ( x φ (1, n ) ) av ( x φ (0, n ) ). Ved å gjenta prosessen, konstruerer vi en avtagende rekkefølge av delene E k diametere mindre enn henholdsvis 2 - k , som hver inneholder en delsekvens ( x φ ( k, n ) ) fra det foregående delsekvens ( x φ ( k - 1, n ) ). Den diagonale undersekvensen ( x φ ( n, n ) ) er da en Cauchy-sekvens av x .
3. ⇒ 1: resonnement ved kontraster , la oss se på et rom E som for en viss ε> 0 ikke er en endelig forening av åpne baller med radius ε. Dette gjør det mulig å konstruere ved induksjon en sekvens $( x n )$ av punkter av E slik at $\ forall n \ i \ N, ~ x_n \ notin \ cup_ {k <n} B \ left (x_k, \ varepsilon \ right).$ Denne sekvensen sjekker deretter: $\ forall \ left (i, j \ right) \ in \ N ^ 2, i \ neq j \ Rightarrow d \ left (x_i, x_j \ right) \ ge \ varepsilon$ derfor $( x n )$ innrømmer ikke en Cauchy-konsekvens.

Mer generelt, la E være et jevnt rom. Hvis en av de følgende tre egenskapene stemmer, er alle tre, og E sies å være forhåndskompakt.

For enhver omliggende V av E eksisterer det et begrenset dekk av E hvis sett er små av orden V (dvs. deres kartesiske firkanter er inkludert i V ).
Ethvert filter av E er inneholdt i et Cauchy-filter .
Ethvert ultrafilter fra E er fra Cauchy.

Eiendommer

Ethvert forhåndskompakt metrisk område er avgrenset .
Ethvert forhåndskompakt metrisk område kan skilles og har til og med ( som en hvilken som helst skillbart beregning ) et tellbart grunnlag av Lindelöf .
Teorem - Et metrisk rom (eller mer generelt: et eget jevnt rom ) er kompakt hvis og bare hvis det er forhåndskompakt og komplett.

Demonstrasjon i det metriske rammeverket

Ethvert kompakt metrisk område er forhåndskompakt.
Faktisk, i et slikt rom, har enhver sekvens en konvergent, derfor Cauchy, konsekvens.
Ethvert kompakt metrisk område er komplett.
Det er tilstrekkelig å bruke at i et slikt rom, innrømmer enhver sekvens en konvergerende sekvens og at når en Cauchy-sekvens x innrømmer en konvergerende sekvens y , konvergerer x (mot grensen til y ).
Ethvert forhåndskompakt og komplett metrisk område er kompakt.
Faktisk, i et slikt rom, har en hvilken som helst sekvens en Cauchy-sekvens (ved for-kompasitet) og derfor konvergent (av fullstendighet), slik at rommet er sekventielt kompakt . Vi konkluderer med at den er kompakt av Bolzano-Weierstrass-teoremet , eller ved å bruke at plassen er Lindelöf ( jf. Tidligere eiendom) og uendelig kompakt .

I et jevnt rom er alle deler, begrensede møter, vedheft av forhåndskomprimering, forhåndskompakt; ethvert bilde av en forhåndskompakt med en jevn kontinuerlig funksjon er forhåndskompakt: disse egenskapene kommer umiddelbart fra definisjonen av precompacity av Cauchy-eiendommen.
Et metrisk (hhv. Enhetlig) rom er forhåndskompakt hvis og bare hvis det fullførte (resp. Dets separate fullførte ) er kompakt.
For la E en ensartet plass, F en fullført separat og i den kanoniske anvendelse av E i F . I følge teoremet er F kompakt hvis og bare hvis det er forhåndskompakt. Hvis F nå er forhåndskompakt, så er også E - fordi den ensartede strukturen til E er det gjensidige bildet av i × i av det til F - og omvendt, hvis E er forhåndskompakt, så er også i ( E ) - siden jeg er jevnt kontinuerlig - derfor dens vedheft F også.
Ethvert produkt av forhåndskompakte ensartede mellomrom (spesielt ethvert produkt av forhåndskompakte metriske mellomrom ) er forhåndskompakt.
Enhver vanlig tellerbar basisplass kan måles på en forhåndskompakt måte.

Merknader og referanser

Uten aksiomet av valget , sier vi at E er forhåndskompakt hvis den tilfredsstiller egenskap 2 og at den er helt avgrenset hvis den tilfredsstiller egenskap 1 som da er svakere, men karakteriseringen av kompakthet når det gjelder precompacity og fullstendighet forblir sant. (en) Eric Schechter (en) , Analysehåndbok og dens grunnlag , Academic Press,1996, 883 s. ( ISBN 978-0-08-053299-8 , leses online ) , s. 505-507
W. F. Newns , “ On precompact uniform spaces ”, Portugaliae mathematica , vol. 13, n o 1,1954, s. 33-34 ( les online )
N. Bourbaki , Elements of mathematics, book III: General topology [ detail of editions ], s. II.30.
Spesielt: ethvert kompakt rom er komplett og forhåndskompakt, uten eksplisitt å anta at rommet er utstyrt med en ensartet struktur: enhver kompakt er unikt ensartet .
Det er denne karakteriseringen som velges som en definisjon av Bourbaki , s. II.29.
(in) AV Arkhangel'skii , "Totally-bounded space" i Michiel Hazewinkel , Encyclopedia of Mathematics , Springer ,2002( ISBN 978-1556080104 , les online ).

Georges Skandalis , Topology og analyse 3 rd år , DUNOD, coll. "Sciences Sup", 2001
Claude Wagschal, Topologi og funksjonsanalyse , Hermann, koll. "Metoder", 1995

Relatert artikkel

Ascolis teorem