Telling kompakt plass

I matematikk er et utallig kompakt rom et topologisk rom der enhver overlapping av en tellbar familie av åpninger har en begrenset underdekning. Begrepet tellbar kompakthet opprettholder nære forbindelser med kvasikompaktitet og kompakthet og sekvensiell kompaktitet . For et metriserbart rom er disse fire konseptene ekvivalente.

Tre ekvivalente definisjoner

La X være et topologisk rom (ikke ment å være atskilt ). Hvis en av de følgende tre egenskapene er sanne, er alle tre sanne, og X sies å være utrolig kompakt:

enhver tellerbar overlapping av X ved åpninger har en begrenset undercoverage (eller igjen: skjæringspunktet mellom en avtagende sekvens av lukket nonempty er nonempty);
i X har hver sekvens minst én overholdelsesverdi ;
hver uendelig del har en akkumuleringspunkt .

Denne uttalelsen bruker to tilleggsdefinisjoner: et punkt x av X er:

overholdelsesverdi av en sekvens u hvis det for et hvilket som helst nabolag V av x eksisterer en uendelig mengde indekser n slik at uttrykket u n tilhører V , med andre ord hvis x tilhører skjæringspunktet mellom den avtagende sekvensen av lukket og ikke tom ${\ displaystyle {\ overline {\ left \ {u_ {k} \ mid k \ geq n \ right \}}}}$ ;
akkumulering poenget med en del Y av X hvis alle nabolag av x inneholder uendelig mange poeng Y .

Likhet med de tre definisjonene

1. ⇒ 2. er umiddelbar.
2. ⇒ 1. fordi for en avtagende sekvens ( F n ) av lukkede ikke-frie seg, hvis man velger et punkt u n i hver F n, så hører en hvilken som helst overholdelsesverdi av sekvensen u til skjæringspunktet mellom F n .
2. ⇒ 3. fordi en hvilken som helst verdi av vedheft av en injeksjonssekvens er akkumuleringspunktet for bildet .
3. ⇒ 2. av kontrasterte fordi hvis en sekvens ikke har noen verdi for overholdelse, så er verdisettet uendelig (siden hver verdi bare tas et endelig antall ganger) og ikke har akkumuleringspunkt.

Kobling med nesten kompaktitet og kompakthet

Et X- rom sies:

kvasikompakt hvis overlapping av X av åpninger har en begrenset underdekning (kompakt hvis den er kvakompakt og separat);
av Lindelöf hvis noen tildekking av X ved åpninger har en tellbar underdekning.

Så vi har trivielt , med den første av de tre ekvivalente definisjonene ovenfor:

Et rom er kvakompakt hvis og bare hvis det både er Lindelöf og uendelig kompakt.

Når det gjelder den andre av de tre definisjonene ovenfor, ligner den nærmest følgende karakterisering av kvasi-kompakthet, med en stor forskjell: vi erstatter sekvensene med generaliserte sekvenser : X er kvasi-kompakt hvis og bare hvis, i X , en hvilken som helst generalisert sekvens har minst en adhesjonsverdi.

I likhet med kompaktitet bevares tellbar kompaktitet av lukkede underområder og kontinuerlige bilder .

Fra bevaring av lukkede underområder utleder vi en tilstrekkelig tilstand (og åpenbart nødvendig hvis rommet er skilt) for konvergens av en sekvens :

I et uttalt kompakt rom, hvis (ikke-fritt) sett av adhesjonsverdier for en sekvens reduseres til en singleton { y }, så konvergerer denne sekvensen til y .

Demonstrasjon

La oss med F n betegne overholdelsen av settet med termer med indekser større enn n i denne sekvensen. Ved hypotese reduseres skjæringspunktet mellom disse lukkede til { y }, så for ethvert åpent O som inneholder y , danner det lukkede F n \ O en avtagende sekvens av tomt kryss. En av dem er derfor tom, det vil si at O inneholder en F n og a fortiori , alle vilkårene i indeksserien større enn n .

Fra bevaring av kontinuerlige bilder trekker vi frem en egenskap av kompakter (som generaliserer setningen til grenser ), ofte sitert, men ikke spesifikk for dem: ethvert talt kompakt rom X er pseudokompakt (in) , det vil si at hver kontinuerlig funksjon fra X til ℝ er avgrenset . Det omvendte gjelder for et normalt rom . Et rom er kompakt hvis og bare hvis det er pseudokompakt, og hvis det er et rom-Hewitt Nachbin (en) (eller, ekvivalent: en lukket kraft - muligens uendelig - av ℝ).
Tallrike kompakte mellomrom tilfredsstiller til og med en egenskap som er strengt sterkere enn denne pseudokompaktiteten:

Hvis X er tellbart kompakt, og hvis f : X → ℝ er overlegen halvkontinuerlig , er f avgrenset og når sin øvre grense .

I motsetning til kvasikompaktiteten ( jf. Tykhonovs teorem ), blir den tellbare kompaktheten ikke bevart av produkter , til og med ferdige (egenskapen til å være av Lindelöf heller). Også en tellbar kompakt eller Lindelöf del av et separat rom er ikke alltid lukket, mens en kompakt del er.

Kobling med sekvensiell kompakthet

Et mellomrom X sies å være sekvensielt kompakt hvis hvilken som helst sekvens i X har en konvergerende delsekvens .

Det er derfor klart, med den andre av de tre ekvivalente definisjonene ovenfor, at

Ethvert sekvensielt kompakt rom er tellbart kompakt, og det omvendte gjelder for rom med tellbare baser av nabolag .

Det omvendte er også sant under en annen hypotese:

For noen separat (eller til og med bare T 1 ) og sekvensiell plass , er den sekvensielle kompakthet tilsvarer tellbar kompakthet.

Metriserbar sak

Følgende ekvivalenser gir blant annet et naturlig alternativt bevis på Bolzano-Weierstrass-teoremet :

For ethvert målbart rom,
kompakt ⇔ kvasikompakt ⇔ teller kompakt ⇔ sekvensielt kompakt. Demonstrasjon

La X være et metrisk område (derfor separat og med tellbare baser av nabolag). Fra ovenstående vet vi allerede at for X ,

kompakt ⇔ kvasikompakt ⇒ teller kompakt ⇔ sekvensielt kompakt.

Det gjenstår derfor bare å vise at hvis X er tellbar ("og" sekvensielt) kompakt, så er det Lindelöf (derfor kvasikompakt), som er resultatet av følgende sekvens: enhver sekvensielt kompakt beregning er forkompakt av åpenbar måte, derfor separerbar , derfor fra Lindelöf .

Englerom

En del A av et topologisk rom X sies å være relativt kompakt denumerably hvis hver sekvens i A har en adhesjon verdi i X . (I et normalt rom er vedheftet til en slik del uendelig kompakt, men i et Tychonoff-rom ikke alltid, som eksempel på underrommet [0, ω 1 [ × [0, ω] til brettet Tychonoff [0, ω 1 ] × [0, ω].)

En separat plass sies engel hvis for del A forholdsvis denumerably kompakt og adhesjonen av A er kompakt og reduseres til den sekvensielle lukking av A .

Metriserbare rom er derfor et første eksempel på englerom. Følgende egenskaper viser at normaliserte vektorrom , utstyrt med den svake topologien , er en annen (se Eberlein-Šmulian-teoremet ):

i ethvert englerom er de talt kompakte, sekvensielt kompakte og kompakte delene like, og de samme for de tre relative forestillingene;
hvert underrom av en engel er engelaktig;
på et englerom er enhver finere vanlig topologi fremdeles engleformet;
rommet for kontinuerlige funksjoner av et kompakt rom i et metriserbart rom, forsynt med topologien om enkel konvergens , er engleformet.

Spesielt er kompakten til Eberlein (fr) , det vil si de kompakte delene av et svakt Banach-rom , engleformet. Mer generelt er en hvilken som helst Corson-kompakt engelsk.

Begrepet g-rom gjør det også mulig å formulere to karakteriseringer av englerom:

Et eget rom er et g- rom hvis alle dets relativt talt kompakte deler er relativt kompakte .
Et eget rom er engelaktig hvis og bare hvis det er et g- rom der alle komprimeringene er av Fréchet-Urysohn .
Englerom er nøyaktig de "arvelige" g- rommene (det vil si at ethvert underrom fortsatt er et g- rom).

Moteksempler i det generelle tilfellet

Generelt har vi bare "kvasi-kompakt ⇒ tellbar kompakt" og "sekvensielt kompakt ⇒ tellbar kompakt".

Følgende to separate mellomrom gir moteksempler på de andre fire implikasjonene mellom disse tre forestillingene:

den ordinal ω 1 forsynt med topologien av ordren er sekvensielt kompakt, men ikke kompakt;
omvendt er produktet av en utallig uendelig kopi av segment [0, 1] kompakt, men ikke sekvensielt kompakt.

Sparsomt talt kompakt plass

Det er en variant av den tredje av definisjonene av tellbar kompakthet, lavere generelt, men ekvivalent så snart X er T 1 : X er svakt tellbar kompakt (eller "kompakt ved grensepunkter" eller "Fréchet-compact") hvis noen uendelig del Y av X innrømmer et grensepunkt , det vil si et punkt x av X hvis nabolag møter Y \ { x }.

Merknader og referanser

(in) Steven A. Gaal (in) , Point Set Topology , Academic Press ,1964, 316 s. ( ISBN 978-0-08-087328-2 , leses online ) , s. 128.
(in) Angelo Bella og Peter Nyikos , " Sekvensiell kompaktitet vs. Countable Compactness ” , Colloquium Mathematicum , vol. 120, n o to2010, s. 165-189 ( les online ).
Gaal 1964 , s. 129, sier da at X eier "eiendommen til Bolzano-Weierstrass" .
Se også Gaal 1964 , s. 128-129.
(ps) Raymond Mortini, Topologi , teorem 7,2 s. 32 (Mortini bruker, i likhet med engelsktalende, ordet "kompakt" for å betegne våre kvasi-kompakter).
(en) Yao-Liang Yu , Various Notions of Compactness , University of Alberta ,2012( les online ).
Jf. N. Bourbaki , Elementer av matematikk, bok III: Generell topologi [ detalj av utgaver ], s. IX.93, eks. 24, for separate og utallige kompakte mellomrom, som han kaller "semi-kompakter"
Gustave Choquet , analysekurs, bind II: topologi , s. 34-35og Hervé Queffélec , Topology , Dunod,2007, 3 e ed. , s. 70, demonstrert bare i tilfelle av kompakte mellomrom og for en sekvens, men med fremkalling av den naturlige generaliseringen for et filter , under denne sterkere hypotesen om kvasikompaktitet.
(in) Thomas W. Rishel , " Products of countably compact spaces " , Proc. Bitter. Matte. Soc. , vol. 58,1976, s. 329-330 ( les online ).
(i) SP Franklin , " Spaces in which Suffice Sequences " , Fund. Matte. , vol. 57,1965, s. 107-115 ( les online ).
(in) " compact spaces Sequentially, II " på Dan Ma's Blog Topology .
(en) Ryszard Engelking , General Topology , Heldermann (de) ,1989.
(en) Jun-iti Nagata , Modern General Topology , Elsevier,1985, 3 e ed. , 521 s. ( ISBN 978-0-08-093379-5 , leses online ) , s. 187 (øvelse 24).
(i) Anthony Goreham , " Sequential Convergence i topologiske rom " , Topology Atlas Preprint , n o 547,2004( les online ), Rekvisitt. 3,2 s. 12, hevder (s. 3) at de ikke bruker noen separasjonshypotese, men dens bevis virker ufullstendig uten denne hypotesen. Han sier at han er inspirert av Theorem 3.10.31 fra Engelking 1989, men ifølge Bella og Nyikos 2010 , s. 2, er Engelkings "tellbare kompakte mellomrom" per definisjon separate. Den engelske versjonen av artikkelen " Sequential compactness " nevner heller ikke denne hypotesen, og gir som referanser samme teorem fra Engelking 1989 samt syntesen (i) P. Simon , "Fréchet and Sequential Spaces" , i KP Hart, J .-JEG. Nagata og JE Vaughan, Encyclopedia of General Topology , Elsevier,2003( ISBN 978-0-08053086-4 , leses online ). Sistnevnte utelater effektivt enhver hypotese om separasjon.
(en) Montserrat Bruguera , Elena Martín-Peinador og Vaja Tarieladze , “ Eberlein-Šmulian Theorem for topological Abelian groups ” , J. London Math. Soc. , vol. 70,2004, s. 341-355 ( les online ).
(in) DH Fremlin , Measure Theory , vol. 4, Torres Fremlin,2000, 945 s. ( ISBN 978-0-9538129-4-3 , leses online ) , kap. 46 (“Punktvis kompakte sett med målbare funksjoner”) , s. 21-22.
(in) AV Arhangelíski , "Eberlein Compacta ' i KP Hart J.-I. Nagata og JE Vaughan, Encyclopedia of General Topology , Elsevier,2003( ISBN 978-0-08053086-4 , leses online ).
(in) AV Arhangelíski , "Corson Compacta" i Encyclopedia of General Topology ( les online ).
(in) James Munkres , Topology , Prentice Hall ,2000, 2 nd ed. ( les online ) , s. 178-179.