Prinsippet om minst handling og generell relativitet

Vi skylder David Hilbert i 1915 den første bruken av prinsippet om minste handling for å oppnå ligningene til generell relativitet , særlig ligningene til gravitasjonsfeltet.

For generell relativitet, som for spesiell relativitet, kan ligningene oppnås uten å appellere til prinsippet om minste handling: ekvivalensprinsippet , uttrykt i formen "vi kan alltid finne en referanseramme som lokalt avbryter gravitasjonsfeltet", tillater du å finne bevegelsesligningene til en partikkel direkte; og det unike med formen til den geometriske tensoren som avbrytes av det kovariante derivatet, unikhet bevist av Élie Cartan , gjør det mulig å finne ligningene til gravitasjonsfeltet, som var den opprinnelige metoden til Einstein (selv om det aktuelle unike ikke var ennå bevist på den tiden).

Hvis ligningene av generell relativitet er gitt, kan vi utlede handlingen som tillater å anvende prinsippet. Spesielt med de geodesiske ligningene kan vi finne den tilknyttede beregningen . ${\ displaystyle ds ^ {2} \,}$

Partikkel

Partikkel i et gravitasjonsfelt

I dette arbeidet bruker vi hypotesen om at partikkelen ikke endrer omgivelsene: partikkelmassen eller dens posisjon endrer ikke gravitasjonsfeltet , denne massen må derfor være "liten".

I kraft av Einsteins ekvivalensprinsipp tilsvarer tyngdekraften lokalt valget av en akselerert referanseramme.

Som en del av spesiell relativitet, tar en akselerert ramme (koordinater ), er den lokale oppfatningen et gravitasjonsfelt, og endringen av referanse med hensyn til en treghetsreferanseramme (koordinat ) pålegger en beregning med ikke-koeffisienter . Det er tilstrekkelig å bestemme bevegelsesligningene i denne referanserammen på grunn av prinsippet om minste handling i spesiell relativitet. ${\ displaystyle \ (x '_ {0}; x' _ {1}; x '_ {2}; x' _ {3})}$ ${\ displaystyle \ (x_ {0}; x_ {1}; x_ {2}; x_ {3})}$ ${\ displaystyle \ ds ^ {2} = (x_ {0}) ^ {2} - (x_ {1}) ^ {2} - (x_ {2}) ^ {2} - (x_ {3}) ^ {2} = g ^ {ij} (x ') x' _ {i} x '_ {j}}$

Prinsippet om ekvivalens gjør det mulig å si at et reelt gravitasjonsfelt (ikke på grunn av valget av referanseramme) også bestemmes av beregningen (og beregningen bestemmes av gravitasjonsfeltet); selv om bruken av en beregning som ikke er forårsaket, og som derfor ikke kan kompenseres utover et lokalt domene for romtid, ved en endring av referanserammen, innebærer at romtid ikke er euklidisk (se tankeeksperimentet til den roterende skiven, beskrevet i generell relativitet ), og at vi da går utenfor rammene for spesiell relativitet for å bygge en ny teori: generell relativitet . ${\ displaystyle \ ds ^ {2}}$ ${\ displaystyle \ ds ^ {2} = g ^ {ij} (x) x_ {i} x_ {j} = g ^ {ij} x_ {i} x_ {j}}$

Vi kan derfor forbli i kontinuiteten til spesiell relativitet, og bekrefte at den uendelige minimale virkningen av en punktpartikkel, påvirket av tyngdekraften alene, generelt er relativitet:

${\ displaystyle dS = -mc {\ sqrt {g ^ {ij} dx_ {i} dx_ {j}}}}$

der vi antar det uten å ta noe bort fra allmenheten. ${\ displaystyle \ g ^ {ij} = g ^ {ji}}$

Ved å bruke det faktum at partikkelens naturlige tid er, viser den minimerte handlingen mellom to punkter i romtid at, som i spesiell relativitet, er det den naturlige tiden å gå fra punkt A til punkt B som maksimeres (lokalt) av prinsippet . Geodesikk er stiene som (lokalt) maksimerer partikkelens egen tid . ${\ displaystyle \ ds = {\ sqrt {g ^ {ij} dx_ {i} dx_ {j}}}}$ ${\ displaystyle \ S = -mc \ int _ {A} ^ {B} ds}$

For å beholde fysisk sammenheng, må vi anta at de er kontinuerlige; for å kunne jobbe med kjente verktøy, det vil si avledninger, men også for å anta at gravitasjonsfeltet er kontinuerlig, må man anta at de er differensierbare. Deretter vil det for Einsteins ligninger være viktig å anta at de er C 2 . ${\ displaystyle \ g ^ {ij}}$

Vurderer når som helst: ${\ displaystyle \ t_ {0}}$

${\ displaystyle {\ frac {dS} {dt_ {0}}} = L_ {0} = - mc {\ sqrt {g ^ {ij} V_ {i} V_ {j}}}}$

Man bruker alltid ligningene til Euler-Lagrange etter å ha delt på koeffisienten her ubrukelig. ${\ displaystyle \ {\ frac {d ~~} {dt_ {0}}} {\ frac {\ partial L_ {0}} {\ partial V_ {k}}} \ - \ {\ frac {\ partial L_ { 0}} {\ partial x_ {k}}} \ = \ 0 ~~}$ ${\ displaystyle \ -mc}$

Demonstrasjonsdetaljer

Vi oppnår : ${\ displaystyle \ {\ frac {d ~~} {dt_ {0}}} \ left ({\ frac {2.g ^ {ik} V_ {i}} {2. {\ sqrt {g ^ {ij} V_ {i} V_ {j}}}} \ høyre) - \ {\ frac {\ partial ^ {k} g ^ {ij} .V_ {i} V_ {j}} {2. {\ Sqrt {g ^ {ij} V_ {i} V_ {j}}}}} \ = \ 0 ~~}$

Ved nå å ta riktig tid kan vi bruke likheten som forenkler avledningen , ${\ displaystyle t_ {0} =}$ ${\ displaystyle {\ sqrt {g ^ {ij} V_ {i} V_ {j}}} = c}$ ${\ displaystyle \ {\ frac {d ~~} {dt_ {0}}}}$

uten å endre resultatet hvis vi driver fremover, og vi får

${\ displaystyle \ {\ frac {d ~~} {dt_ {0}}} \ left ({\ frac {g ^ {ik} V_ {i}} {\ sqrt {g ^ {ij} V_ {i} V_ {j}}}} \ right) = {\ frac {1} {c}}. (\ partial ^ {n} g ^ {ik} .V_ {n} V_ {i} + g ^ {ik} {\ punkt {V_ {i}}}}}$

Ved å merke seg det , som vi hovedsakelig vil bruke av estetiske grunner, og ved å endre indeksene til å bruke bare i, j og k, ${\ displaystyle \ partial ^ {n} g ^ {ik} .V_ {n} V_ {i} = {\ frac {1} {2}}. (\ partial ^ {n} g ^ {ik} .V_ { n} V_ {i} + \ partial ^ {i} g ^ {nk} .V_ {n} V_ {i})}$

Euler-Lagrange-ligningene gir: ${\ displaystyle g ^ {ik} {\ dot {V_ {i}}} + {\ frac {1} {2}}. (- \ partial ^ {k} g ^ {ij} + \ partial ^ {i} g ^ {jk} + \ partial ^ {j} g ^ {ik}) V_ {i} V_ {j} = 0}$

Med likhet og Christoffels symbol : ${\ displaystyle \ g_ {km} g ^ {ki} = \ delta _ {m} ^ {i}}$ ${\ displaystyle \ Gamma _ {m} ^ {ij} = {\ frac {1} {2}}. g_ {km} (- \ partial ^ {k} g ^ {ij} + \ partial ^ {i} g ^ {jk} + \ partial ^ {j} g ^ {ik})}$

Vi får ligningen:

${\ displaystyle {\ dot {V}} _ {m} + \ Gamma _ {m} ^ {ij} V_ {i} V_ {j} = 0}$

at vi også kan skrive:

${\ displaystyle {\ frac {d ^ {2} x_ {k}} {ds ^ {2}}} + \ Gamma _ {k} ^ {ij} {\ frac {dx_ {i}} {ds}} { \ frac {x_ {j}} {ds}} = 0}$

eller:

${\ displaystyle {\ frac {DV_ {k}} {ds}} = 0}$

med "kovariantderivatet": og hvor for riktig tid. ${\ displaystyle DV_ {k} = dV_ {k} + \ Gamma _ {k} ^ {ij} V_ {i} dV_ {j}}$ ${\ displaystyle DV ^ {k} = dV ^ {k} + \ Gamma _ {ij} ^ {k} V ^ {i} dV ^ {j}}$ ${\ displaystyle \ V_ {k} = {\ frac {dx_ {k}} {dt_ {0}}}}$ ${\ displaystyle \ t_ {0} =}$

Christoffels symbol skiller seg ut som tyngdekraftens manifestasjoner i bevegelsesligningene. ${\ displaystyle \ Gamma _ {k} ^ {ij}}$

Bevegelsesligningene avhenger ikke av partikkelmassen (såkalt fordi vi har neglisjert dens romlige utstrekning og dens innflytelse på omgivelsene): alle partiklene følger de samme banene (under identiske innledende forhold), det er ligningen av geodesics i generell relativitet, i nærvær av tyngdekraften alene.

Imidlertid er disse bevegelsesligningene ikke gyldige for en partikkel med null masse fordi i dette tilfellet har vi fra starten , som forbyr alle beregningene som er utført ovenfor; man har også fordi riktig tid ikke går for en partikkel med null masse (se Begrenset relativitet ), kan begrepet uansett ikke ha betydning. Vi må betrakte bølgen assosiert med partikkelen for å ha en ligning som har en betydning, dessuten ble lys forstått som en bølge (elektromagnetisk) i stedet for som en partikkel ( fotonet , med null masse) når generell relativitet ble skrevet. ${\ displaystyle ~ dS = 0 ~~}$ ${\ displaystyle ~ ds = c.dt_ {0} = 0 ~~}$ ${\ displaystyle {\ dot {V}} _ {m}}$

Partikkel i et elektromagnetisk felt

I likhet med spesiell relativitet, er definisjonen av den uendelige minimale relativistiske handlingen til en punktpartikkel av ladning i et elektromagnetisk felt . ${\ displaystyle \ e}$ ${\ displaystyle \ L.dt = \ -mc. {\ sqrt {g ^ {ij} dx_ {i} .dx_ {j}}} - eA ^ {j} .dx_ {j}}$

Ved helt like beregninger utledes vi bevegelsesligningene:

${\ displaystyle m. ({\ dot {V}} ^ {k} + \ Gamma _ {ij} ^ {k} V ^ {i} V ^ {j}) = e.V_ {j} .F ^ { KJ}}$

at vi kan skrive:

${\ displaystyle mc. \ left ({\ frac {d ^ {2} x ^ {k}} {ds ^ {2}}} + \ Gamma _ {ij} ^ {k} {\ frac {dx ^ {i }} {ds}} {\ frac {dx ^ {j}} {ds}} \ right) = eF ^ {kj} {\ frac {dx_ {j}} {ds}}}$

eller:

${\ displaystyle mc. {\ frac {DV ^ {k}} {ds}} = eF ^ {kj} V_ {j}}$

Felt av gravitasjon

For å bestemme dens lagrangiske tetthet, da ligningene, er det nødvendig å utvikle litt av hensynene som er diskutert ovenfor, og til og med noen nye.

Lagrangian tetthet i buet rom

På grunn av uforanderligheten i feltets bane med hensyn til referanserammene som det blir observert fra, må handlingen som kjennetegner det være invariant ved å endre referanseramme. ${\ displaystyle S_ {g} = \ int Ld \ Omega}$

Detaljer som rettferdiggjør den lagrangiske tettheten

La handlingen være i to forskjellige referanserammer. ${\ displaystyle S_ {g} = \ int Ld \ Omega = \ int L'd \ Omega '}$

Vi har: og ${\ displaystyle \ d \ Omega = dx_ {0} .dx_ {1} .dx_ {2} .dx_ {3}}$ ${\ displaystyle \ d \ Omega '= dx' _ {0} .dx '_ {1} .dx' _ {2} .dx '_ {3} = J.dx_ {0} .dx_ {1} .dx_ {2} .dx_ {3}}$

hvor er Jacobian av endring av variabler. ${\ displaystyle \ J}$

Vi har : ${\ displaystyle J = \ left | \ det \ left ({\ frac {\ partial x '_ {i}} {\ partial x_ {j}}} \ right) \ right | ~}$

Eller :, ved å ta determinantene . ${\ displaystyle ds ^ {2} = g ^ {ij} dx_ {i} dx_ {j} = g '^ {kl} dx' _ {k} dx '_ {l} \ to \ g ^ {kl} = {\ frac {\ partial x '_ {i}} {\ partial x_ {k}}}. {\ frac {\ partial x' _ {j}} {\ partial x_ {l}}} g '^ {ij } \ to g = J ^ {2} .g '}$

Derfor : ${\ displaystyle J = {\ frac {| g | ^ {\ frac {1} {2}}} {| g '| ^ {\ frac {1} {2}}}}}$

Dermed er feltkonstanten med hensyn til endringene av referanserammer. ${\ displaystyle S_ {g} = \ int Ld \ Omega = \ int L'd \ Omega '= \ int L'.Jd \ Omega \ to L = L'.J \ to L. | g | ^ {- { \ frac {1} {2}}} = L '. | g' | ^ {- {\ frac {1} {2}}} = \ Lambda}$

Målet er derfor å finne skalarene i feltet, uforanderlige med hensyn til endringene av referanserammer.

Ved å merke seg skalaren til feltet, uforanderlig sammenlignet med endringene av referanserammer, vil den lagrangiske tettheten være: $\ \ Lambda$ ${\ displaystyle \ L = \ Lambda. | g | ^ {\ frac {1} {2}}}$

Definisjoner av Riemann og Ricci tensorer , og krumning

På samme måte som Élie Cartan

I matematiske termer, den fire-dimensjonale rom som defineres av ovenstående betraktninger er en manifold C- 2 hvor de fire hastigheter er vektorer som hører til vektorrommet tangent til et punkt hvor vi har utledet, dette vektorrommet er forsynt med metrisk . ${\ displaystyle \ g ^ {ij}}$

La oss huske at koordinatene er koordinatene til fordelingspunktene, utstyrt med et vilkårlig koordinatsystem, som representerer det vilkårlige valget av den fysiske referanserammen til observatøren. ${\ displaystyle (x_ {0}; x_ {1}; x_ {2}; x_ {3})}$

Måling av tyngdekraften, som påvirker geodetikken, kan gjøres gjennom forskjellen i orientering mellom to vektorer som følge av transporten av en enkelt originalvektor med to forskjellige geodetiske baner mot samme endepunkt.

Ligningen med geodesikk tilsvarer . ${\ displaystyle {\ dot {V}} _ {m} + \ Gamma _ {m} ^ {ij} V_ {i} V_ {j} = 0}$ ${\ displaystyle {\ frac {dV_ {k}} {dt_ {0}}} = - \ Gamma _ {k} ^ {ij} V_ {i} V_ {j}}$

Fordi vi trakk ; vel vitende om at vi har slik vi ser det fra definisjonen, kan vi like godt skrive .

{\ displaystyle V_ {j} = {\ frac {dx_ {j}} {dt_ {0}}}}

{\ displaystyle dV_ {k} = - \ Gamma _ {k} ^ {ij} V_ {i} dx_ {j}}

{\ displaystyle \ Gamma _ {k} ^ {ij} = \ Gamma _ {k} ^ {ji}}

{\ displaystyle dV_ {k} = - \ Gamma _ {k} ^ {ij} dx_ {i} V_ {j}}

Tilsvarende får vi

{\ displaystyle dV ^ {k} = - \ Gamma _ {ij} ^ {k} V ^ {i} dx ^ {j}}

En vektor sies å bli transportert parallelt langs en geodesik hvis variasjonene i koordinatene bekrefter når den flyttes langs geodesikken. ${\ displaystyle \ left (A_ {i} \ right)}$ ${\ displaystyle dA_ {k} = - \ Gamma _ {k} ^ {ij} A_ {i} dx_ {j}}$ ${\ displaystyle \ (dx_ {j}) _ {j = 0; 1; 2; 3}}$

Detaljer om Elie Cartans metode

Fra hvilket som helst punkt M i manifolden, vurder to uendelige dimensjoner og langs en hvilken som helst to geodesikk, og vurder de to forskjellige banene som vekselvis bruker den ene den andre av disse geodesics. $\ d$ ${\ displaystyle \ \ delta}$

1 st bane:

{\ displaystyle M (x_ {i}) \ to M_ {1} (x_ {i} + dx_ {i}) \ to M_ {2} (x_ {i} + dx_ {i} + \ delta (x_ {i } + dx_ {i}))}

2 e sti:

{\ displaystyle M (x_ {i}) \ til M '_ {1} (x_ {i} + \ delta x_ {i}) \ til M' _ {2} (x_ {i} + \ delta x_ {i } + d (x_ {i} + \ delta x_ {i}))}

For at disse to banene skal ende på samme punkt, antar vi det , noe som er oppnåelig fordi geodesikken som brukes fra punktene og er vilkårlig.

{\ displaystyle \ d \ delta x_ {i} = \ delta dx_ {i}}

{\ displaystyle \ M_ {1}}

{\ displaystyle \ M '_ {1}}

La oss studere variantene av koordinatene til en vektor som transporteres parallelt langs hver av banene: ${\ displaystyle \ left (A_ {i} \ right)}$

1 st bane:

{\ displaystyle \ A_ {i} \ til A_ {i} + dV_ {i} \ til A_ {i} + dA_ {i} + \ delta (A_ {i} + dA_ {i}) = A_ {i} + dA_ {i} + \ delta A_ {i} + \ delta dA_ {i} = W_ {i}}

2 e sti:

{\ displaystyle \ A_ {i} \ til A_ {i} + \ delta A_ {i} \ til A_ {i} + \ delta A_ {i} + d (A_ {i} + \ delta A_ {i}) = A_ {i} + \ delta A_ {i} + dA_ {i} + d \ delta A_ {i} = W '_ {i}}

Vi har :

{\ displaystyle W_ {i} -W '_ {i} = \ delta dA_ {i} -d \ delta A_ {i} = \ delta (- \ Gamma _ {k} ^ {ij} A_ {i} dx_ { j}) - d (- \ Gamma _ {k} ^ {ij} A_ {i} \ delta x_ {j})}

Etter noen beregninger får vi:

{\ displaystyle W_ {i} -W '_ {i} = (\ partial ^ {j} \ Gamma _ {i} ^ {lk} - \ partial ^ {l} \ Gamma _ {i} ^ {jk} + \ Gamma _ {p} ^ {lk} \ Gamma _ {i} ^ {jp} - \ Gamma _ {p} ^ {jk} \ Gamma _ {i} ^ {lp}) dx_ {j} \ delta x_ { k} A_ {l}}

Vi definerer Riemann- tensoren med: ${\ displaystyle R_ {i} ^ {jkl} = \ partial ^ {j} \ Gamma _ {i} ^ {lk} - \ partial ^ {l} \ Gamma _ {i} ^ {jk} + \ Gamma _ { p} ^ {lk} \ Gamma _ {i} ^ {jp} - \ Gamma _ {p} ^ {jk} \ Gamma _ {i} ^ {lp}}$

Likhet indikerer at denne tensoren måler forskjellen mellom to vektorer som skyldes den samme opprinnelige vektoren ved parallell transport med to forskjellige baner.

{\ displaystyle W_ {i} -W '_ {i} = R_ {i} ^ {jkl} dx_ {j} \ delta x_ {k} A_ {l}}

{\ displaystyle \ left (A_ {i} \ right)}

Vi definerer Riemann- tensoren med:

${\ displaystyle R_ {i} ^ {jkl} = \ partial ^ {j} \ Gamma _ {i} ^ {lk} - \ partial ^ {l} \ Gamma _ {i} ^ {jk} + \ Gamma _ { p} ^ {lk} \ Gamma _ {i} ^ {jp} - \ Gamma _ {p} ^ {jk} \ Gamma _ {i} ^ {lp}}$

Den Ricci tensor er en sammentrekning av Riemann tensor: ${\ displaystyle R ^ {ij} = R_ {k} ^ {ikj}}$

Formelen viser at det er en symmetrisk tensor:

{\ displaystyle \ R ^ {ij} = R ^ {ji}}

Den Riemannske krumningen er antallet oppnådd ved sammentrekning av Ricci-tensoren: ${\ displaystyle \ R = g_ {ij} R ^ {ij}}$

Alle likhetene som brukes i “ detaljer om Élie Cartans metode ” er uavhengige av den valgte referanserammen, og dette er også tilfelle for definisjonene av Riemann- og Ricci-tensorene (dette er også grunnen til at vi tillater oss å kalle dem tensor ). Dette er også tilfelle for krumningen, som derfor er en kandidat til å være den uforanderlige skalar av gravitasjonsfeltet. $\ R$ $\ \ Lambda$

Élie Cartan demonstrerte at skalarer invariante ved endring av referanseramme er av formen . ${\ displaystyle \ \ alpha R + \ beta ~}$

{\ displaystyle ~ \ \ alpha}

indikerer ganske enkelt at en endring av enheten alltid er mulig, tillater å introdusere den kosmologiske konstanten .

{\ displaystyle \ \ beta}

Analytiske verktøy

En anvendelse av treghetsprinsippet i buet rom

Slik at vårt arbeid virkelig er en konsekvens av prinsippet om minste handling, består metoden som brukes her i å bestemme egenskapene til manifolden ut fra beregningen av dets tangente rom.

Tangentvektorrom (av dimensjon 4) har sitt "naturlige" grunnlag { }: hvis er det punktet hvor vi betrakter tangentrommet, stiller vi ; det vi ofte skriver . ${\ displaystyle \ \ {{\ vec {e}} ^ {~ 0}; {\ vec {e}} ^ {~ 1}; {\ vec {e}} ^ {~ 2}; {\ vec {e }} ^ {~ 3}}}$ ${\ displaystyle \ M (x_ {0}; x_ {1}; x_ {2}; x_ {3})}$ ${\ displaystyle {\ vec {e}} ^ {~ i} = \ left (~ {\ frac {\ partial x_ {j}} {\ partial x_ {i}}} ~ \ right) _ {j = 0, 1,2,3}}$ ${\ displaystyle {\ vec {e}} ^ {~ i} = {\ frac {\ partial ~} {\ partial x_ {i}}}}$

Ligningene til geodesikken er egenskaper knyttet til koordinatene eller kvadrathastigheten langs denne banen, de gir ikke en indikasjon på variasjonen (avledningen) av en kvadrivektor fra et punkt til et annet av rommet, eller til og med for avledningen av kvadri-hastighetsvektoren .

{\ displaystyle {\ frac {dx_ {i}} {dt_ {o}}}}

{\ displaystyle {\ frac {dx_ {i}} {ds}}}

{\ displaystyle {\ vec {e}} ^ {~ i}}

{\ displaystyle {\ vec {V}} = V_ {i} {\ vec {e}} ^ {~ i}}

For dette kan vi bruke et omskrevet fysisk prinsipp skreddersydd for generell relativitet:

Prinsipp for treghet : langs en geodetikk, og i fravær av ekstern intervensjon, er (kvadri-) hastighetsvektoren til en partikkel konstant.

Det er å si :

{\ displaystyle d {\ vec {V}} = {\ vec {0}}}

Vi får:

{\ displaystyle d {\ vec {V}} = {\ vec {0}} = dV_ {i}. {\ vec {e}} ^ {~ i} + V_ {i} .d {\ vec {e} } ^ {~ i} = - \ Gamma _ {i} ^ {jk} dx_ {j} V_ {k}. {\ vec {e}} ^ {~ i} + V_ {i} .d {\ vec { e}} ^ {~ i}}

Den første kvadrivektorhastigheten er vilkårlig, og man oppnår:

${\ displaystyle d {\ vec {e}} ^ {~ i} = \ Gamma _ {k} ^ {ij} dx_ {j} {\ vec {e}} ^ {~ k}}$

Ved å analysere ligningene til geodesikken eller ved å ta i betraktning det faktum at "aksene" til koordinatene ikke nødvendigvis er geodesikk, kan vi ikke bekrefte at koordinatene til kvadrathastighetsvektoren er konstante. Om valget

{\ displaystyle d {\ vec {V}} = {\ vec {0}}}

Å utlede betyr "å bestemme linjen som indikerer bevegelsesretningen". Hele problemet er å vite hva en rett linje er når koordinatsystemet er vilkårlig, selv i et buet rom; når linjene er bestemt, kan avledningen defineres.
I rammeverket som interesserer oss, når eksperimentatoren er i et Minkowski-rom og har valgt et hvilket som helst koordinatsystem, som muligens induserer tyngdekraften der, er avledningens linjer Minkowski-rommet, som også er de av treghetsbevegelse. Med mindre du definerer en ny avledning, er likhet viktig. ${\ displaystyle d {\ vec {V}} = {\ vec {0}}}$
Når eksperimentøren befinner seg i en referanseramme der det er tyngdekraft, og i fravær av informasjon om årsakene til denne gravitasjonen (på grunn av en masse eller på grunn av en akselerert referanseramme, eller begge deler) er de eneste rette linjene som han har tilgang, som fysiker, er de av treghetsbevegelse: avledningen er derfor definert av . ${\ displaystyle d {\ vec {V}} = {\ vec {0}}}$

Men dette valget er basert på antagelsen om at treghetsbevegelsen i sin referanseramme faktisk følger en rett linje. Hvis eksperimentatoren velger aksene til referanserammen som rette linjer, pålegger han derfor , er den observerte "treghetsbevegelsen" ikke rett ( ) og kan tolkes som på grunn av en kraft (gravitasjon).

{\ displaystyle d {\ vec {e}} ^ {~ i} = {\ vec {0}}}

{\ displaystyle d {\ vec {V}} \ neq {\ vec {0}}}

Disse to valgene, som andre som man kan forestille seg, er bare gyldige lokalt: Det første assimilerer tyngdekraften til en akselerert referanseramme i et Minkowski-rom, den andre antar en kraft i et rom som opprinnelig var riktig; to valg som retter ut romtid på sin egen måte, som bare kan gjøres lokalt. Kovariantderivatet

La være en kvadrivektor i rommet som er tangent til poenget . ${\ displaystyle {\ vec {A}} (x) = A_ {i} {\ vec {e}} ^ {~ i}}$ ${\ displaystyle \ M (x_ {0}; x_ {1}; x_ {2}; x_ {3})}$

Vi har : ${\ displaystyle d {\ vec {A}} (x) = (dA_ {i}) {\ vec {e}} ^ {~ i} + A_ {i} d ({\ vec {e}}} ^ { ~ i}) = (\ partial ^ {j} A_ {i} + A_ {k} \ Gamma _ {i} ^ {jk}) {\ vec {e}} ^ {~ i} dx_ {j} = D ^ {j} A_ {i}. {\ vec {e}} ^ {~ i} dx_ {j}}$

Ved å definere kovariantderivatet som:

${\ displaystyle D ^ {j} A_ {i} = \ partial ^ {j} A_ {i} + \ Gamma _ {i} ^ {jk} A_ {k}}$

Eiendom:

${\ displaystyle D ^ {j} A_ {il} = \ partial ^ {j} A_ {il} + \ Gamma _ {i} ^ {jk} A_ {kl} + \ Gamma _ {l} ^ {jk} A_ {ik}}$

${\ displaystyle D ^ {j} A_ {i} ^ {l} = \ partial ^ {j} A_ {i} ^ {l} + \ Gamma _ {i} ^ {jk} A_ {k} ^ {l} - \ Gamma _ {k} ^ {jl} A_ {i} ^ {k}}$

Og så videre med alle indeksene til en tensor, i henhold til deres posisjoner.

Hvor vi finner Riemann-tensorer, etc.

Bruke covariant derivat, og etter noen beregninger, finner vi: . ${\ displaystyle \ left (D ^ {i} D ^ {j} -D ^ {j} D ^ {i} \ right) A_ {k} = R_ {k} ^ {l, ij} dx_ {i} dx_ {j} A_ {l}}$

Vi får dermed konseptene som allerede er introdusert "på samme måte som Elie Cartan".

Likestillinger og nyttige egenskaper

Riccis teorem: og ${\ displaystyle \ D_ {k} g ^ {ij} = 0 ~ \ quad ~}$ ${\ displaystyle ~ \ quad D_ {k} g_ {ij} = 0 ~}$

Ved å stille har vi: ${\ displaystyle \ g = \ det (g ^ {ij}) \ qquad}$ ${\ displaystyle | g | = -g \ qquad g ^ {ij} .g_ {ij} = \ delta _ {i} ^ {i} = 4 \ qquad \ dg = g ~ g_ {ij} ~ dg ^ {ij }}$

Ostrogradskis teorem: når er en tensor. ${\ displaystyle \ int _ {V} {\ sqrt {-g}} ~ D_ {i} A ^ {i} ~ d \ Omega = \ anint _ {\ partial V} {\ sqrt {-g}} A ^ {i} ~ dS_ {i}}$ ${\ displaystyle \ A ^ {i}}$

Utkast til demonstrasjoner av likestilling

Summen, forskjellen og Einstein-summeringen av tensorer definert i samme tangensrom gir en tensor; på den annen side hvis det handler om tensorer definert i forskjellige tangentrom, er det ikke sikkert at det gir en tensor.

For eksempel: Christoffelsymbolet er definert fra metrisk tensor. Den geodesiske ligningen viser oss at den kan defineres ved hjelp av , selv om den er tensor, er konstruert av en forskjell mellom to tensorer (kvadrivektorene og ) definert i to forskjellige tangensrom: Christoffelsymbolet, ham, er ikke en tensor (bortsett fra spesielle tilfeller), som man kan vise det ved hjelp av definisjonsformelen.

{\ displaystyle \ Gamma _ {i} ^ {jk} .V_ {k} = \ partial ^ {j} V_ {i}}

{\ displaystyle \ \ partial ^ {j} V_ {i}}

{\ displaystyle \ V_ {l} (x_ {m})}

{\ displaystyle \ V_ {l} (x_ {m} + dx_ {m})}

En spennende likhet demonstrert til enhver tid, men ved å bruke en bestemt referanseramme, er en sann likhet på dette punktet og for alle referanserammer: dette er hovedinteressen for å bruke tensorer.

For eksempel er det til enhver tid en referanseramme i vektløshet (i fritt fall i tyngdefeltet), det vil si for hvilken . I en slik referanseramme har vi og når er en tensor: som er enklere å bruke for å rettferdiggjøre en tensoriell likhet som vil være sant uansett referanseramme.

{\ displaystyle \ Gamma _ {i} ^ {jk} = 0}

{\ displaystyle R_ {i} ^ {j, kl} = \ partial ^ {j} \ Gamma _ {i} ^ {lk} - \ partial ^ {l} \ Gamma _ {i} ^ {jk}}

{\ displaystyle D ^ {j} A_ {i} = \ partial ^ {j} A_ {i}}

{\ displaystyle \ A_ {i}}

Einsteins ligninger av gravitasjonsfeltet i det ytre tilfellet

Tensorer brukes til å sørge for at likhetene er sanne uansett hvor fysikeren observerer og uansett hvilken referanseramme han har. Tensorene transporterer bare informasjon relatert til observasjonspunktet og dets tangensrom, plutselig er informasjonen som brukes der og som produseres fra den bare lokal: den er informasjon om tensorene, bortsett fra de universelt gyldige dataene som konstant c, G og andre som finnes der.

Det første tilfellet av ligningene i feltet er tilfellet der det ikke er noe (lokalt): man snakker om den "eksterne saken", underforstått "med saken".

I dette tilfellet er den eneste komponenten i handlingen komponenten i gravitasjonsfeltet , hvor er en konstant relatert til valg av enhetene: for MKSA-enhetene tar man , tegnet skyldes prinsippet om minimering av handlingen . ${\ displaystyle \ S_ {g} = K. \ int {\ sqrt {-g}}. Rd \ Omega}$ ${\ displaystyle \ K}$ ${\ displaystyle \ K = - {\ frac {c ^ {3}} {4 \ pi G}}}$ ${\ displaystyle \ -}$

For å finne ligningene til gravitasjonsfeltet i form av energitetthetstensorer som er symmetriske, er det enklere å transformere Lagrangian under integralen av handlingen enn å bruke Euler-Lagrange-ligningene. Variasjonsprinsippet brukes ved å variere vilkårene for metrikken , som er den Lagrangiske manifestasjonen av tyngdekraften, i henhold til ekvivalensprinsippet som anvendt ovenfor. ${\ displaystyle \ g ^ {ij}}$

Bevis på Einsteins ligninger i det ytre tilfellet

Ved å bruke likeverd har vi det ${\ displaystyle \ R = g_ {ij} R ^ {ij}}$

${\ displaystyle \ delta S_ {g} = K. \ int \ delta \ left ({\ sqrt {-g}}. g_ {ij} .R ^ {ij} \ right) d \ Omega}$ ${\ displaystyle = K [\ int \ delta ({\ sqrt {-g}}) g_ {ij} R ^ {ij} d \ Omega + \ int {\ sqrt {-g}}. \ delta (g_ {ij R ^ {ij} d \ Omega + \ int {\ sqrt {-g}}. G_ {ij}. \ Delta (R ^ {ij}) d \ Omega]}$

Vi har fordi ${\ displaystyle \ delta ({\ sqrt {-g}}) = {\ frac {- \ delta g} {2 {\ sqrt {-g}}}} = - {\ frac {1} {2 {\ sqrt {-g}}}} g.g_ {ik}. \ delta g ^ {ik} = - {\ frac {1} {2}} {\ sqrt {-g}}. g ^ {ik} \ delta g_ {ik}}$ ${\ displaystyle g ^ {ik} .g_ {ik} = 4 \ til \ delta (g ^ {ik}). g_ {ik} = - g ^ {ik}. \ delta (g_ {ik})}$

For en st integrert var ${\ displaystyle \ int \ delta ({\ sqrt {-g}}) g_ {ij} R ^ {ij} d \ Omega = \ int \ delta ({\ sqrt {-g}}) Rd \ Omega = - { \ frac {1} {2}} \ int g ^ {ij} .R. {\ sqrt {-g}}. \ delta g_ {ij} d \ Omega}$

Den 2 nd tie er uendret.

For den 3 rd integrert, for å forenkle beregningene, legger vi oss i et vektløst referanseramme, og vi har derfor . (Men generelt fordi Christoffel- symbolet ikke er en tensor). ${\ displaystyle \ R ^ {ij} = \ partial ^ {l} \ Gamma _ {l} ^ {ij} - \ partial ^ {i} \ Gamma _ {l} ^ {lj}}$ ${\ displaystyle \ partial ^ {l} \ Gamma _ {l} ^ {ij} \ neq D ^ {l} \ Gamma _ {l} ^ {ij}}$

Derfor antar vi at variasjonen av etterlater referanserammen vektløs på dette punktet, som fortsatt gir en uendelig mengde mulige variasjoner for dem . ${\ displaystyle \ delta \ left (R ^ {ij} \ right) = \ delta \ partial ^ {l} \ Gamma _ {l} ^ {ij} - \ delta \ partial ^ {i} \ Gamma _ {l} ^ {lj} = \ partial ^ {l} \ delta \ Gamma _ {l} ^ {ij} - \ partial ^ {i} \ delta \ Gamma _ {l} ^ {lj}}$ ${\ displaystyle \ g ^ {ij}}$ ${\ displaystyle \ g ^ {ij}}$

I ethvert arkiv, hvor symbolet er Christoffels symbol på samme punkt som, men med modifiserte termer ${\ displaystyle \ delta \ Gamma _ {l} ^ {ij} = \ Gamma _ {l} ^ {ij} - \ left (\ Gamma _ {l} ^ {ij} \ right) '}$ ${\ displaystyle \ left (\ Gamma _ {l} ^ {ij} \ right) '}$ ${\ displaystyle \ \ Gamma _ {l} ^ {ij}}$ ${\ displaystyle \ g ^ {ij}}$

vi har hva som er forskjellen mellom to tensorer definert på samme punkt, derfor er en tensor (i motsetning til Christoffel-symbolet). ${\ displaystyle \ Gamma _ {k} ^ {ij} .V_ {j} = \ partial ^ {j} V_ {i} \ to \ delta \ Gamma _ {k} ^ {ij} .V_ {j} = \ Gamma _ {l} ^ {ij} .V_ {j} - \ left (\ Gamma _ {l} ^ {ij} \ right) '. V_ {j} = \ partial ^ {j} V_ {i} - \ venstre (\ delvis ^ {j} V_ {i} \ høyre) '}$ ${\ displaystyle \ delta \ Gamma _ {k} ^ {ij}}$

Og for denne tensoren, i referanserammen i vektløshet (og venstre som sådan, på det punktet som vurderes av variasjonen av ), derav ${\ displaystyle \ g ^ {ij}}$ ${\ displaystyle \ partial ^ {l} \ delta \ Gamma _ {k} ^ {ij} = D ^ {l} \ delta \ Gamma _ {k} ^ {ij}}$ ${\ displaystyle \ delta \ left (R ^ {ij} \ right) = \ partial ^ {l} \ delta \ Gamma _ {l} ^ {ij} - \ partial ^ {i} \ delta \ Gamma _ {l} ^ {lj} = D ^ {l} \ delta \ Gamma _ {l} ^ {ij} -D ^ {i} \ delta \ Gamma _ {l} ^ {lj}}$

${\ displaystyle {\ sqrt {-g}}. g_ {ij}. \ delta R ^ {ij} = {\ sqrt {-g}}. [g_ {ij} .D ^ {l} \ delta \ Gamma _ {l} ^ {ij} -g_ {ij} .D ^ {i} \ delta \ Gamma _ {l} ^ {lj}] = {\ sqrt {-g}}. [D ^ {l} \ left ( g_ {ij}. \ delta \ Gamma _ {l} ^ {ij} \ høyre) -D ^ {i} \ venstre (g_ {ij}. \ delta \ Gamma _ {l} ^ {lj} \ høyre)] }$

fordi og også ${\ displaystyle ~ \ quad D_ {k} g_ {ij} = 0 ~}$ ${\ displaystyle ~ \ quad D ^ {k} g_ {ij} = 0 ~}$

hvorfra . ${\ displaystyle ~ \ quad {\ sqrt {-g}}. g_ {ij}. \ delta R ^ {ij} = {\ sqrt {-g}}. D ^ {l} \ left (g_ {ij}. \ delta \ Gamma _ {l} ^ {ij} -g_ {lj}. \ delta \ Gamma _ {i} ^ {ij} \ right) = {\ sqrt {-g}}. D ^ {l} A_ { l}}$

Derfor bruker Ostrogradskis teorem, ${\ displaystyle \ int {\ sqrt {-g}}. g_ {ij}. \ delta R ^ {ij} d \ Omega = \ int {\ sqrt {-g}}. D ^ {l} A_ {l} d \ Omega = \ int {\ sqrt {-g}}. A_ {l} .dS ^ {l} = 0}$

Nullheten til den siste integralen skyldes at den blir beregnet på overflaten som avgrenser integrasjonsvolumet, og at variasjonene av er null på grensen til integrasjon. ${\ displaystyle \ g ^ {ij}}$

Vi oppnår : ${\ displaystyle \ delta S_ {g} = K. \ int \ left (R ^ {ij} - {\ frac {1} {2}} g ^ {ij} R \ right) {\ sqrt {-g}} . \ delta g_ {ij} d \ Omega}$

Prinsippet om minst handling som sier at og variasjonene er noen, får man , det man skriver (og demonstrerer) ofte ved å senke indeksene. ${\ displaystyle \ \ delta S_ {g} = 0}$ ${\ displaystyle \ \ delta g_ {ij}}$ ${\ displaystyle \ R ^ {ij} - {\ frac {1} {2}} g ^ {ij} R = 0}$

Ligningene utledet er:

${\ displaystyle \ R_ {ij} - {\ frac {1} {2}} g_ {ij} R = 0}$

Ved å lage "sammentrekningen" får vi , som ikke betyr at rommet er flatt, men snarere at det handler om en minimal overflate med fire dimensjoner, strukket mellom de forskjellige massene som utvikler seg der. ${\ displaystyle \ g ^ {ij} R_ {ij} - {\ frac {1} {2}} g ^ {ij} .g_ {ij} R = 0}$ ${\ displaystyle \ R = 0}$

Einsteins ligninger i det ytre tilfellet er derfor:

${\ displaystyle \ R_ {ij} = 0}$

Einsteins ligninger av gravitasjonsfeltet i det indre tilfellet

Det andre tilfellet med feltligningene er tilfelle der det er materie (lokalt): vi snakker om den "interne saken", det vil si "i saken".

I dette tilfellet består handlingen av gravitasjonsfeltets virkning og materiens handling, inkludert det elektromagnetiske feltet, som er skrevet . ${\ displaystyle \ S_ {g} = K. \ int {\ sqrt {-g}}. Rd \ Omega}$ ${\ displaystyle \ S_ {m} = {\ frac {1} {c}} \ int {\ sqrt {-g}}. \ Lambda _ {m} d \ Omega}$

Bevis på Einsteins ligninger i det indre tilfellet

Ved å bruke den samme variasjonsmetoden, vel vitende om , ved hjelp av integrering av deler, og Ostrogradskis teorem som gjør det mulig å skrive i en referanseramme i tyngdekraften ${\ displaystyle \ \ delta \ partial = \ partial \ delta}$ ${\ displaystyle \ int \ partial _ {l} [{\ frac {\ partial \ left ({\ sqrt {-g}} \ Lambda _ {m} \ right)} {\ partial \ left (\ partial _ {l } g_ {ik} \ høyre)}}] d \ Omega = \ int \ partial _ {l} [{\ sqrt {-g}} {\ frac {\ partial \ left (\ Lambda _ {m} \ right) } {\ partial \ left (\ partial _ {l} g_ {ik} \ right)}}] d \ Omega = \ int {\ sqrt {-g}} {\ frac {\ partial \ left (\ Lambda _ { m} \ høyre)} {\ partial \ left (\ partial _ {l} g_ {ik} \ høyre)}} dS_ {l} = 0}$

Ved å definere impuls-energi tensor ved likeverd ${\ displaystyle \ T ^ {ij}}$ ${\ displaystyle {\ frac {1} {2}} T ^ {ij} {\ sqrt {-g}} = {\ frac {\ partial \ left ({\ sqrt {-g}} \ Lambda _ {m} \ høyre)} {\ partial g_ {ik}}} - \ partial _ {l} [{\ frac {\ partial \ left ({\ sqrt {-g}} \ Lambda _ {m} \ right)} {\ delvis \ venstre (\ delvis _ {l} g_ {ik} \ høyre)}}}}$

Vi oppnår : ${\ displaystyle \ delta S_ {m} = {\ frac {1} {c}} \ int {\ frac {1} {2}} T ^ {ij} {\ sqrt {-g}} \ delta g_ {ij } d \ Omega}$

Derfor, ved å stille , og vi konkluderer på samme måte som i det ytre tilfellet . ${\ displaystyle \ chi = - {\ frac {1} {2c.K}}}$

Ligningene utledet er:

${\ displaystyle \ R_ {ij} - {\ frac {1} {2}} g_ {ij} R = \ chi T_ {ij}}$

Med sammentrekning som den eksterne saken , vet vi at og ved å stille , har vi . Den største krumning er derfor proporsjonal med den totale energitetthet (eller spor av tensor ). ${\ displaystyle \ g_ {ij} g ^ {ij} = 4}$ ${\ displaystyle \ T = g ^ {ij} T_ {ij}}$ ${\ displaystyle \ R = - \ chi T}$ ${\ displaystyle \ T = g ^ {ij} T_ {ij}}$ ${\ displaystyle \ T_ {ij}}$

Vi kan derfor også skrive:

${\ displaystyle \ R_ {ij} = \ chi \ left (T_ {ij} - {\ frac {1} {2}} g_ {ij} T \ right)}$

Merknader

Jean-Claude Boudenot dateres til 1916, side 162 i boka Électromagnétisme et gravitation relativistes , ellipse (1989), ( ISBN 2-7298-8936-1 ) ; i Lev Landau og Evgueni Lifchits , Theoretical Physics , t. 2: Feltteori [ detalj av utgaver ], Fotnote §93 i begynnelsen av avsnittet, sies det at denne metoden ble foreslått av Hilbert allerede i 1915, som bekrefter Jean-Paul Auffray s. 247 (avsnitt Hilbert fiske ) fra boken Einstein et Poincaré , Le Pommier utgave , 1999, ( ISBN 2 746 50015 9 ) .
Elie Cartan, Journal of Pure and Applied Mathematics, 1, 1922, s. 141-203 .

Kilder

Jean-Claude Boudenot; Relativistisk elektromagnetisme og gravitasjon , ellipse (1989), ( ISBN 2-7298-8936-1 )
Jean-Louis Basdevant; Variasjons- og dynamikkprinsipper , Vuibert (2005), ( ISBN 2711771725 ) .
Edgard Elbaz; Generell relativitet og gravitasjon , ellips (1986).

Bibliografi

Lev Landau og Evgueni Lifchits , Theoretical Physics , t. 2: Feltteori [ detalj av utgaver ]
Richard P. Feynman , Robert B. Leighton (in) og Matthew Sands (in) , The The Feynman Lectures on Physics [ publiseringsdetaljer ], Elektromagnetisme (I) , kap. 19, InterEditions, 1979 ( ISBN 2-7296-0028-0 ) ; siv. Dunod, 2000 ( ISBN 2-10-004861-9 )
Florence Martin-Robine, Historien om prinsippet om mindre handling , Vuibert, 2006 ( ISBN 2711771512 )

Relaterte artikler