Direkte produkt

De fleste algebraiske strukturer tillater en veldig enkel konstruksjon av en struktur produsert på det kartesiske produktet av de underliggende settene. Mer generelt kan vi kalle et direkte produkt et produkt som pendler med den glemme funksjonen . Dette er tilfelle for topologien produsert i kategorien topologiske rom .

Direkte produkt av to magmaer

La E være et sett utstyrt med en intern komposisjonslov T og F et sett utstyrt med en intern komposisjonslov . Vi kan definere en intern komposisjonslov for det kartesiske produktet E × F som følger: $\stjerne$ $*$

(x, y) * (x ', y') = (x \ T \ x ', y \ star y').

Eiendommer

Hvis T og er assosiative, så er loven assosiativ. $\stjerne$ $*$
Hvis T og er kommutativ, så er loven kommutativ. $\stjerne$ $*$
Hvis T innrømmer et nøytralt element e og hvis innrømmer et nøytralt element f , er det nøytralt for . ⋆{\ displaystyle \ star} $\stjerne$ (e,f){\ displaystyle (e, f)} $(e, f)$ ∗{\ displaystyle *} $*$
- Hvis x dessuten tillater en symmetrisk x ' for T, og hvis y innrømmer en symmetrisk y' for , da (
x , y ) innrømmer ( x ' , y' ) som symmetrisk.⋆{\ displaystyle \ star} $\stjerne$

Direkte produkt av magmas

La ( E i ) i ∈ jeg være en familie av settene , hver E jeg være utstyrt med en indre sammensetning lov . Vi kan definere en intern komposisjonslov for det kartesiske produktet ∏ i ∈ I E i som følger: $\ star _ {i}$ $*$

(x_ {i}) _ {{i \ in I}} * (x '_ {i}) _ {{i \ in I}} = (x_ {i} \ star _ {i} x' _ {i }) _ {{i \ i I}}

Denne konstruksjonen er gyldig enten jeg er et endelig eller uendelig sett .

Eiendommer

Hvis hver lov er assosiativ, er loven assosiativ. $\ star _ {i}$ $*$
Hvis hver lov er kommutativ, er loven kommutativ. $\ star _ {i}$ $*$
Hvis hver lov har et nøytralt element e i (henholdsvis nøytral til høyre, henholdsvis nøytral til venstre), er familien ( e i ) i ∈ I nøytral (henholdsvis nøytral til høyre, henholdsvis nøytral til venstre) for . $\ star _ {i}$ $*$
Hvis hver lov har et nøytralt element, og hvis på hver E i , hvilket som helst element x jeg har et symmetrisk (henholdsvis høyre symmetrisk, henholdsvis venstre symmetrisk) y i , så familien ( x i ) i ∈ I innrømmer familien ( y I ) i ∈ I som symmetrisk (henholdsvis høyre symmetrisk, henholdsvis venstre symmetrisk). $\ star _ {i}$

Spesielt er det direkte produktet av en familie av grupper en gruppe.

Direkte produkt av ringer

La ( E i ) i ∈ Jeg er en familie av sett, hver E i er utstyrt med to lover og . Som tidligere kan vi definere en lov , direkte produkt av og en lov , direkte produkt av lover . $+ _i$ $* _Jeg$ $+$ $+ _i$ $*$ $* _Jeg$

Hvis hver lov er distribuerende med hensyn til loven , så er loven distribuerende med hensyn til loven . $* _Jeg$ $+ _i$ $*$ $+$

Særlig hvis hver E jeg er forsynt med en ringstruktur, et direkte produkt ring er således konstruert.

Direkte produkt av vektorrom

Er en familie ( E i ) i ∈ I av vektorrom på samme legeme K . Følgende lover gjør det kartesiske produktet ∏ i ∈ I E i et K- vektorrom, kalt produkt av familien ( E i ) i ∈ I :

(u_ {i}) _ {{i \ i I}} + (v_ {i}) _ {{i \ i I}} = (u_ {i} + v_ {i}) _ {{i \ i I }}, \ quad \ lambda (u_ {i}) _ {{i \ in I}} = (\ lambda u_ {i}) _ {{i \ in I}}.

Den nullvektor er den familie (0) i ∈ jeg dannet av null vektorer av mellomrommene E i .

Når alt E jeg er lik den samme K vektorrommet E (for eksempel K , sett på som K - Photo høyre ) Π i ∈ I e I er den vektorrommet E I av applikasjonene I- i E .

Merknader og referanser

N. Bourbaki , Algebra , kap. II, avsnitt 5 for uendelige produkter og s. A-II-10 for direkte modulprodukter .
Roger Godement , Cours d'Algebre , 1966, eksempel 4, s. 166-167.

Relatert artikkel

Direkte sum