Cassini-projeksjon
Den Cassini fremspring (noen ganger også kjent som Cassini-Soldner eller loddefremspring ) er en kartprojeksjon beskrevet av César-François Cassini de Thury i 1745. Det er på tvers av equirectangular fremspring , i den forstand, hvor det er mulig å se det som anvendelsen av den likeveisvinklede projeksjonen etter å ha rotert kloden slik at den sentrale meridianen blir ekvator.
Med tanke på at jorden er en kule, består projeksjonen av følgende operasjoner:
x=bueskinn(cosφsyndλ)y=arctan(solbrunφcosλ){\ displaystyle x = \ arcsin (\ cos \ varphi \ sin \ lambda) \ qquad y = \ arctan \ left ({\ frac {\ tan \ varphi} {\ cos \ lambda}} \ høyre)}hvor λ er lengdegraden i forhold til den sentrale meridianen og φ er breddegraden. Når disse ligningene er programmert, den arkus tangens -funksjonen er i virkeligheten den funksjon atan2 , med det første argumentet sin ( φ ) og den andre argumentet cos φ cos λ .
For å reversere denne projeksjonen utføres følgende operasjoner:
ϕ=bueskinn(synd(y+ϕ0)cos(x))λ=arctan2(solbrun(x),cos(y+ϕ0)){\ displaystyle \ phi = \ arcsin (\ sin (y + \ phi _ {0}) \ cos (x)) \ qquad \ lambda = \ arctan 2 (\ tan (x), \ cos (y + \ phi _ {0}))}I praksis har ellipsoide modeller alltid blitt brukt med denne projeksjonen, noe som i høy grad kompliserer den matematiske utviklingen, men som er nyttig for kartlegging. Likevel er bruken av Cassini-projeksjonen fullstendig erstattet av Mercator-projeksjonen i det minste i de viktigste byråene som utfører kartografi.
Forvrengninger
Sonene plassert langs den sentrale meridianen, og i vinkelrett retning, ser avstandene bevart. Overalt ellers er forvrengningen stor i retning nord-sør, og varierer med kvadratet av avstanden fra den sentrale meridianen. Jo mer sonen strekker seg i lengderetningen, jo mer blir forvrengningen observert.
Dermed fungerer Cassini-projeksjonen bedre med smale områder, og mindre med brede områder.
Elliptisk form
Cassini-projeksjonen er generelt kjent i sin sfæriske form, men kan også generaliseres til en ellipsoid modell.
Operasjonene som fører til transformasjonen i denne projeksjonen er som følger:
IKKE=(1-e2synd2(ϕ))-1/2{\ displaystyle N = (1-e ^ {2} \ sin ^ {2} (\ phi)) ^ {- 1/2}}
T=solbrun2(ϕ){\ displaystyle T = \ tan ^ {2} (\ phi)}
PÅ=λcos(ϕ){\ displaystyle A = \ lambda \ cos (\ phi)}
VS=e21-e2vs.os2(ϕ){\ displaystyle C = {\ frac {e ^ {2}} {1-e ^ {2}}} cos ^ {2} (\ phi)}
x=IKKE(PÅ-TPÅ36-(8-T+8VS)TPÅ5120){\ displaystyle x = N (A-T {\ frac {A ^ {3}} {6}} - (8-T + 8C) T {\ frac {A ^ {5}} {120}})}
y=M(ϕ)-M(ϕ0)+IKKEsolbrun(ϕ)(PÅ22+(5-T+6VS)PÅ424){\ displaystyle y = M (\ phi) -M (\ phi _ {0}) + N \ tan (\ phi) ({\ frac {A ^ {2}} {2}} + (5-T + 6C ) {\ frac {A ^ {4}} {24}})}
hvor M () representerer den sørlige avstanden .
Omvendt projeksjon kan oppnås ved å følge disse operasjonene:
ϕ′=M-1(M(ϕ0)+y){\ displaystyle \ phi '= M ^ {- 1} (M (\ phi _ {0}) + y)}Hvis da ogϕ′=π2{\ displaystyle \ phi '= {\ frac {\ pi} {2}}}ϕ=ϕ′{\ displaystyle \ phi = \ phi '}λ=0{\ displaystyle \ lambda = 0}
ellers beregne T og N som tidligere ved bruk av da
ϕ′{\ displaystyle \ phi '}
R=(1-e2)(1-e2sJegikke2ϕ′)-3/2{\ displaystyle R = (1-e ^ {2}) (1-e ^ {2} sin ^ {2} \ phi ') ^ {- 3/2}}
D=x/IKKE{\ displaystyle D = x / N}
ϕ=ϕ′-solbrunϕ′IKKER(D22-(1+3T)D424){\ displaystyle \ phi = \ phi '- \ tan \ phi' {\ frac {N} {R}} ({\ frac {D ^ {2}} {2}} - (1 + 3T) {\ frac { D ^ {4}} {24}})}
λ=(D-TD33+(1+3T)TD515)cosϕ′{\ displaystyle \ lambda = {\ frac {(DT {\ frac {D ^ {3}} {3}} + (1 + 3T) T {\ frac {D ^ {5}} {15}})} { \ cos \ phi '}}}
Merknader og referanser
-
(in) " Cassini-Soldner - Help " , Environmental Systems Research Institute, Inc. (åpnet 9. juni 2016 )
-
(in) John P. Snyder, Flattinging the Earth: Two Thousand Years of Map Projections ,1993, 365 s. ( ISBN 0-226-76747-7 , leses online ) , s. 74–76.
Eksterne linker
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">