Mercator-projeksjon

Den Mercator projeksjon eller Mercator projeksjon er en kartografisk projeksjon av jorden, kjent som "sylindrisk", tangent til ekvator av jordkloden på en flat kart formalisert av den flamske geograf Gerardus Mercator , i 1,569.

Det har etablert seg som benchmark Planisphere i verden takket være sin presisjon for sjøreiser . Det er ikke, strikt sensu, en sentral projeksjon : Breddepunktet $φ$ sendes ikke, som man kunne forvente, på et punkt av ordinat proporsjonalt med $tan ( φ ),$ men på et punkt av ordinat proporsjonalt med $ln [tan (φ / 2 + π / 4)]$ .

Mercator-projeksjonen er en konform projeksjon , det vil si at den bevarer vinklene . Imidlertid har det effekten av forvrengninger på avstander og områder . Faktisk øker en forvrengning med avstanden fra ekvator mot polene . Et Mercator-kart kan derfor ikke dekke stolpene: de ville være uendelig store. For eksempel resulterer dette i visjonen om en likeverdig overflate mellom Grønland og Afrika når sistnevnte er 14 ganger større.

Motivasjon og konstruksjoner

Prinsippet om representasjon på et ortogonalt lerret ble skissert av Dicearque , Strabo og brukt av Marinos of Tire . Han var også kjent for kinesisk til X th århundre.

Navigatørene i XVI E århundre ønsket at de skulle kjenne ruten for å følge med konstant kurs for å komme fra et punkt på kloden til et annet. Dette navigasjonssystemet tar ikke den korteste veien (dvs. den store sirkelen ), men lar deg navigere med et kompass. Et kompromiss mellom den store sirkelen (korteste sti) og romelinjen (sti med konstant kurs) er en bane som gjør det mulig å koble flere punkter i en stor sirkel med en romelinje. For å gjøre dette var et kart som gjorde det mulig å bevare vinklene og dermed gjøre det mulig å enkelt tegne romelinjer ønskelig. Det var riktignok siden antikkens fremskrivninger av den jordiske sfæren som bevarte vinklene: stereografiske projeksjoner , men de forvandlet ikke meridianene til parallelle linjer og gjorde det vanskelig å konstruere en romelinje. Navigatører ønsket derfor en kartografisk representasjon av den jordiske sfæren der meridianene ville bli representert av like store parallelle linjer og parallellene med linjer som er vinkelrett på meridianene (dvs. en direkte sylindrisk projeksjon). De ønsket også at denne projeksjonen skulle være konform , det vil si at den bevarer vinklene.

Mercator satte i gang oppgaven og ga i 1569 et kart som nesten tilfredsstilte de to kravene til navigatører. Vi kjenner ikke hans resonnement nøyaktig, men vi kan rekonstruere det. Han bruker ikke en sylinder som tangenserer til sfæren og prøver ikke å lage en sentral projeksjon, men bygger et rutenettkart der alle meridianene er parallelle og like store, og alle parallellene er vinkelrette på meridianene. På breddegrad $φ$ er det en deformasjon av parallellen - ja, på jorden er lengden på parallellen til breddegrad smaller mindre med en faktor $cos ( φ )$ enn ekvatorens mens på parallellkartet har alle paralleller samme lengde. Denne deformasjonen på abscissen på $1 / cos ( φ )$ må gjengis på ordinaten, hvis bevaring av vinkler er ønsket. Dette fører til likeverd ${\ displaystyle \ mathrm {d} y = {\ frac {1} {\ cos (\ varphi)}} \ mathrm {d} \ varphi}$

Denne differensiallikningen har løsning når vinklene uttrykkes i radianer: ${\ displaystyle y = \ ln \ left (\ tan \ left ({\ frac {\ varphi} {2}} + {\ frac {\ pi} {4}} \ right) \ right).}$

Imidlertid er kalkulus ennå ikke født på XVI - tallet, og den naturlige logaritmefunksjonen er ennå ikke undersøkt. Det er derfor av diskret summasjon som Mercator etablerer stedet for de forskjellige paralleller med et trinn på 5 °: Hvis den parallelle bredde $φ jeg$ er plassert på kartet i en avstand $y i$ fra ekvator, parallell av $φ i + 5$ er plassert på kartet i en avstand $y i + 5 / cos ( φ i )$ .

Kartet hans, som ble utgitt i 1569, til tross for dets upresisjon, fikk viss suksess. Hans modell ble deretter forbedret av Edward Wright i 1599 i hans Visse feil i navigasjonen ved å ta et finere skritt enn 1 '.

Det var først etter oppfinnelsen av logaritmer at sammenhengen ble laget mellom Wrights beregning og tabellene over logaritmer (Henry Bond ca. 1645), og at den nøyaktige formelen ble etablert. Dette ble matematisk demonstrert av James Gregory i 1668 og Edmund Halley i 1696.

Eiendommer

Interesse for navigasjon

De fleste sjøkart bruker Mercator-projeksjonen. Denne konforme projeksjonen bevarer vinklene (som gjør det mulig å overføre vinklene målt med kompasset direkte til kartet, og omvendt), men ikke avstandene (skalaen på kartet varierer med breddegrad) eller overflatene (i motsetning til tilsvarende projeksjoner) . Enhver rett linje på et Mercator-kart er en linje med konstant azimut , det vil si en romelinje . Dette gjør det spesielt nyttig for seilere , selv om den definerte stien generelt ikke er over en stor sirkel og derfor ikke er den korteste stien. Når dette er nødvendig på grunn av reisens lengde (for eksempel San Francisco - Yokohama), kan kjeveortomi vises på Mercator-kartet. Vi trekker ut kurset å følge.

Deformasjoner

Hovedfeilen til de tradisjonelle kartene inspirert av Mercators arbeid beregnet for navigering, er at de gir en feilaktig ide om områdene okkupert av de forskjellige regionene i verden, og derfor av forholdet mellom folk. Så:

Den Sør-Amerika virker mindre enn Grønland ; faktisk er den åtte ganger større: 17,84 millioner kvadratkilometer sammenlignet med 2,16 millioner.
Den India (3,3 millioner kvadratkilometer) vises i samme størrelse i Skandinavia (878,258 kvadratkilometer).
The Europe (9,7 millioner kvadratkilometer) vises større enn Sør-Amerika , men nesten dobbelt så stor (17,8 millioner kvadratkilometer).
Den Russland (17 millioner km) virker mye større enn Afrika (30 millioner km), mens sistnevnte er større enn India, Kina, USA, Europa og Japan gjenforent.
The Alaska vises så stor som Brasil som likevel 5 ganger større.
Den Antarktis vises som det største kontinentet, mens det er egentlig bare den femte etter område.
The Africa vises tilsvarende i størrelse til Grønland når hun er 14 til 15 ganger større.

For å overvinne disse deformasjonene, foreslo Arno Peters en sylindrisk projeksjon (som Mercator) som bevarer de relative områdene: Peters projeksjon . På den annen side er den ikke lenger i samsvar , det vil si at den ikke bevarer vinklene og derfor formen til kontinentene.

Matematiske formler

Mercator-projeksjonen er en kartografisk projeksjon av direkte sylindrisk type, dvs. x- og y- koordinatene til et punkt på et Mercator-kart bestemmes ut fra breddegrad its og lengdegrad λ (med λ 0 i midten av kartet) ved ligninger av skjemaet.

{\ displaystyle {\ begin {matrix} x & = & n (\ lambda - \ lambda _ {0}) \\ y & = & f (\ varphi) \ end {matrix}}}

Sfærisk modellering

Hvis jorden er modellert av en kule, er ligningene:

{\ displaystyle {\ begin {matrix} x & = & n (\ lambda - \ lambda _ {0}) \\ y & = & n \ ln \ left [\ tan \ left ({\ frac {\ pi} { 4}} + {\ frac {\ varphi} {2}} \ right) \ right] \ end {matrix}}}

der lengdegrad og breddegrad uttrykkes i radianer. Når disse uttrykkes i grader, er det nødvendig med en konvertering ved multiplikasjon med $π / 180$ .

Demonstrasjon

Siden vi bruker en sylindrisk projeksjon, er x en affin funksjon av λ, og y avhenger bare av φ. Siden transformasjonen er konform, må et uendelig minimalt rektangel på jorden ligne på bildet på kartet. Som gir

{\ displaystyle \ forall \ varphi, \ lambda \: {\ frac {\ partial y} {\ partial x}} = {\ frac {R \ partial \ varphi} {Rcos (\ varphi) \ partial \ lambda}}}

Og siden vi velger

{\ displaystyle {\ frac {\ partial x} {\ partial \ lambda}} = n}

Vi finner

{\ displaystyle {\ frac {\ partial y} {\ partial \ varphi}} = {\ frac {n} {\ cos (\ varphi)}} = {\ frac {n} {\ sin ({\ frac {\ pi} {2}} + \ varphi)}} = n {\ frac {1} {2 \ sin ({\ frac {\ pi} {4}} + {\ frac {\ varphi} {2}}) \ cos ({\ frac {\ pi} {4}} + {\ frac {\ varphi} {2}})}} = n {\ frac {{\ frac {1} {2}} {\ frac {1} {\ cos ({\ frac {\ pi} {4}} + {\ frac {\ varphi} {2}}) ^ {2}}}} {\ tan ({\ frac {\ pi} {4}} + {\ frac {\ varphi} {2}})}} = n {\ frac {\ frac {\ partial (\ tan ({\ frac {\ pi} {4}} + {\ frac {\ varphi} { 2}})} {\ partial \ varphi}} {\ tan ({\ frac {\ pi} {4}} + {\ frac {\ varphi} {2}})}}

deretter ved å integrere ${\ displaystyle y = n \ ln \ left (\ tan \ left ({\ frac {\ pi} {4}} + {\ frac {\ varphi} {2}} \ right) \ right)}$

Funksjonen , kjent som Mercator- funksjonen eller funksjonen til økende breddegrader , er den omvendte av Gudermann-funksjonen . ${\ displaystyle f: \ varphi \ mapsto \ ln \ left [\ tan \ left ({\ frac {\ pi} {4}} + {\ frac {\ varphi} {2}} \ right) \ right]}$

Modellering av en ellipsoid

Hvis vi tar hensyn til det faktum at jorden er ganske ellipsoid i form med eksentrisitet $e$ , må det gjøres en korreksjon, og ligningene er da:

{\ displaystyle {\ begin {matrix} x & = & n (\ lambda - \ lambda _ {0}) \\ y & = & n \ ln \ left [\ tan \ left ({\ frac {\ pi} { 4}} + {\ frac {\ varphi} {2}} \ right) \ right] + n {\ frac {e} {2}} \ ln {\ frac {1-e \ sin \ varphi} {1 + e \ sin \ varphi}} \ end {matrix}}}

Praktiske implementeringer

På den terrestriske planisfæren 0101H er kartet i en skala fra 1: 40.000.000 og er sentrert på 65 ° vest. Skalaen spesifiserer derfor, tatt som jordens omkrets 40 000 km , at 100 cm representerer 2 π radianer, verdien av n er derfor 50 / π , eller omtrent 15,9. Verdien av λ 0 er 65 °. Parallellen til breddegrad 45 ° vil derfor være lokalisert til 15,9 × ln (tan (67,5 °)) cm eller omtrent 139 mm fra ekvator. En liten forskjell eksisterer fordi det ville være nødvendig å ta hensyn til korreksjonen av den elliptiske modellen.

Tenk på kartet som illustrerer denne artikkelen (med, i piksler, en høyde h = 724 og en bredde w = 679). Kartet er sentrert på bredde- og lengdegrad 0. Pikselet (0,0) er øverst til venstre.

For å oppnå posisjonen til den horisontale pikselet som representerer lengdegrad λ (i grader), er det tilstrekkelig å bruke formelen gitt tidligere:

${\ displaystyle x = w \ times {\ frac {\ lambda +180} {360}}}$ .

For å få posisjonen til den vertikale breddepiksel φ (i radianer):

${\ displaystyle y = {\ frac {h} {2}} - {\ frac {w} {2 \ pi}} \ ln \ left (\ tan \ left ({\ frac {\ pi} {4}} + {\ frac {\ varphi} {2}} \ høyre) \ høyre)}$

Merknader og referanser

" Et nettsted viser at flertallet av verdenskartene er falske ", Franceinfo ,9. september 2015( les online , konsultert 2. august 2018 )
"Det er faktisk ganske likegyldig at i stedet for sirkler som tjener oss til å bestemme klimaet, vindretningene og generelt å skille de forskjellige delene av jorden og tildele dem deres sanne geografiske posisjon. og astronomisk tegner vi rette linjer (parallelle linjer i stedet for sirkler vinkelrett på ekvator, vinkelrette linjer i stedet for sirkler vinkelrett på paralleller), og tanken er alltid i stand til å transportere figurene og dimensjonene til en sirkulær og sfærisk overflate. øynene er avbildet på en flat overflate. », Strabo, Geography , L.II, kap. 5.10.
Picouet 2019 , s. 95.
Patrick Sillard, “ Kartprojeksjoner og referanser ” , på National School of Geographic Sciences , s. 26
Picouet 2019 , s. 96.
Deetz Ch. & Adams, O., Elements of Map Projection , 5. utgave, 1945, s; 35, “ I denne matematiske transformasjonen benyttet Mercator ikke en tangensylinder, og den blir heller ikke brukt i denne projeksjonen. Denne forestillingen stammer ikke fra ham, men er en senere oppfinnelse. "
Les online
Picouet 2019 .
Monmonier 2010 .
"Det virkelige kartet over Afrika er ikke det du kjenner" publisert på24. september 2014 på SlateAfrique.
Se avhandlingen Vagnon de navigation
Hugues Masy, Mercator, sjømenn og matematikere , belgisk samfunn for fransktalende matematikklærere , s.6
Françoise Duquenne, Geodesi den sylindriske plane representasjoner av jorden , Fransk Association of topografi , s. 45-46
Terrestrisk planisfære 0101H på librairie maritime.com

Bibliografi

(no) Noen matematiske problemer knyttet til navigering
(fr) Beregningsprogramvare for avstander (rom og stor sirkel) og kurs
Patrick Picouet, Kartet oppfinner verden , Presses Universitaires du Septentrion,2019( online presentasjon )
(en) Mark Monmonier, Rhumb Lines and Map Wars: A Social History of the Mercator Projection , University of Chicago Press ,2010( online presentasjon )
Jean Lefort, The Cartographic Adventure , Belin ,2004( online presentasjon )

Relaterte artikler

(fr) Denne artikkelen er delvis eller helt hentet fra Wikipedia-artikkelen på engelsk med tittelen " Mercator projection " ( se listen over forfattere ) .