Rhumb line

En romelinje (fra gresk lox (o) - og - dromie- kurs ( δρόμος) skrå ( λοξός), på engelsk romelinje ), er en kurve som krysser meridianene til en kule i konstant vinkel. Det er stien som følges av et fartøy som følger en konstant kurs .

En romelinje er representert på en Mercator-projeksjon nautisk eller luftfart som en rett linje, men den representerer ikke den korteste avstanden mellom to punkter. Faktisk er den korteste ruten, kalt sirkelrute eller stor sirkel , en stor sirkel av sfæren.

Romlinjen er en bane med en konstant sann kurs . Det skylder navnet til den portugisiske landmåler Pedro Nunes , den første som skiller det fra en sirkel (ca. 1537 ).

Loxodromic navigasjon

Problemet som stilles er å bestemme kursen og romelinjen mellom to punkter. Dette er derfor det omvendte problemet med død regning .

Deretter bemerker vi

• Rv{\ displaystyle R_ {vb}}den sanne ruten (begrepet brukt i luftfart, kalt bakkenrute ,, i det maritime feltet);Rf{\ displaystyle R_ {f} \,}
• M{\ displaystyle M \,}avstanden til veien  ;Rv{\ displaystyle R_ {vb}}
• φPÅ,GPÅ{\ displaystyle \ varphi _ {A}, G_ {A} \,}og de geografiske koordinatene (bredde, lengdegrad) for punktene A og B;φB,GB{\ displaystyle \ varphi _ {B}, G_ {B} \,}
• φm=φPÅ+φB2{\ displaystyle \ varphi _ {m} = {\ frac {\ varphi _ {A} + \ varphi _ {B}} {2}} \,} midtbreddegraden;

Enhetene, hvis nødvendig, vil bli angitt med overskrift i firkantede parenteser: for nautisk , for radian, for minutt av buen . [ikkeq]{\ displaystyle ^ {[nq]}}[rpåd]{\ displaystyle ^ {[rad]}}[,]{\ displaystyle ^ {[,]}}

Verdien av avstanden som en funksjon av den sanne veien uttrykkes av likestillingen

M[ikkeq]=φB[,]-φPÅ[,]cos⁡Rv{\ displaystyle M ^ {[nq]} = {\ frac {\ varphi _ {B} \, ^ {[,]} - \ varphi _ {A} \, ^ {[,]}} {\ cos R_ { v}}} \,}

For evaluering av den sanne ruten kan man bruke en omtrentlig verdi eller en eksakt verdi.

• Hvis de to punktene A og B ikke er veldig langt fra hverandre, kan vi være fornøyde med den omtrentlige formelen ved å bruke den gjennomsnittlige breddegraden

solbrun⁡Rv=GB-GPÅφB-φPÅcos⁡φm{\ displaystyle \ tan R_ {v} = {\ frac {G_ {B} -G_ {A}} {\ varphi _ {B} - \ varphi _ {A}}} \ cos \ varphi _ {m} \, } denne formelen oppstår fra forvirringen mellom avstandene på sfæren og avstandene på kartet. Det gjelder punkter med redusert avstand (mindre enn 300 nautiske mil) og på breddegrader langt fra polene (breddegrader mindre enn 60 °).

• Nøyaktig formel ( økende breddegrader for Mercator-projeksjonen):

solbrun⁡Rv=GB-GPÅλB-λPÅ{\ displaystyle \ tan R_ {v} = {\ frac {G_ {B} -G_ {A}} {\ lambda _ {B} - \ lambda _ {A}}} \,} λ{\ displaystyle \ lambda \,}kalles den økende breddegraden og er lik, i radianer: λ=ln⁡solbrun⁡(π4+φ[rpåd]2){\ displaystyle \ lambda = \ ln \ tan \ left ({\ frac {\ pi} {4}} + {\ frac {\ varphi ^ {[rad]}} {2}} \ right) \,}som er den omvendte Gudermann- funksjonen.

Formlene er ikke egnet for nær 90 ° og 270 ° siden de vil føre til en divisjon med et tall nær null. I disse tilfellene forventes det i nautiske beregninger å bruke sinus til å beregne avstanden. Så snart kursen smelter etter kvart er større enn 89 °, brukes følgende omtrentlig formel: Rv{\ displaystyle R_ {vb}} Rfq{\ displaystyle Rf_ {q}}

M[ikkeq]=|GB[,]-GPÅ[,]|cos⁡φmsynd⁡Rfq{\ displaystyle M ^ {[nq]} = {\ frac {\ left | G_ {B} \, ^ {[,]} - G_ {A} \, ^ {[,]} \ right | \ cos \ varphi _ {m}} {\ sin Rf_ {q}}}}

• Loxodrome pol til pol

• Loxodromy sett fra ekvator

• Loxodromy sett fra nordpolen

Matematisk studie

På den jordiske kloden tilsvarer romelinjer (når de ikke er "degenererte", det vil si når den angitte startvinkelen ikke er null) med spiraler som snor seg rundt polen (polen nord hvis startvinkelen er i og forskyvningen er i retning av økende breddegrader ). I nærheten av polen er disse spiralene omtrent plane og tangerer en fast vinkel med radiusvektoren, som er en karakteristisk egenskap for en logaritmisk spiral . ]0,π[{\ displaystyle] 0, \ pi [}

Mer presist ønsker vi å bestemme en ligning av romelinjen og beregne lengden L reist fra ekvator til polen som en funksjon av den sanne kursen (dvs. vinkelen mellom retningen fulgt og det geografiske nord) den lengdegrad blir notert og breddegrad , er det derfor et spørsmål for å bestemme funksjonen . Beregningen gir endelig og . Rv∈]0,π/2[{\ displaystyle R_ {v} \ in \,] 0, \ pi / 2 [}G{\ displaystyle G} φ{\ displaystyle \ varphi}G↦φ(G){\ displaystyle G \ mapsto \ varphi (G)}φ(G)=2arctan⁡(eksp⁡(Gsolbrun⁡(Rv)))-π/2{\ displaystyle \ varphi (G) = 2 \ arctan (\ exp ({G \ over \ tan (R_ {v})})) - \ pi / 2}L=π2cos⁡(Rv){\ displaystyle L = {\ pi \ over 2 \, \ cos (R_ {v})}}

Detaljert beregning

Den loxodromie er et bue på den kule som er antatt definert av en funksjon klasse  : og orientert i retning av økende lengdegrader. La være funksjonen som, med lengdegrad , forbinder det nåværende punktet på linjen for lengdegrad og breddegrad . VS1{\ displaystyle C ^ {1}}G↦φ(G){\ displaystyle G \ mapsto \ varphi (G)}f:G↦M(G,φ(G)){\ displaystyle f: G \ mapsto M (G, \ varphi (G))}G{\ displaystyle G}G{\ displaystyle G}φ(G){\ displaystyle \ varphi (G)}

En vektor som tangerer romelinjen er da . Denne vektoren, som leder tangenten til buen, danner derfor, ved hypotese, en vinkel med en hvilken som helst (ikke-null) vektor som leder meridianen til det vurderte punktet. En vektor som retter meridianen er i den , mens en vektor som retter parallellen er . f′(G)=∂M→∂G(G,φ(G))+φ′(G)⋅∂M→∂φ(G,φ(G)){\ displaystyle f '(G) = {\ partial {\ vec {M}} \ over \ partial G} (G, \ varphi (G)) + \ varphi' (G) \ cdot {\ partial {\ vec { M}} \ over \ partial \ varphi} (G, \ varphi (G))}Rv{\ displaystyle R_ {vb}}M(G,φ(G)){\ displaystyle M (G, \ varphi (G))}∂M→∂φ(G,φ(G)){\ displaystyle {\ partial {\ vec {M}} \ over \ partial \ varphi} (G, \ varphi (G))}∂M→∂G(G,φ(G)){\ displaystyle {\ partial {\ vec {M}} \ over \ partial G} (G, \ varphi (G))}

I det følgende, for å forenkle skrivingen, vil man ikke lenger spesifisere punktet hvor funksjonene og deres delvise derivater blir tatt, og man vil merke i stedet for , og derivatet av med hensyn til . (G,φ(G)){\ displaystyle (G, \ varphi (G))}φ{\ displaystyle \ varphi}φ(G){\ displaystyle \ varphi (G)}φ′{\ displaystyle \ varphi '}φ(G){\ displaystyle \ varphi (G)}G{\ displaystyle G}

Ved å utføre skalarproduktet av en retningvektor av tangenten til romelinjen og av en retningvektor av meridianen, oppnår vi produktet av normene til disse vektorene ved cosinus av vinkelen de danner. Denne vinkelen er akkurat den sanne kursen når  : Rv{\ displaystyle R_ {vb}}0<Rv<π{\ displaystyle 0 <R_ {v} <\ pi}

(∂M→∂φ|∂M→∂G+φ′∂M→∂φ)=‖∂M→∂φ‖‖∂M→∂G+φ′∂M→∂φ‖cos⁡(Rv){\ displaystyle \ left ({\ partial {\ vec {M}} \ over \ partial \ varphi} \; {\ Bigg |} \; {\ partial {\ vec {M}} \ over \ partial G} + \ varphi '{\ partial {\ vec {M}} \ over \ partial \ varphi} \ right) = \ left \ | {\ partial {\ vec {M}} \ over \ partial \ varphi} \ right \ | \, \ left \ | {\ partial {\ vec {M}} \ over \ partial G} + \ varphi '{\ partial {\ vec {M}} \ over \ partial \ varphi} \ right \ | \ cos (R_ { v})}, betegner punktproduktet som .(u→|v→){\ displaystyle ({\ vec {u}} \; | \; {\ vec {v}})}u→{\ displaystyle {\ vec {u}}}v→{\ displaystyle {\ vec {vb}}}

Siden paralleller og meridianer er loddrette, vektorer og er ortogonale, og de tidligere uttrykk forenkles til: ∂M→∂φ{\ displaystyle {\ partial {\ vec {M}} \ over \ partial \ varphi}}∂M→∂G{\ displaystyle {\ partial {\ vec {M}} \ over \ partial G}}

φ′‖∂M→∂φ‖2=‖∂M→∂φ‖‖∂M→∂G+φ′∂M→∂φ‖cos⁡(Rv){\ displaystyle \ varphi '\ left \ | {\ partial {\ vec {M}} \ over \ partial \ varphi} \ right \ | ^ {2} = \ left \ | {\ partial {\ vec {M}} \ over \ partial \ varphi} \ right \ | \, \ left \ | {\ partial {\ vec {M}} \ over \ partial G} + \ varphi '{\ partial {\ vec {M}} \ over \ delvis \ varphi} \ høyre \ | \ cos (R_ {v})}

deretter i:

φ′‖∂M→∂φ‖=‖∂M→∂G+φ′∂M→∂φ‖cos⁡(Rv){\ displaystyle \ varphi '\ left \ | {\ partial {\ vec {M}} \ over \ partial \ varphi} \ right \ | = \ left \ | {\ partial {\ vec {M}} \ over \ partial G} + \ varphi '{\ partial {\ vec {M}} \ over \ partial \ varphi} \ right \ | \ cos (R_ {v})}

Ved å firkant og bruke den pythagorasiske setningen får vi:

φ′2‖∂M→∂φ‖2=(‖∂M→∂G‖2+φ′2‖∂M→∂φ‖2)cos2⁡(Rv){\ displaystyle \ varphi '^ {2} \ left \ | {\ partial {\ vec {M}} \ over \ partial \ varphi} \ right \ | ^ {2} = \ left (\ left \ | {\ partial {\ vec {M}} \ over \ partial G} \ right \ | ^ {2} + \ varphi '^ {2} \ left \ | {\ partial {\ vec {M}} \ over \ partial \ varphi} \ right \ | ^ {2} \ right) \ cos ^ {2} (R_ {v})}

Fra hvor, med 1-cos2⁡(Rv)=synd2⁡(Rv){\ displaystyle 1- \ cos ^ {2} (R_ {v}) = \ sin ^ {2} (R_ {v})}

synd2⁡(Rv)φ′2‖∂M→∂φ‖2=‖∂M→∂G‖2cos2⁡(Rv)(1){\ displaystyle \ sin ^ {2} (R_ {v}) \ varphi '^ {2} \ left \ | {\ partial {\ vec {M}} \ over \ partial \ varphi} \ right \ | ^ {2 } = \ venstre \ | {\ delvis {\ vec {M}} \ over \ delvis G} \ høyre \ | ^ {2} \ cos ^ {2} (R_ {v}) \ qquad \ mathbf {(1) }}.

Vi beregner de to normene som er involvert i denne ligningen:

Det er kjent, i henhold til den sfæriske konfigurasjonen rapportert til de kartesiske koordinatene i basen , er rettet langs jordaksen, at hvor er enhetens radiale vektor av ekvatorialplanet definert av . Er definert som vektoren utledet med hensyn til av  : . Så og . Dermed, og . (Jeg→,j→,k→){\ displaystyle ({\ vec {i}}, {\ vec {j}}, {\ vec {k}})}k→{\ displaystyle {\ vec {k}}}OM→(G,φ)=synd⁡(φ)k→+cos⁡(φ)u→G{\ displaystyle {\ overrightarrow {OM}} (G, \ varphi) = \ sin (\ varphi) \; {\ vec {k}} + \ cos (\ varphi) \; {\ vec {u}} _ { G}}u→G{\ displaystyle {\ vec {u}} _ {G}}u→G=cos⁡(G)Jeg→+synd⁡(G)j→{\ displaystyle {\ vec {u}} _ {G} = \ cos (G) \; {\ vec {i}} + \ sin (G) \; {\ vec {j}}}v→G{\ displaystyle {\ vec {vb}} _ {G}}G{\ displaystyle G}u→G{\ displaystyle {\ vec {u}} _ {G}}v→G=du→GdG=-synd⁡(G)Jeg→+cos⁡(G)j→{\ displaystyle {\ vec {v}} _ {G} = {d {\ vec {u}} _ {G} \ over dG} = - \ sin (G) \; {\ vec {i}} + \ cos (G) \; {\ vec {j}}}∂M→∂G=cos⁡(φ)v→G{\ displaystyle {\ partial {\ vec {M}} \ over \ partial G} = \ cos (\ varphi) \; {\ vec {v}} _ {G}}∂M→∂φ=cos⁡(φ)k→-synd⁡(φ)u→G{\ displaystyle {\ partial {\ vec {M}} \ over \ partial \ varphi} = \ cos (\ varphi) \; {\ vec {k}} - \ sin (\ varphi) {\ vec {u}} _ {G}}‖∂M→∂G‖=cos⁡(φ){\ displaystyle \ left \ | {\ partial {\ vec {M}} \ over \ partial G} \ right \ | = \ cos (\ varphi)}‖∂M→∂φ‖=1{\ displaystyle \ left \ | {\ partial {\ vec {M}} \ over \ partial \ varphi} \ right \ | = 1}

Ligningen koker ned til: (1){\ displaystyle \ mathbf {(1)}}

synd2⁡(Rv)φ′2=cos2⁡(φ)cos2⁡(Rv){\ displaystyle \ sin ^ {2} (R_ {v}) \ varphi '^ {2} = \ cos ^ {2} (\ varphi) \ cos ^ {2} (R_ {v})}

Hvis vi antar at vi starter fra ekvator ( ) på lengdegrad og går til Nord-Øst, da , og er en økende funksjon av derfor (i de andre tilfellene, deduserer vi buen med en sentral symmetri og / eller en passende rotasjon (s), slik at vi ikke mister allmenheten), som et resultat: φ=0{\ displaystyle \ varphi = 0}G=0{\ displaystyle G = 0}Rv∈]0,π/2[{\ displaystyle R_ {v} \ in \,] 0, \ pi / 2 [}φ{\ displaystyle \ varphi}G{\ displaystyle G}φ′>0{\ displaystyle \ varphi '> 0}

synd⁡(Rv)φ′=cos⁡(φ)cos⁡(Rv){\ displaystyle \ sin (R_ {v}) \ varphi '= \ cos (\ varphi) \ cos (R_ {v})} og ikke-lineær differensialligning med variabler som kan skilles i1cos⁡(φ)dφdG=1solbrun⁡(Rv){\ displaystyle {1 \ over \ cos (\ varphi)} {d \ varphi \ over dG} = {1 \ over \ tan (R_ {v})}}φ(G){\ displaystyle \ varphi (G)}

Ved å integrere mellom 0 og  : G{\ displaystyle G}

∫0φ(G)dφcos⁡(φ)=1solbrun⁡(Rv)∫0GdG{\ displaystyle \ int _ {0} ^ {\ varphi (G)} {d \ varphi \ over \ cos (\ varphi)} = {1 \ over \ tan (R_ {v})} \ int _ {0} ^ {G} dG}, enten (jf. primitiver for trigonometriske funksjoner ) ln⁡(solbrun⁡(π4+φ(G)2))=Gsolbrun⁡(Rv){\ displaystyle \ ln \ left (\ tan \ left ({\ frac {\ pi} {4}} + {\ frac {\ varphi (G)} {2}} \ right) \ right) = {G \ over \ tan (R_ {v})}}

Lengden L krysset er da verdt, per definisjon:

L=∫0+∞‖f′(G)‖dG{\ displaystyle L = \ int _ {0} ^ {+ \ infty} \ | f '(G) \ | \, dG} hvor og av samme tegn på grunner .f′(G)=∂M→∂G(G,φ(G))+φ′(G)∂M→∂φ(G,φ(G)){\ displaystyle f '(G) = {\ partial {\ vec {M}} \ over \ partial G} (G, \ varphi (G)) + \ varphi' (G) {\ partial {\ vec {M} } \ over \ partial \ varphi} (G, \ varphi (G))}‖f′(G)‖2=cos2⁡(φ)+φ′2=cos2⁡(φ)+cos2⁡(φ)solbrun2⁡(Rv)=cos2⁡(φ)synd2⁡(Rv){\ displaystyle \ | f '(G) \ | ^ {2} = \ cos ^ {2} (\ varphi) + \ varphi' ^ {2} = \ cos ^ {2} (\ varphi) + {\ cos ^ {2} (\ varphi) \ over \ tan ^ {2} (R_ {v})} = {\ cos ^ {2} (\ varphi) \ over \ sin ^ {2} (R_ {v})} }‖f′(G)‖=cos⁡(φ)synd⁡(Rv){\ displaystyle \ | f '(G) \ | = {\ cos (\ varphi) \ over \ sin (R_ {v})}} L=1synd⁡(Rv)∫0+∞cos⁡(φ(G))dG{\ displaystyle L = {1 \ over \ sin (R_ {v})} \ int _ {0} ^ {+ \ infty} \ cos (\ varphi (G)) \, dG}

Ved å endre variable, med den breddegrad fra 0 til når varierer fra 0 til  : dGdφ=solbrun⁡(Rv)cos⁡(φ){\ displaystyle {dG \ over d \ varphi} = {\ tan (R_ {v}) \ over \ cos (\ varphi)}}φ{\ displaystyle \ varphi}π2{\ displaystyle \ pi \ over 2}G{\ displaystyle G}+∞{\ displaystyle + \ infty}

Vi har L=solbrun⁡(Rv)synd⁡(Rv)∫0π2dφ=1cos⁡(Rv)∫0π2dφ{\ displaystyle L = {\ tan (R_ {v}) \ over \ sin (R_ {v})} \ int _ {0} ^ {\ pi \ over 2} \, d \ varphi = {1 \ over \ cos (R_ {v})} \ int _ {0} ^ {\ pi \ over 2} \, d \ varphi} L=π2cos⁡(Rv){\ displaystyle L = {\ pi \ over 2 \, \ cos (R_ {v})}}

Det er enkelt å verifisere resultatet ved å ta null. Vi ser at buen som er krysset er meridianen og lengden er lik en fjerdedel av omkretsen. Rv{\ displaystyle R_ {vb}}

Den samme beregningen utført mellom to punkter A og B som ligger på romelinjen, vil gi lengde:

M=1cos⁡(Rv)∫φPÅφBdφ=φB-φPÅcos⁡(Rv){\ displaystyle M = {1 \ over \ cos (R_ {v})} \ int _ {\ varphi _ {A}} ^ {\ varphi _ {B}} \, d \ varphi = {\ frac {\ varphi _ {B} - \ varphi _ {A}} {\ cos (R_ {v})}}}

Merknader og referanser

1. En "stor sirkel" av en sfære er krysset mellom sfæren og et plan som går gjennom senterets senter, slik som ekvator og alle meridianer.
2. Stevin og Harriot studerte det (ca. 1580 ): det er en av de første kjente tilfellene av "vanskelig integrering"
3. LOxodromie , s.5-6, på stedet for den nasjonale skolen til handelsmarinen i Marseille
4. Robert Rolland "NOE MATEMATISKE PROBLEMER RELATERT TIL NAVIGASJON (VERSJON 7)" (side 26)
5. LOxodromie , s.8, 10, på tuftene av den nasjonale skolen av handelsflåten i Marseille
6. Robert Rolland "NOEN MATEMATISKE PROBLEMER RELATERT TIL NAVIGASJON (VERSJON 7)" (side 19)

Se også

Relaterte artikler

• Geodetikk
• Rhumb line
• Dødsregning
• Tannregulering
• Rute (navigasjon)

Eksterne linker

• (fr) "Noen matematiske problemer knyttet til navigering"
• (fr) "Programvare for beregning av avstander (rombe og stor sirkel) og kurs"

Bibliografi

• Raymond d'Hollander, Loxodromy and Mercator projection , Oceanographic Institute,2005, 239  s. ( ISBN  978-2-903581-31-2 )

<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">