Virtuell eiendom

I matematikk , nærmere bestemt i generell algebra og i studiet av grupper , brukes adverbet virtuelt for å indikere at en egenskap er gyldig opp til en endelig indeks for en gruppe. Formelt gitt en egenskap P en gruppe G sies praktisk talt P hvis det er en undergruppe H av G slik at H har den egenskap P og H er endelig indeks i G . For eksempel er enhver endelig gruppe praktisk talt triviell.

I topologi er en virtuell eiendom en gyldig eiendom opp til et endelig belegg . Et kjent eksempel på en virtuell eiendom av varianter er demonstrasjonen av den virtuelle Haken-formodningen i 2012 av Ian Agol som ga ham gjennombruddsprisen i matematikk i 2016 .

Terminologi

Eksempler på egenskaper som ofte studeres virtuelt er å være abelian , nilpotent , løselig eller gratis . For eksempel hevder Bieberbachs teorem at en krystallografisk gruppe er tilnærmet abelsk, puppers alternativ gir en karakterisering av tilnærmet oppløselige lineære grupper , Gromovs teorem om polynomiske vekstgrupper hevder at grupper av endelig type med en frekvens av polynomvekster er nøyaktig de nilpotente gruppene av endelig type.

Den samme terminologi kan også benyttes hvor G er en gitt gruppe og P er den egenskapen "for å være isomorf med G ' ': man sier at en praktisk talt isomorf med H det er praktisk talt H .

Ved samsvar mellom dekk og undergrupper i den grunnleggende gruppen , kan denne bruken også overføres til varianter  ; således sies det at et manifold er praktisk talt P hvis det er en endelig dekking med eiendommen P.

Eksempler

Så å si Abelian

Følgende grupper er tilnærmet abeliske:

• Enhver abelsk gruppe.
• Ethvert semi-direkte produkt hvor N er abelian og H er endelig. (For eksempel generaliserte enhver gruppe dihedral (in) .)IKKE⋊H{\ displaystyle N \ rtimes H} 
• Ethvert semi-direkte produkt hvor N er endelig og H er abelsk.IKKE⋊H{\ displaystyle N \ rtimes H}
• Enhver begrenset gruppe.

Så å si nilpotent

• Enhver praktisk talt abelsk gruppe.
• Enhver nilpotent gruppe.
• Ethvert semi-direkte produkt hvor N er nullpotent og H er endelig.IKKE⋊H{\ displaystyle N \ rtimes H}
• Ethvert semi-direkte produkt hvor N er endelig og H er nullpotent.IKKE⋊H{\ displaystyle N \ rtimes H}

Så å si polysykliske

Så å si gratis

• Enhver gratis gruppe .
• Enhver praktisk talt syklisk gruppe Enhver praktisk talt syklisk gruppe.
• Ethvert semi-direkte produkt hvor N er gratis og H er endelig.IKKE⋊H{\ displaystyle N \ rtimes H}
• Ethvert semi-direkte produkt hvor N er endelig og H er gratis.IKKE⋊H{\ displaystyle N \ rtimes H}
• Ethvert gratis produkt H * K , hvor H og K begge er endelige. (For eksempel modulgruppen .)PSL⁡(2,Z){\ displaystyle \ operatorname {PSL} (2, \ mathbb {Z})}
• Det følger av Stallingssetningen i endene av en gruppe  (en) at enhver gruppe uten praktisk talt fri vridning er gratis.

Andre eksempler

• Den gratis gruppen med to generatorer er for praktisk talt alt  ; det er en konsekvens av Nielsen-Schreier-teoremet og av Schreier-formelen .F2{\ displaystyle F_ {2}}Fikke{\ displaystyle F_ {n}}ikke≥2{\ displaystyle n \ geq 2}
• Agol-teorem: Hver 3-manifold hyperbolsk  (in) kompakt, justerbar, irredusibel er praktisk talt en rekke Haken  (in) . Den har også følgende sterkere virtuelle egenskaper: dens første Betti-tall er praktisk talt ikke-null, og det er praktisk talt en homeomorf torus av en overflate.

Merknader og referanser

• ( fr ) Denne artikkelen er delvis eller helt hentet fra den engelske Wikipedia- artikkelen med tittelen "  virtuelt  " ( se forfatterlisten ) .

• Hans Rudolf Schneebeli , “  On virtual properties and group extensions  ”, Mathematische Zeitschrift , vol.  159, n o  to1978, s.  159–167 ( ISSN  0025-5874 , DOI  10.1007 / bf01214488 , zbMATH  0358.20048 )
• John Stallings, “  Grupper av dimensjon 1 er lokalt gratis  ”, Bull. Bitter. Matte. Soc. , vol.  74,1968, s.  361-364.
• Michael Gromow, “  Grupper av polynomvekst og utvidende kart  ”, Inst. Hautes Études Sci. Publ. Matte. , N o  53,nitten åtti en, s.  53-73.
• Thomas Farrell og Lowell Jones, "  Den lavere algebraiske K-teorien om praktisk talt uendelige sykliske grupper  ", K-Theory , vol.  9, n o  1,1995, s.  13-30.
• Daniel Juan-Pineda og Ian Leary, "Om klassifisering av rom for familien til praktisk talt sykliske undergrupper" , i Nyere utvikling innen algebraisk topologi , Amer. Matte. Soc., Providence, RI ,, koll.  “Contemp. Matte. "( N o  407)2006, s.  135-145.
• Wolfgang Lück, "Undersøkelse om klassifisering av rom for familier av undergrupper" , i uendelige grupper: geometriske, kombinatoriske og dynamiske aspekter , Birkhäuser, Basel, koll.  “Progr. Matte. "( Nr .  248)2005, s.  269-322.
• Ian Agol, “  Den virtuelle Haken-gjetningen. Med et vedlegg av Agol, Daniel Groves og Jason Manning  ”, dok. Matte. , vol.  18,2013, s.  1045-1087 ( matematikkanmeldelser  3104553 ).

Eksterne linker

• Schreier indeksformel fra PlanetMath .
• Ian Agol, Virtual Properties of 3-Manifolds

<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">